2.2.3 直线的一般式方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线的一般式方程 2.2.3 目录 2 (一)教材梳理填空 直线的一般式方程 (1)定义：把关于x，y的二元一次方程____________ (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)适用范围：在平面直角坐标系中，任意一条直线都可用一般式表示. Ax+By+C=0 [微提醒]　(1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程. ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. ③x的系数一般不为分数和负数. (2)直线方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的系数A，B，C满足下列关系时，这条直线有以下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两坐标轴都相交； ②当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合. (二)基本知能小试 1.斜率为-3，且在x轴上截距为2的直线的一般式方程是(　　) A.3x+y+6=0 B.3x-y+2=0 C.3x+y-6=0 D.3x-y-2=0 √ 2.在平面直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° √ 解析：因为直线斜率k=-，所以倾斜角为150°，故选C. 3.在y轴上截距为2，且过点(-1，4)的直线的一般式方程为________.  解析：因为在y轴上的截距为2，所以设直线方程为+=1， 把点(-1，4)代入，得a=1，所以所求直线的方程为+=1， 整理得2x+y-2=0. 答案：2x+y-2=0 题型一　直线的一般式方程 学透用活 [典例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为-2； (3)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点； (4)在x轴，y轴上的截距分别为-3，-1； (5)经过点B(4，2)，且平行于x轴. [解]　(1)由点斜式，得直线方程为y-3=(x-5)， 即x-y-5+3=0. (2)由斜截式，得直线方程为y=4x-2，即4x-y-2=0. (3)由两点式，得直线方程为=，即2x+y-3=0. (4)由截距式，得直线方程为+=1，即x+3y+3=0. (5)y-2=0. [方法技巧] 关于直线的一般式方程与其他形式的方程 一般情况下，直线的一般式方程与直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以进行互化，但是最常用的是一般式方程化为斜截式方程，可以得出斜率、纵截距，用于作图或转化解题. 对点练清 已知直线l经过点A(2，1)，B(3，3)，求直线l的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在x轴，y轴上的截距. 解：因为kl==2，所以点斜式方程为y-1=2(x-2)，斜截式方程为y=2x-3，一般式方程为2x-y-3=0，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为-3. 题型二　一般式下的平行与垂直问题 学透用活 [典例2]　(1)已知直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，求m的值. (2)当a为何值时，直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+ 3)y+2=0互相垂直? [解]　(1)令2×3=m(m+1)，解得m=-3或m=2. 当m=-3时，l1：x-y+2=0，l2：3x-3y+2=0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理：当m=2时，l1：2x+3y+4=0，l2：2x+3y-2=0，显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.综上，m的值为2或-3. (2)由题意知，直线l1⊥l2， ∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1， 将a=±1代入方程，均满足题意. 故当a=1或a=-1时，直线l1⊥l2. [方法技巧] (1)已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则 ①l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0). ②l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. (2)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C)，与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 对点练清 已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l'的方程： (1)过点(-1，3)，且与l平行； (2)过点(-1，3)，且与l垂直. 解：(1)由l'与l平行，可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).将点(-1，3)代入上式，得m=-9.∴所求直线的方程为3x+4y-9=0. (2)由l'与l垂直，可设l'的方程为4x-3y+n=0.将(-1，3)代入上式，得n=13.∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. 题型三　直线方程的综合问题 学透用活 [典例3]　已知直线l：5ax-5y-a+3=0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围. [解]　(1)证明：将直线l的方程整理为y-=a，∴直线l的斜率为a，且过定点A， 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限. (2)直线OA的斜率为k==3.如图所示，要使l不经过 第二象限，需斜率a≥kOA=3，∴a≥3，即a的取值范围 为[3，+∞). [方法技巧] 直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标. (2)将方程变形，把x， y看作参数的系数，因为此式对于任意的参数的值都成立，所以需系数为零，解方程组可得x， y的值，即为直线经过的定点. 对点练清 1.设A(-2，2)，B(1，1)，若直线l：ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是 (　　) A.∪[2，+∞)　 B. C.(-∞，-2]∪ D. √ 解析：由ax+y+1=0，得y=-ax-1，因此直线l过定点P(0，-1)，若直线l斜率存在，则斜率k=-a. 如图所示，当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到 直线PB的位置时，符合题意. 易得kPB==2， kPA==-. 结合图形知，-a≥2或-a≤-，解得a≤-2或a≥.故选C. 2.(多选)已知直线l：(a2+a+1)x-y+1=0，其中a∈R，下列说法正确的是 (　　) A.当a=-1时，直线l与直线x+y=0垂直 B.若直线l与直线x-y=0平行，则a=0 C.直线l过定点(0，1) D.当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 √ √ 解析：对于A项，当a=-1时，直线l的方程为x-y+1=0，显然与x+y=0垂直，所以正确；对于B项，若直线l与直线x-y=0平行，则(a2+a+1)· (-1)=1×(-1)，解得a=0或a=-1，所以不正确；对于C项，当x=0时，y=1，所以直线过定点(0，1)，所以正确；对于D项，当a=0时，直线l的方程为x-y+1=0，在x轴，y轴上的截距分别是-1，1，所以不正确.故选A、C. 一、综合应用 1.将直线l上一点A(-1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的一般式方程是 (　　) A.2x-y+4=0 B.2x+y=0 C.2x-y+5=0 D.x+2y-3=0 √ 解析：将A(-1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得B(0，4).因为A，B都在直线l上，所以kl==2，所以直线l的方程为y-4=2x，即2x-y+4=0. 2.已知直线l的方程为xsin α+y-1=0，α∈R，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ √ 解析：因为直线l的方程为xsin α+y-1=0，所以y=-x+，即直线l的斜率k=-，又-1≤sin α≤1，所以-≤k≤.又直线的倾斜角的取值范围为[0，π)，由正切函数的性质可得，直线l的倾斜角的取值范围为∪. 3.在平面直角坐标系中，已知点M(1，0)，N(5，-3)，P是直线4x-3y-12=0上任意一点，则·=________.   解析：由M(1，0)，N(5，-3)，可得=(5，-3)-(1，0)=(4，-3).设P(m，n)，可得=(m，n)，因为P是直线4x-3y-12=0上任意一点，所以4m-3n-12=0，即4m-3n=12，所以·=4m-3n=12. 答案：12 二、创新拓展 4.已知点A(1，-6)，B(3，2)，直线l的方程为ax+y+a+1=0(a∈R)，若直线l以为法向量(与直线方向向量垂直的向量)，且点C(5，n)在直线l上，则n=_________.  解析：直线l的方程为ax+y+a+1=0，即a(x+1)+(y+1)=0，所以直线l过定点P(-1，-1)，=(3，2)-(1，-6)=(2，8). 法一　则直线l的一个方向向量的坐标为(-8，2).又直线l过定点P(-1，-1)，且点C(5，n)在直线l上，所以kPC===-，解得n=-. 法二　又直线l过定点P(-1，-1)，所以直线l的方程为2(x+1)+8(y+1)=0，化简得x+4y+5=0.将点C(5，n)代入，得5+4n+5=0，解得n=-. 答案：- 5.已知点A(1，4)，B(3，-2)，则经过线段AB上一点，且与直线x-2y+9=0平行的直线的方程为____________(写出一个符合题意的直线方程即可).  解析：与直线x-2y+9=0平行的直线的方程可设为x-2y+b=0(b≠9)，经过线段AB上一点，不妨取点A(1，4)，代入可得1-2×4+b=0，解得b=7，故所求直线方程为x-2y+7=0. 答案：x-2y+7=0(答案不唯一) 本课结束 $