专题04 数列（期中真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题04 数列 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．D 7．B 8．B 9．B 10．ACD 11．C 12．BC 13．B 14．A 15．B 16．B 17．C 18．B 19．ABD 20．AC 21．A 22．ABD 23．AB 24．B 25．BCD 26．C 27．【答案】 【分析】 当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】 当时，， 当时，， 综上， . 故答案为： 28．【答案】1 【分析】 结合递推关系 和首项，求出数列的前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】 因为 且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故， 故答案为；1 29．【答案】（1）当时，， 整理得， 所以是公比为a的等比数列，又所以 （2）（i）， （ii）因为，   ∴当为偶数时，； 当为奇数时，，∴如果存在满足条件的正整数，则一定是偶数.∵. ∴当时， ，∴ 又． ∴当时，即，当时，b_2k+2<b_2k 即 ，即存在正整数，使得对于任意正整数都有. 【分析】 （1）利用当时，，进行运算，最后能证明出为等比数列； （2）（i）利用错位相减法，可以求出； （ii）根据的奇偶性进行分类，利用差比判断数列的单调性，最后可以求出的值. 【详解】 （1）略 （2）因为 （i）当    两式相减，整理得 . （ii）略 【点睛】 本题考查了等比数列的证明、错位相减法求数列和、以及不等式恒成立问题，考查了数学运算能力. 30．【答案】 【分析】 分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】 由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，利用推出，由等差中项法得为等差数列，根据与求出公差，可得通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出结果. (1) 小问详解： 由， 当时，，解得， 当时，， 所以， 整理得：，① 所以有，② ①-② 可得， 所以为等差数列， 因为，所以公差为， 所以. (2) 小问详解： ， ∴ . 32．【答案】 【分析】 由题意整理数列的通项公式，利用列举法与观察可得通项，可得答案. 【详解】 由，则， 所以， 可得，即，经检验，符合题意， 故. 故答案为：. 33．【答案】（1）     （2）     （3）8      【分析】 （1）分别代入和，即可得答案. （2）由题意，与原式相减，即可得答案. （3）利用错位相减法可求得表达式，结合的单调性，分析即可得答案， (1) 小问详解： 当时，，得， 当时，，得. (2) 小问详解： 因为， 所以当时，，两式作差得，. 所以当时，.又当时，，得，符合上式. 所以数列的通项公式为. (3) 小问详解： 由（2）知，. 所以， ， 两式相减得， 所以. 所以，所以单调递增. 当时，， 当时，， 所以使的最小的正整数的值为8. 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用 即可； （2）利用分组求和即可. (1) 小问详解： ① 当时，， 当时，② ① -② 得：， 化简得， 检验当时，满足， 所以. (2) 小问详解： 由题意， 所以 所以. 35．【答案】（1）；（2）11. 【分析】 （1）利用等差数列通项公式和等比中项性质可得，，再代入通项公式，即可得答案； （2）先求，再利用裂项相消法求，最后求关于的不等式，即可得答案； 【详解】 解：（1）设的公差为，则 ∴，∵，∴， ∴的通项公式为. （2）由（1）知， ， ， 化为，∴， ∴，∴正整数， ∴满足条件的的最小值为11. 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列基本量运算、裂项相消法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 36．【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据 求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. (1) 小问详解： ① ， 当时，，解得， 当时，② ， 式子①-② 得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， 所以. 所以 故， 所以， 两式相减得， 所以. 37．【答案】 【详解】数列是单调递增数列，则恒成立，分离实数和变量，构造新数列，利用的单调性求出数列的最小项，代入可得实数的取值范围． 【详解】 ，， 由于数列是单调递增数列，则，即，整理得， 令，， 所以，数列单调递增，则数列的最小项为，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查数列的函数特性，考查函数单调性的定义应用，考查逻辑思维能力与转化思想，属于中档题． 38．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用（1）中结果得，再由裂项相消法，即可求解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由，可得，可得① ， 由，可得，整理可得② ， 联立① ② 可得，，所以. (2) 小问详解： 因为，则， 所以③ ， ④ ， ③④ 得 ， 所以. (3) 小问详解： 由（1）知，所以， 则. 39．【答案】（1），     （2）     （3）不存在，理由如下： 由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列．      【分析】 （1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. (1) 小问详解： 由题意，当时，有；当时， 联立方程 ，解得 或 （舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程 ，解得 ， 所以数列的通项公式． 综上，，. (2) 小问详解： 因为， 所以...① ， ①×3得，...② ， ①-② 得，， ， 化简得：. (3) 小问详解： 略 考点02 等差数列 1．B 2．D 3．D 4．AC 5．B 6．C 7．B 8．AC 9．ACD 10．B 11．A 12．ACD 13．D 14．C 15．D 16．ACD 17．BC 18．B 19．A 20．【答案】 【分析】 根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】 由可得公差， 故， 故答案为： 21．【答案】（1） 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.     （2）     （3）      【分析】 （1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知：，故； (3) 小问详解： ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 22．【答案】（1）     （2） 由（1） ， ，得证.      【分析】 （1）由题意得到即可求解； （2）通过裂项相消法求和，即可求证. (1) 小问详解： 点在直线上， ∴， ∴，又， ∴数列为首项为，公差为的等差数列， 所以. (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1），或     （2） 当时，有最小值，没有最大值； 当时，有最大值，没有最小值.      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等差数列前项和，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由 ，或 ， 当 时，， 当 时，， 即，或； (2) 小问详解： 当时，， 当时，有最小值，没有最大值； 当时，， 当时，有最大值，没有最小值. 24．【答案】 【分析】 根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解. 【详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得 ，解得 ， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 25．【答案】 【分析】 由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】 在等差数列中，， 所以公差. 故答案为：. 26．【答案】①     ② 【分析】 由，得到，结合条件可得，即可求解. 【详解】 由，得到，又，则， 所以，得到，所以， 故答案为：;. 27．【答案】（1） 因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列；     （2）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法求和即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由于，结合（1）知，， ， 所以. 28．【答案】 【分析】根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解. 【详解】当时，， 则， ， ，，即， ， 所以， 所以当时，， 当时，，不满足上式， 故 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 (1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. (1) 小问详解： 解：设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以 ，解得 ， 所以的和公比为 (2) 小问详解： 解：可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. 设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 30．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 （1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）先求出的表达式，然后利用裂项相消法求和，即可得到证明. (1) 小问详解： 因为，所以，即，又， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. (2) 小问详解： 由（1）得，则. 所以. 所以 . 因为，所以，即证. 31．【答案】 【分析】 根据题意，利用等差数列的性质，分别求得和，进而求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】 因为，由等差数列的性质，可得，解得， 又因为，所以， 设等差数列的公差为，可得， 则，所以. 故答案为：. 32．【答案】（1）；（2），最小值为． 【分析】 （1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】 （1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴ ， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 33．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. (1) 小问详解： 解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： 解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 34．【答案】（1） ；（2） 【详解】试题分析：（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列 的通项公式；（2）利用错位相减法进行求和． 试题解析：（1）b1＝1， ， ， ， ∴bn＋1－bn＝4． 数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列． ＝bn＝1＋4（n－1）＝4n－3， ∴数列{an}的通项公式为 ． （2）Sn＝21＋5×22＋9×23＋…＋（4n－3）·2n，① 2Sn＝22＋5×23＋9×24＋…＋（4n－3）·2n＋1，② ② －① 并化简得Sn＝（4n－7）·2n＋1＋14． 考点：1．等差数列；2．错位相减法． 考点03 等比数列 1．C 2．C 3．AC 4．C 5．C 6．D 7．A 8．A 9．D 10．D 11．B 12．C 13．A 14．C 15．A 16．AC 17．C 18．C 19．【答案】 【分析】 利用等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】 在等比数列中，若它的首项为，公比为，则. 故答案为：. 20．【答案】3 【分析】 根据给定等式，结合等比数列意义列出方程求解作答. 【详解】 各项均为正数的等比数列满足，则有， 整理得，而，解得， 所以. 21．【答案】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列．     （2）      【分析】 (1)由得到通项公式，根据“紧密数列”定义可得到结果； (2)根据第一问结果，可得到数列的通项公式，根据它是“紧密数列”以及，可得到，进而得到，然后根据等比数列求和公式可得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 22．【答案】 【分析】 利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】 ，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 23．【答案】 【分析】 方法一：由求，再根据时也符合即可求解；方法二：根据等比前的形式即可求解. 【详解】 方法一：当时，； 当时，， 又为等比数列，所以，则． 方法二：等比数列的前n项和为的形式，因为，则． 故答案为：. 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，由等比数列的性质即可得到； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，即可得到结果. (1) 小问详解： 由题意可得，，所以公比. (2) 小问详解： 由题意可得，，则. 25．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. (1) 小问详解： 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； (2) 小问详解： 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与的关系，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果. (1) 小问详解： 当时，，解得． 当时，，则，即， 从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 且当时，也满足， 所以故． (2) 小问详解： 由（1）可得，则， 故 ． 27．【答案】（1）6；（2） 或 【详解】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式以及求和公式列关于首项与项数的方程组，解方程组可得结果（2）先根据等比数列通项公式以及求和公式列关于首项与公比的方程组，解方程组可得结果，注意对等比数列求和公式的讨论 试题解析：(1) 由Sn＝ ，an＝a1qn－1以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝ ， ∴189＝a1(2n－1)＝a1 ，∴a1＝3. 又∵2n－1＝ ＝32，∴n＝6. (2) ① 当q≠1时，S3＝ ＝ ， 又a3＝a1·q2＝ ，∴a1(1＋q＋q2)＝ ， 即 (1＋q＋q2)＝ ， 解得q＝－ (q＝1舍去)，∴a1＝6. ② 当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝ . 综上得 或 28．【答案】（1） 由题意得，，即， 故，即， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列．     （2）      【分析】 （1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列； （2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，，即． 数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 故． 29．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项； （2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和. (1) 小问详解： 设数列的公差为，数列的公比为， 则 ，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. (2) 小问详解： ， 数列的前项和． . 30．【答案】 【分析】 记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】 记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 31．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可. (1) 小问详解： 设的公差为，∵成等比数列， ∴．即，即， 又，且，解得，所以有． (2) 小问详解： 由（1）知：， 则．即． 32．【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列.     （2）      【分析】 （1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 33．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）将题干中的两个方程含有的项都用基本量来表示，根据方程组可解得公差和首项，进而得通项公式； （2）根据分组求和的方法，结合等差数列前项和公式，等比数列前项和公式计算即可. (1) 小问详解： 由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以 ，解得 ， 因此，，. (2) 小问详解： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（     ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【分析】 观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】 由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 2．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据所给数据，分析规律，即可得答案. 【详解】 由题意可知1，4，9，16，…的通项公式可能是. 故选：C. 3．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设数列的前项和为．若，则（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【详解】 当时，， 当时，. 故选：D 4．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知数列满足：，则（       ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 10 【答案】C 【分析】 根据题意利用累加法分析求解即可. 【详解】 因为，则， 相加可得，即， 且，所以. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设数列，则数列的最小项是（       ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】B 【分析】 根据题意，将数列的通项公式变形可得，结合二次函数的性质分析可得答案． 【详解】 根据题意，， 又由，则时，取得最小值， 故选：． 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列中，且，则（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据递推公式计算数列的前几项找到周期性并进行计算即可. 【详解】 由且， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：D. 7．（25-26学年高二上·甘肃多校）在数列中，，，，则（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 由题意可得，根据数列的周期性即可求解. 【详解】 由，知， ∴，即数列是以4为周期的周期数列，. 故选：B. 8．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）数列，，，，，的第8项是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 运用观察法分别写出分子和分母的通项公式． 【详解】 重写数列的前5项，，，，， 通过观察得该数列的通项公式为，， 所以第8项为． 故选：B． 9．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分和判断的单调性，即可求解. 【详解】 ， 当时，，单调递减， 此时，； 当时，，单调递减， 此时，， 所以取到最小值时的值是. 故选：B. 10．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）已知数列的前项和为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 依次求出数列的前几项，观察可知数列是周期数列，周期是3.根据数列的周期性，即可求出答案. 【详解】 对于A项，因为，所以，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为， 所以，，， 观察可知，所以数列是周期数列，周期是3， 则，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：ACD. 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）在数列1，2，，中，是这个数列的　　 A. 第16项 B. 第24项 C. 第26项 D. 第28项 【答案】C 【详解】 数列可化为 ， 所以， 所以，解得，所以是这个数列的第项，故选C． 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误. 【详解】 由题意知：，故， ∴，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，，显然，故D错误； 故选：BC 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知数列满足，若，则（     ） A.  B. 2 C. 1 D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，逐项计算确定周期，再求出. 【详解】 数列中，，，则， 因此数列是周期数列，其周期为3， 所以. 故选：B 14．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）设数列满足，且，则（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 利用递推公式求出数列的项，得出数列为周期为的数列，即可求解. 【详解】 易得，，，， 又，则数列为周期为的数列， 则. 故选：A 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（       ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】B 【分析】 根据数列前的几项归纳出，即可求出结果. 【详解】 由题知，所以， 故选：B. 16．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知数列，则是这个数列的（       ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 【答案】B 【分析】 根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可. 【详解】 数列，即数列， 由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列， 所以通项公式， 令，解得. 故选：B. 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知数列满足.记数列的前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由取倒数变形，从而故，再利用累加法求解；由，得到，再利用累乘法求解. 【详解】 因为，所以，所以， 而， 故， 由累加法可得当时，，则， 又因为当时，也成立，所以， 即，A选项错误； 所以，B选项错误， 故， 由累乘法可得，当时， 所以， ，所以，C对D错. 故选：C 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知数列满足，，则（       ） A.  B. 2 C. 3 D.  【答案】B 【分析】 由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果. 【详解】 由，，则，， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列，则. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）已知数列{an}满足，，则（       ） A. {an}是递增数列 B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 由递推公式和可判断A，由数列递增和可判断B，由递推公式知可判断C，对递推公式取倒裂项，然后累加、放缩可判断D. 【详解】 因为a1=1，，所以，故A正确； 易知，所以为正整数，又{an}是递增数列，所以，故B正确； 由递推公式得：，又，所以，，，易知，故C不正确； 取倒得，则由累加法得整理得， 又所以 故选：ABD 20．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）（多选）设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在不同的三项构成等差数列 【答案】AC 【分析】 利用给定的前项和求出项、通项判断AC；利用作商法，结合递增数列意义判断C；利用反证法推理判断D. 【详解】 对于A，数列中，，则，A正确； 对于B，当时，， 而不满足上式，则数列不是等比数列，B错误； 对于C，，当时，，因此，数列为递增数列，C正确； 对于D，假设存在第（）项构成等差数列，则， 于是，即，则， 而，即都是偶数，又1是奇数，等式不成立， 若第（）项构成等差数列，则，即， 则，而是整数，等式不成立， 因此中任意三项都不能构成等差数列，D错误. 故选：AC 21．（25-26学年高二上·甘肃白银靖远县·期中）设数列满足，且，则（       ） A. 2 B. -3 C.  D. 3 【答案】A 【分析】 由数列的周期性求值. 【详解】 因为，， 所以，，，. 数列的周期为4，因为，所以. 故选：A. 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）已知数列满足，，则（       ） A.  B. 数列的最小值为 C. 数列为递减数列 D. 当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【分析】 本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【详解】 对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确； 对于B，由，得当时， ， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以， 由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为， 所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ABD. 23．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）若数列的前项和为，且满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 根据已知条件及数列的通项公式即可判断选项AC，结合数列的前和的定义即可求解. 【详解】 因为， 所以， ， 故A正确，C错误， 因为 所以 ， 所以 ， ， 故B正确， 由 ， 故D错误， 故选：AB. 24．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值. 【详解】 数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此 ， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 25．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（       ） A. 数列的通项公式为 B. 数列是等比数列 C. 数列的最大项为 D. 数列的前11项和为20481 【答案】BCD 【分析】 由和，作差得，整理得，即可判断数列为等比,判断B；再求出，通过构造得到数列为等差，求出的通项，进而求出的通项，判断A；令，由，可得最大值，判断C; 利用错位相减求和即可判断D. 【详解】 当时，，即，因为，所以， 当时，因为，所以，两式作差得：， 所以，所以数列是首项为， 公比为的等比数列，故B正确； 所以，即，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以，即，故A错误； 又，令， 则， 则， 则当时，取得最大值，C正确； 由，数列的前11项和为， 所以， 所以， 两式相减得：， 即，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 26．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】 当n＝1时，，∴＝2． 当时，，① ，，② ∴① －② 得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴． ∴. 所以 ． 故选：C 27．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列的前项和为，且满足，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】 当时，， 当时，， 综上， . 故答案为： 28．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）在数列中， ，若，则　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 结合递推关系 和首项，求出数列的前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【详解】 因为 且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故， 故答案为；1 29．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）数列满足： ，且 ，其前n项和. （1）求证：为等比数列； （2）记为数列的前n项和. （i）当时，求； （ii）当时，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）当时，， 整理得， 所以是公比为a的等比数列，又所以 （2）（i）， （ii）因为，   ∴当为偶数时，； 当为奇数时，，∴如果存在满足条件的正整数，则一定是偶数.∵. ∴当时， ，∴ 又． ∴当时，即，当时，b_2k+2<b_2k 即 ，即存在正整数，使得对于任意正整数都有. 【分析】 （1）利用当时，，进行运算，最后能证明出为等比数列； （2）（i）利用错位相减法，可以求出； （ii）根据的奇偶性进行分类，利用差比判断数列的单调性，最后可以求出的值. 【详解】 （1）略 （2）因为 （i）当    两式相减，整理得 . （ii）略 【点睛】 本题考查了等比数列的证明、错位相减法求数列和、以及不等式恒成立问题，考查了数学运算能力. 30．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】 由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 31．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）设数列的前项和为，且. （1）求； （2）记，数列的前项和为，求. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）当时，利用推出，由等差中项法得为等差数列，根据与求出公差，可得通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出结果. (1) 小问详解： 由， 当时，，解得， 当时，， 所以， 整理得：，① 所以有，② ①-② 可得， 所以为等差数列， 因为，所以公差为， 所以. (2) 小问详解： ， ∴ . 32．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意整理数列的通项公式，利用列举法与观察可得通项，可得答案. 【详解】 由，则， 所以， 可得，即，经检验，符合题意， 故. 故答案为：. 33．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 【答案】（1）     （2）     （3）8      【分析】 （1）分别代入和，即可得答案. （2）由题意，与原式相减，即可得答案. （3）利用错位相减法可求得表达式，结合的单调性，分析即可得答案， (1) 小问详解： 当时，，得， 当时，，得. (2) 小问详解： 因为， 所以当时，，两式作差得，. 所以当时，.又当时，，得，符合上式. 所以数列的通项公式为. (3) 小问详解： 由（2）知，. 所以， ， 两式相减得， 所以. 所以，所以单调递增. 当时，， 当时，， 所以使的最小的正整数的值为8. 34．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知为等差数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2），设，求数列的前项和. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用 即可； （2）利用分组求和即可. (1) 小问详解： ① 当时，， 当时，② ① -② 得：， 化简得， 检验当时，满足， 所以. (2) 小问详解： 由题意， 所以 所以. 35．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值. 【答案】（1）；（2）11. 【分析】 （1）利用等差数列通项公式和等比中项性质可得，，再代入通项公式，即可得答案； （2）先求，再利用裂项相消法求，最后求关于的不等式，即可得答案； 【详解】 解：（1）设的公差为，则 ∴，∵，∴， ∴的通项公式为. （2）由（1）知， ， ， 化为，∴， ∴，∴正整数， ∴满足条件的的最小值为11. 【点睛】 本题考查等差数列与等比数列基本量运算、裂项相消法求和，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 36．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和. 【答案】（1）     （2），      【分析】 （1）根据 求出为首项为2，公比为2的等比数列，求出通项公式； （2）先求出的公差，求出通项公式，再利用错位相减法求和得到答案. (1) 小问详解： ① ， 当时，，解得， 当时，② ， 式子①-② 得，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，，， 设的公差为，则，解得， 所以. 所以 故， 所以， 两式相减得， 所以. 37．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】数列是单调递增数列，则恒成立，分离实数和变量，构造新数列，利用的单调性求出数列的最小项，代入可得实数的取值范围． 【详解】 ，， 由于数列是单调递增数列，则，即，整理得， 令，， 所以，数列单调递增，则数列的最小项为，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】 本题考查数列的函数特性，考查函数单调性的定义应用，考查逻辑思维能力与转化思想，属于中档题． 38．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用（1）中结果得，再由裂项相消法，即可求解. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由，可得，可得① ， 由，可得，整理可得② ， 联立① ② 可得，，所以. (2) 小问详解： 因为，则， 所以③ ， ④ ， ③④ 得 ， 所以. (3) 小问详解： 由（1）知，所以， 则. 39．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3）不存在，理由如下： 由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列．      【分析】 （1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. (1) 小问详解： 由题意，当时，有；当时， 联立方程 ，解得 或 （舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程 ，解得 ， 所以数列的通项公式． 综上，，. (2) 小问详解： 因为， 所以...① ， ①×3得，...② ， ①-② 得，， ， 化简得：. (3) 小问详解： 略 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知等差数列的公差为，且，则（     ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【分析】 由等差数列的性质得到，再结合通项公式即可求解. 【详解】 因为，所以，解得， 所以． 故选：B． 2．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（       ） A.  B.  C. 15 D. 30 【答案】D 【分析】 根据韦达定理得到，利用等差数列求和公式及等差数列性质进行计算. 【详解】 ，是方程的两根， 所以， 又是等差数列， 所以其前20项和为． 故选：D 3．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（       ） A. 7尺 B. 14尺 C. 21尺 D. 19尺 【答案】D 【分析】 由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】 由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 4．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 根据等差数列的性质即可得到答案. 【详解】 由题意得，，可知选项A正确； 又由题意知，，可得，可知选项C正确，D错误． 故选：AC． 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解. 【详解】 由于 所以， 要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个， 故选：B 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（     ） A.  B.  C. 16 D. 18 【答案】C 【分析】 由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】 设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设等差数列的前n项和为，若，则＝（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 首先由求出，结合求出公差，最后根据等差数列通项公式求出. 【详解】 因为，所以．又，所以公差，则． 故选：B 8．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是（       ） A.  B. 的最小值为 C.  D. 存在最大值 【答案】AC 【详解】首先根据，得到，再依次判断选项即可. 【详解】 因为，所以， 又因为，解得. 对选项A，，故A正确； 对选项B，， 因为，，，， 所以的最小值为或，故B错误； 对选项C，， 又因为，所以，即，故C正确； 对选项D，因为，，所以无最大值，故D错误. 故选：AC 9．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【分析】 利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】 对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以， 所以数列的前n项和为： .故D正确. 故选：ACD 10．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（     ） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 由时得，根据得数列是首项为1，公差为2的等差数列，表示出，得到，令，利用可得最小值. 【详解】 ∵，∴当时，， 整理得，即， ∵的各项均为正数，∴， 由得， ∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，， ∴. 令，则， 当时，，当时，， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知数列是等差数列，若，“”，“”，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用等差数列的性质，结合充分性和必要性做出判断. 【详解】 因为数列为等差数列， 当时，显然任意的，均满足，但不一定满足， 即“”推不出“”，必要性不成立； 由数列是等差数列，设该数列的公差为，若， 则 ， 即“”能推出“”，充分性成立. 因此，是的充分不必要条件. 故选：A 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知数列的前项和为，若，则（       ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为11 【答案】ACD 【分析】 根据题意可知数列是首项为20，公差为的等差数列，可得，即可知A正确；易知，利用二次函数性质可得当最大时，的值为5或6，故B错误；由等差数列前项和公式可得，即，所以C正确；解不等式可得，所以可知D正确. 【详解】 由，得， 所以数列是首项为20，公差为的等差数列， 则， 令，得，即，故A正确； 易知 利用二次函数性质可知当最大时，的值为5或6，故B错误； 由，所以， 所以数列是等差数列，故C正确； 令，则，解得，所以当时，的最大值为11，故D正确． 故选：ACD． 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据，可得，，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D. 【详解】 解：因为， 所以，故A错误； ，所以， 则公差，故B错误； 所以等差数列为递增数列， 则，， 则， 所以， 所以，故D正确； 对于C，当时， ，。 此时，故C错误. 故选：D. 14．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【分析】 设等差数列的公差为，首项为，通过已知条件建立方程组解出，写出等差数列的通项公式和等差数列前项和公式，然后建立不等式解出即可. 【详解】 设等差数列的公差为，首项为， 因为， 则 ，即 ， 解得： ， 所以， ， 由，则有， 即，解得， 所以使成立的的最大值是5， 故选：C. 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意得到，利用等差中项求得，然后依次求得，即可求得. 【详解】 ∵，∴， 即，∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 16．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）（多选）设等差数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A.  B. 不是等差数列 C.  D. 数列的前n项和是 【答案】ACD 【分析】 先求解等差数列基本量，写出通项公式，可判断A选项；再根据等差数列定义，判断数列是等差数列；选项C，由裂项可得；选项D，在C的基础上，可求得. 【详解】 选项A：等差数列满足，，设公差为. 由,则 ，解得, 则.故选项A正确. 选项B：又， 则，且. 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故选项B错误. 选项C：由，得，故选项C正确. 选项D：根据选项的结果，设数列的前项和为. 则，故选项D正确. 故选：ACD. 17．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（     ） A. 数列是递增数列 B.  C. 当取得最大值时， D.  【答案】BC 【分析】 利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断. 【详解】 因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 18．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知一个多边形的周长为，所有各边的长度成等差数列，最大的边长为，公差为3，则这个多边形的边数是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 设这个多边形的最小边长为，根据等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】 设这个多边形的最小边长为， 因为多边形的周长为，且最大的边长为，公差为， 可得 ，解得，即这个多边形的边数是. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（     ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 【答案】A 【分析】 由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】 由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 20．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）在等差数列中，若，则的通项公式为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据等差数列基本量的计算得公差，即可求解. 【详解】 由可得公差， 故， 故答案为： 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1） 由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列.     （2）     （3）      【分析】 （1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； （3）利用错位相减法来求和即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知：，故； (3) 小问详解： ， ， 两式相减，得 ， ， 故. 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）在数列中，，点在直线上 （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列的前n项和. 【答案】（1）     （2） 由（1） ， ，得证.      【分析】 （1）由题意得到即可求解； （2）通过裂项相消法求和，即可求证. (1) 小问详解： 点在直线上， ∴， ∴，又， ∴数列为首项为，公差为的等差数列， 所以. (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最值． 【答案】（1），或     （2） 当时，有最小值，没有最大值； 当时，有最大值，没有最小值.      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （2）根据等差数列前项和，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由 ，或 ， 当 时，， 当 时，， 即，或； (2) 小问详解： 当时，， 当时，有最小值，没有最大值； 当时，， 当时，有最大值，没有最小值. 24．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据等差数列的相关计算，可求得，，进而可求得和，再结合等比中项的性质即可求解. 【详解】 因为为等差数列的前项和，且，， 所以可得 ，解得 ， 所以，， 设与的等比中项为，则，则， 所以与的等比中项为. 故答案为： 25．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知是等差数列且，则其公差　　　　　　. 【答案】 【分析】 由题目给出的已知条件，直接代入等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】 在等差数列中，， 所以公差. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为　　　　　　　　　　　，设数列的前项和为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由，得到，结合条件可得，即可求解. 【详解】 由，得到，又，则， 所以，得到，所以， 故答案为：;. 27．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，，求数列的前n项和. 【答案】（1） 因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列；     （2）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法求和即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由于，结合（1）知，， ， 所以. 28．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式　　　　　　　. 【答案】 【分析】根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解. 【详解】当时，， 则， ， ，，即， ， 所以， 所以当时，， 当时，，不满足上式， 故 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题. 29．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 （1）求数列的和公比； （2）若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1) 设等差数列的公差为，前项和为，由是“和等比数列”，所以，化简可得的值； (2) 由(1)可知，由错位相减得出，再设，计算得，再分为奇数和偶数两种情况求解可得的取值范围. (1) 小问详解： 解：设等差数列的公差为，前项和为， 则， 所以. 因为是“和等比数列”， 所以，即，对任意的都成立， 所以 ，解得 ， 所以的和公比为 (2) 小问详解： 解：可知，则， 所以， 所以， 所以， 即，所以. 设， . 不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 当为奇数时，，则； 当为偶数时，，则. 综上，的取值范围是 30．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：，. （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和，证明：. 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 （1）根据递推关系和等差数列的定义，推导出即可得解； （2）先求出的表达式，然后利用裂项相消法求和，即可得到证明. (1) 小问详解： 因为，所以，即，又， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. (2) 小问详解： 由（1）得，则. 所以. 所以 . 因为，所以，即证. 31．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）记为等差数列的前项和.若，，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，利用等差数列的性质，分别求得和，进而求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】 因为，由等差数列的性质，可得，解得， 又因为，所以， 设等差数列的公差为，可得， 则，所以. 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 【答案】（1）；（2），最小值为． 【分析】 （1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】 （1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴ ， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 33．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. (1) 小问详解： 解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： 解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 34．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足 ． （1）设 ，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设cn＝bn·2n，求数列{cn}的前n项和Sn． 【答案】（1） ；（2） 【详解】试题分析：（1）利用等差数列的定义进行证明，再求数列 的通项公式；（2）利用错位相减法进行求和． 试题解析：（1）b1＝1， ， ， ， ∴bn＋1－bn＝4． 数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列． ＝bn＝1＋4（n－1）＝4n－3， ∴数列{an}的通项公式为 ． （2）Sn＝21＋5×22＋9×23＋…＋（4n－3）·2n，① 2Sn＝22＋5×23＋9×24＋…＋（4n－3）·2n＋1，② ② －① 并化简得Sn＝（4n－7）·2n＋1＋14． 考点：1．等差数列；2．错位相减法． 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）1和2025的等比中项为 （       ） A. 50 B. 45 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等比中项定义计算求解. 【详解】 设1和2025的等比中项为， 则，解得. 故选：C. 2．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知数列是等比数列，若，则（       ） A. -2 B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 根据等比数列下标的性质可得. 【详解】 由题可知：. 故选：C 3．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）下列数列是等比数列的是（       ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 【答案】AC 【详解】 解：A选项，由等比数列的定义可知，该数列首项为1，公比为1的等比数列，故A正确； B选项，由等比数列的定义可知，等比数列的每一项都不能为0，一定不是等比数列，故B错误； C选项，由等比数列的定义可知，首项为，公比为的等比数列，故C正确； D选项，由等比数列的定义可知，，故不是等比数列，故D错误. 故选：AC. 4．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）等比数列中，，公比，若，则（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 利用等比数列的通项公式列式即可得解. 【详解】 因为数列为等比数列，，，， 所以，解得. 故选：C. 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知等比数列的公比，则（       ） A.  B. 5 C. 10 D. 20 【答案】C 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】 因为是等比数列，且， 所以. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断即可. 【详解】 充分性：当，若时，为递减数列，故充分性不成立； 必要性：当为递增数列，若时，则，所以必要性不成立， 故“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 7．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）等比数列，是的前项和，，则为（       ） A. 63 B. 108 C. 75 D. 83 【答案】A 【分析】 由成等比数列即可求解. 【详解】 由等比数列的性质可知：成等比数列， 所以， 解得：， 故选：A 8．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（     ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】A 【分析】 根据等差数列性质可求得，再利用等比数列性质求得结果. 【详解】 因为数列是等差数列，所以， 所以，解得或（舍去）， 又因为数列是等比数列，所以． 故选：A. 9．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知等比数列的首项为-1，前项和为，若，则公比（       ） A. 2 B. -2 C.  D.  【答案】D 【详解】根据等比数列前n项和公式，可求得表达式，结合题干条件，即可求得q的值. 【详解】 当公比时，，不满足题意，当时，，， 所以，解得， 故选：D 10．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（       ） A. 13 B.  C. 3或 D. 或13 【答案】D 【分析】 根据等差中项得到，根据等比中项得到，计算得到答案. 【详解】 a是4与6的等差中项，故， b是与的等比中项，则，则，或. 故选：D 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（       ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【分析】 求得等比数列的前项，进而求得，从而求得正确答案. 【详解】 等比数列的前n项和为， 则， ， 所以，则， 即， 所以. 故选：B 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知实数成等比数列，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】 设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 运用等比数列的公式性质，结合算术平方根的概念可解. 【详解】 为等比数列，若，则，则. 又与之和的算术平方根为5，得到，则，则. 则，则.， . 故选：A. 14．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 根据等比数列的通项公式及求和公式列方程求解. 【详解】 设的公比为， 则，解得， 由，解得， 所以， 解得. 故选：C 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知数列满足，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由递推关系证明数列是等比数列从而得，代入即可求解. 【详解】 易知，从而由题意得：，即， 由，得，从而得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，所以，解得. 故选：A. 16．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）设是等比数列，则（     ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 是等差数列 【答案】AC 【分析】 利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】 因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 17．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列是等比数列，，且，是方程两根，则（       ） A. 8 B. -8 C. 16 D. -64 【答案】C 【分析】 由等比数列的性质知，，再由韦达定理进行求解． 【详解】 因为是等比数列，所以，则. 又因为，是方程两根，所以. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知正项等比数列满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由等比数列的下标和性质可知，结合对数的运算性质即可求得答案. 【详解】 由等比数列的下标和性质可知， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 19．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知在等比数列中，若它的首项为，公比为，则通项公式为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】 在等比数列中，若它的首项为，公比为，则. 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）若各项均为正数的等比数列满足.求：公比q 【答案】3 【分析】 根据给定等式，结合等比数列意义列出方程求解作答. 【详解】 各项均为正数的等比数列满足，则有， 整理得，而，解得， 所以. 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． （1）试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． （2）若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 【答案】（1）是“紧密数列”．理由如下： 因为， 当时，， 所以， 当时，，满足上述关系式， 所以，则， 又，所以是紧密数列．     （2）      【分析】 (1)由得到通项公式，根据“紧密数列”定义可得到结果； (2)根据第一问结果，可得到数列的通项公式，根据它是“紧密数列”以及，可得到，进而得到，然后根据等比数列求和公式可得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 因为数列是“紧密数列”，所以， 又因为，即，整理得， 解得（舍去）或，则，， 因此， 故数列的前项和为． 22．（25-26学年高二上·甘肃多校）在等比数列中，前项和，则实数的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用与的关系求出的通项，可解出的值，再验证此时数列是等比数列即可. 【详解】 ，当时，， 依题意，也应满足，所以有，得． 此时，，，满足是等比数列，所以. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知等比数列的前n项和为，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 方法一：由求，再根据时也符合即可求解；方法二：根据等比前的形式即可求解. 【详解】 方法一：当时，； 当时，， 又为等比数列，所以，则． 方法二：等比数列的前n项和为的形式，因为，则． 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设等比数列的前项和为，已知，. （1）求公比的值； （2）求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意，由等比数列的性质即可得到； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，即可得到结果. (1) 小问详解： 由题意可得，，所以公比. (2) 小问详解： 由题意可得，，则. 25．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. (1) 小问详解： 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； (2) 小问详解： 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 26．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）设数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据与的关系，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果. (1) 小问详解： 当时，，解得． 当时，，则，即， 从而是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 且当时，也满足， 所以故． (2) 小问详解： 由（1）可得，则， 故 ． 27．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若，，求a1和公比q. 【答案】（1）6；（2） 或 【详解】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式以及求和公式列关于首项与项数的方程组，解方程组可得结果（2）先根据等比数列通项公式以及求和公式列关于首项与公比的方程组，解方程组可得结果，注意对等比数列求和公式的讨论 试题解析：(1) 由Sn＝ ，an＝a1qn－1以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝ ， ∴189＝a1(2n－1)＝a1 ，∴a1＝3. 又∵2n－1＝ ＝32，∴n＝6. (2) ① 当q≠1时，S3＝ ＝ ， 又a3＝a1·q2＝ ，∴a1(1＋q＋q2)＝ ， 即 (1＋q＋q2)＝ ， 解得q＝－ (q＝1舍去)，∴a1＝6. ② 当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝ . 综上得 或 28．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知首项为3的数列的前n项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） 由题意得，，即， 故，即， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列．     （2）      【分析】 （1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列； （2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，，即． 数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 故． 29．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项； （2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和. (1) 小问详解： 设数列的公差为，数列的公比为， 则 ，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. (2) 小问详解： ， 数列的前项和． . 30．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】 记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，若，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设等差数列的公差为，根据等比中项的性质得到方程，解得，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求和即可. (1) 小问详解： 设的公差为，∵成等比数列， ∴．即，即， 又，且，解得，所以有． (2) 小问详解： 由（1）知：， 则．即． 32．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明如下： 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列.     （2）      【分析】 （1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 33．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）将题干中的两个方程含有的项都用基本量来表示，根据方程组可解得公差和首项，进而得通项公式； （2）根据分组求和的方法，结合等差数列前项和公式，等比数列前项和公式计算即可. (1) 小问详解： 由题意，设等差数列的公差为，因为， 所以 ，解得 ， 因此，，. (2) 小问详解： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 数列的概念 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点01 数列的概念 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（     ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知数列1，4，9，16，…，则它的通项公式可能是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设数列的前项和为．若，则（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  4．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知数列满足：，则（       ） A. 20 B. 18 C. 15 D. 10 5．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设数列，则数列的最小项是（       ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列中，且，则（       ） A.  B. 2 C.  D.  7．（25-26学年高二上·甘肃多校）在数列中，，，，则（     ） A.  B. 1 C. 2 D. 3 8．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）数列，，，，，的第8项是（     ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）已知数列的前项和为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）在数列1，2，，中，是这个数列的　　 A. 第16项 B. 第24项 C. 第26项 D. 第28项 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知数列满足，若，则（     ） A.  B. 2 C. 1 D.  14．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）设数列满足，且，则（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知数列，2，，，，，…，则这个数列的第25项为（       ） A.  B.  C. 7 D.  16．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知数列，则是这个数列的（       ） A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项 17．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知数列满足.记数列的前项和为，则（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知数列满足，，则（       ） A.  B. 2 C. 3 D.  19．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）（多选）已知数列{an}满足，，则（       ） A. {an}是递增数列 B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）（多选）设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（       ） A.  B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在不同的三项构成等差数列 21．（25-26学年高二上·甘肃白银靖远县·期中）设数列满足，且，则（       ） A. 2 B. -3 C.  D. 3 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）（多选）已知数列满足，，则（       ） A.  B. 数列的最小值为 C. 数列为递减数列 D. 当时，n的最大值为8 23．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）若数列的前项和为，且满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 25．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）（多选）数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有（       ） A. 数列的通项公式为 B. 数列是等比数列 C. 数列的最大项为 D. 数列的前11项和为20481 26．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列的前项和为，且满足，则　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）在数列中， ，若，则　　　　　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）数列满足： ，且 ，其前n项和. （1）求证：为等比数列； （2）记为数列的前n项和. （i）当时，求； （ii）当时，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 30．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）设数列的前项和为，且. （1）求； （2）记，数列的前项和为，求. 32．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，则　　　　　　　　． 33．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值. 34．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知为等差数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2），设，求数列的前项和. 35．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知等差数列是单调递增数列，，且，成等比数列，是数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前项和，求满足的最小的的值. 36．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足：，，求数列的通项公式及数列的前n项和. 37．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）设数列满足，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 38．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 39．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和． （3）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 考点02 等差数列 1．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知等差数列的公差为，且，则（     ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 2．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知数列是等差数列，，是方程的两根，则数列的前20项和为（       ） A.  B.  C. 15 D. 30 3．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（       ） A. 7尺 B. 14尺 C. 21尺 D. 19尺 4．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知，，，和，，，，分别是两个公差不为零的等差数列，则下列说法正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（     ） A.  B.  C. 16 D. 18 7．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设等差数列的前n项和为，若，则＝（     ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）（多选）等差数列的前项和为，公差.若，则以下结论一定正确的是（       ） A.  B. 的最小值为 C.  D. 存在最大值 9．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 10．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（     ） A.  B. 3 C.  D. 4 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知数列是等差数列，若，“”，“”，则是的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知数列的前项和为，若，则（       ） A. 4是数列中的项 B. 当最大时，的值只能取5 C. 数列是等差数列 D. 当时，的最大值为11 13．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）记是等差数列的前项和，若，则使成立的的最大值是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）设为等差数列，公差，为其前项和，若，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）（多选）设等差数列满足，，则下列说法正确的是（    ） A.  B. 不是等差数列 C.  D. 数列的前n项和是 17．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）（多选）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（     ） A. 数列是递增数列 B.  C. 当取得最大值时， D.  18．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知一个多边形的周长为，所有各边的长度成等差数列，最大的边长为，公差为3，则这个多边形的边数是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 19．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（     ） A. 550 B. 450 C. 1100 D. 900 20．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）在等差数列中，若，则的通项公式为　　　　　　　　　　. 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 22．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）在数列中，，点在直线上 （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列的前n项和. 23．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）已知在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求的最值． 24．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为　　　　　. 25．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）已知是等差数列且，则其公差　　　　　　. 26．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为　　　　　　　　　　　，设数列的前项和为，则　　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. （1）证明：数列是等差数列； （2）已知，，求数列的前n项和. 28．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式　　　　　　　. 29．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为常数，则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.已知是首项为，公差不为的等差数列，且是“和等比数列”，设，数列的前项和为 （1）求数列的和公比； （2）若不等式对任意的成立，求实数的取值范围. 30．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：，. （1）求证：为等差数列； （2）设数列的前项和，证明：. 31．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）记为等差数列的前项和.若，，则　　　　　. 32．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 33．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 34．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足 ． （1）设 ，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设cn＝bn·2n，求数列{cn}的前n项和Sn． 考点03 等比数列 1．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）1和2025的等比中项为 （       ） A. 50 B. 45 C.  D.  2．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知数列是等比数列，若，则（       ） A. -2 B.  C. 2 D. 4 3．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）（多选）下列数列是等比数列的是（       ）． A. 1，1，1，1，1 B. 0，0，0，0，… C. ，，，… D. ，，1，，… 4．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）等比数列中，，公比，若，则（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知等比数列的公比，则（       ） A.  B. 5 C. 10 D. 20 6．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）若等比数列的公比为q，则“”是“是递增数列”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高二上·甘肃兰州外国语高级中学·期中）等比数列，是的前项和，，则为（       ） A. 63 B. 108 C. 75 D. 83 8．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则＝（     ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 9．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知等比数列的首项为-1，前项和为，若，则公比（       ） A. 2 B. -2 C.  D.  10．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知a是4与6的等差中项，b是与的等比中项，则（       ） A. 13 B.  C. 3或 D. 或13 11．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（       ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 12．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）已知实数成等比数列，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）在等比数列中，是数列的前项和．若，则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 15．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知数列满足，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）（多选）设是等比数列，则（     ） A. 是等比数列 B. 是等比数列 C. 是等比数列 D. 是等差数列 17．（25-26学年高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列是等比数列，，且，是方程两根，则（       ） A. 8 B. -8 C. 16 D. -64 18．（25-26学年高二上·甘肃兰州第六十一中学·期中）已知正项等比数列满足，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）已知在等比数列中，若它的首项为，公比为，则通项公式为　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）若各项均为正数的等比数列满足.求：公比q 21．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北中学·期中）若数列满足，则称是“紧密数列”．已知数列的前项和为，且． （1）试判断是否为“紧密数列”，并说明理由． （2）若数列是“紧密数列”，已知（为常数），且，求的前项和． 22．（25-26学年高二上·甘肃多校）在等比数列中，前项和，则实数的值为　　　　　　． 23．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）已知等比数列的前n项和为，则　　　　　　． 24．（25-26学年高二上·甘肃张掖临泽县第一中学·期中）设等比数列的前项和为，已知，. （1）求公比的值； （2）求的值. 25．（25-26学年高二上·甘肃多校）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 26．（25-26学年高二上·甘肃兰州·期中）设数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 27．（25-26学年高二上·甘肃兰州第一中学·期中）在等比数列{an}中， (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (2)若，，求a1和公比q. 28．（25-26学年高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中）已知首项为3的数列的前n项和为，且． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和． 29．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 30．（25-26学年高二上·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是　　　　　　　　　　　　. 31．（25-26学年高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，若，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 32．（25-26学年高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 33．（25-26学年高二上·甘肃武威凉州区·期中）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为3的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $