13.1 分式及其性质（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第13章 分式 13.1 分式及其性质 （第2课时）分式的基本性质与约分 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 为约分准备：找公因式 指出每组两个整式的一个公因式： （1） 与 （2） 与 解第（1）题 可取。 。 。 解第（2）题 可取。 。 两个整式都有因式。 方法：单项式看系数与相同字母；多项式先分解。 注意：约分需要公因式，不能只看相同的项。 复习引入 分数为什么相等 补全等式，并说明依据：；。 答：分别得到和；依据分数的基本性质。 解 第一个分数的分子、分母都乘。 第二个分数的分子、分母都除以。 方法：观察分子、分母是否同时作相同变换。 注意：乘或除的数必须不是。 复习引入 先看清变换是否同步 （1）。 √ 分子、分母同乘非零数。 （2）。 × 右边为，同时加数不保值。 （3）。 × 右边分母为，无意义。 方法：同时乘除与同时加减要区分。 注意：同乘的对象不能为零。 新知讲授 同乘一个整式，条件是什么 比较与：当时二者相等吗？当时呢？ 答：时相等；时后一个分式无意义。 解 时，后式为。 时，后式分母为。 方法：先看同乘的整式在给定值下是否为零。 注意：“同一个整式”还需满足值不为零。 新知讲授 分式的基本性质 基本性质 分式的分子和分母乘（或除以）同一个整式，当该整式的值不为时，分式的值不变，即 乘法表示 ，其中。 除法表示 ，其中。 新知讲授 使用基本性质的三个检查 对象 分子和分母要同时变化，乘或除的整式必须相同。 条件 所乘或所除整式的值必须不为；原分母也不能为。 前提 如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行。 新知讲授 同乘整式时检查取值 说明下列等式在什么条件下成立： （1） （2） 解第（1）题 取一切数。 。 同乘的整式始终不为。 解第（2）题 。 分子、分母同乘。 要求，即。 方法：把分子、分母所乘的整式找出来。 注意：新分母不能因变换变成零。 新知讲授 同除公因式，式子变简单 分式的分子、分母同除，得到什么结果？ 答：。 解 。 。 方法：先分别除去分子、分母中的同一因式。 注意：原分式有意义时且。 新知讲授 约分的含义 定义 像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分。 依据 约分依据分式的基本性质，约去的公因式的值不能为。 识别 ，约去了公因式。 例题讲解 例 4 约分： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 约去，得。 解第（2）题 。 分子、分母同除。 保留分母中剩下的。 方法：系数约去公因数；同底数幂减去指数。 注意：原分式应有意义；复合因式整体处理。 例题讲解 例 4 约分： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 分子、分母同除。 分子约去全部因式后为。 方法：把看成一个因式。 注意：分子约完写，不能写或漏写。 例题讲解 变式 例 4 约分： （1） （2） 解第（1）题 。 分子、分母同除。 。 解第（2）题 。 分子、分母同除。 分子剩下一个。 方法：复合因式与单个字母可用同样办法。 注意：本页均在原分式有意义的前提下约分。 例题讲解 辨析 辨析　相同的项能约去吗 小林写出，理由是“把上下的约掉”。这一步对吗？ 答：不对；分子与分母没有共同因式。 解 分子是和，不是乘某整式。 如，原式为，不是。 方法：先看分子、分母是否具有乘积结构。 注意：约去的是公因式，不是相同的项。 新知讲授 最简分式 定义 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式。 系数的处理 与都是最简分式。习惯上，在结果中将化为。 结果要求 分式的约分一般要使结果成为最简分式。 新知讲授 判断最简分式要看什么 （1）是最简分式。 √ 没有一次及以上的公因式；结果常写。 （2）是最简分式。 √ 分子、分母没有一次及以上的公因式。 （3）是最简分式。 × 还含有公因式。 方法：先看有没有一次及以上的共同因式。 注意：相同字母出现在某一项中，不等于存在公因式。 新知讲授 多项式先分解，再约分 先分解 ；先把分子、分母写成积。 再识别 在中，公因式是。 后约分 ，原式要求。 例题讲解 例 5 化简： （1） （2） （3） 解第（1）题 。 。 约去一个。 解第（2）题 。 约去公因式。 方法：识别完全平方、平方差及二次三项式。 注意：保留原分式的取值限制。 例题讲解 例 5 化简： （1） （2） （3） 解第（3）题 。 约去，得。 方法：利用统一因式。 注意：把相反因式变为相同因式时带上负号。 例题讲解 变式 例 5 化简： （1） （2） 解第（1）题 。 。 约去一个。 解第（2）题 。 约去。 方法：将分子、分母都分解完全。 注意：原式有意义分别要求、。 例题讲解 相反因式与负号 化简。 答：。 解 。 约去，得。 方法：把分子、分母写成同一一次因式。 注意：原式要求；负号不能丢。 例题讲解 辨析 辨析　约分后取值范围变了吗 小华把化为，于是认为原分式在时的值是。他的判断对吗？ 答：不对；原分式在时无意义。 解 约分得到的前提是。 使原分母为。 方法：判断取值时始终回看原分母。 注意：约分不会补回原来不能取的值。 方法总结 约分的两条主线 方法1　公因式的处理 ① 单项式：系数与字母分别处理。 ② 多项式：先因式分解。 ③ 复合因式：看作整体约分。 方法2　符号与条件 ① 相反因式先提出负号。 ② 分子因式约完后留下。 ③ 保留原分母不为零的条件。 课堂练习 练习1 下列分式中，哪些是最简分式？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 不是最简分式。 有一次公因式。 约分后为。 解第（2）题 不是最简分式。 。 约分后为。 方法：先分解，再判断是否有一次及以上的公因式。 注意：分子、分母都含字母，不代表能够约分。 课堂练习 练习1 下列分式中，哪些是最简分式？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 是最简分式。 分子、分母没有一次及以上的公因式。 含有同一个字母不等于有公因式。 解第（4）题 不是最简分式。 。 约分后为。 方法：只有第（3）个分式是最简分式。 注意：公因式要能整除整个分子与整个分母。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 分子、分母同除。 ，。 解第（2）题 。 分子、分母同除。 分母保留一个。 方法：系数先约公因数，字母再按幂相除。 注意：第（2）题的负号必须保留。 课堂练习 练习2 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 分子、分母同除。 分母保留一个。 解第（4）题 。 约去一个。 保留分子中的另一个。 方法：约去共同部分，保留剩余因式。 注意：第（4）题原式要求。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 。 约去，得。 解第（2）题 。 约去，得。 方法：分母出现相反因式时先提出负号。 注意：第（1）（2）题分别要求、。 课堂练习 练习3 化简： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 。 约去。 解第（4）题 。 约去。 方法：因式分解后约去共同因式。 注意：第（4）题原分母要求且。 课堂总结 基本性质 与约分 依据 分子、分母同乘或同除非零的同一整式，值不变。 步骤 先分解，找公因式，再约分。 结果 分子、分母没有一次及以上的公因式。 检查 符号、剩余因式、原式取值限制。 特别提醒：只能约去公因式；所有变形都以原分式有意义为前提。 针对训练 训练1　选择：基本性质 在原分式有意义的前提下，下列等式一定成立的是哪一项？ A. B. C. D. 答：B 解 分子、分母同乘非零数，值不变。 同加、同减或只变一处都不能保证相等。 方法：核对是否同时乘除同一个非零整式。 注意：“同时变化”不等于“任意变化”。 针对训练 训练2　填空：寻找同一变换 在原分式有意义且所用因式不为零的前提下，填空： （1） （2） 解第（1）题 。 分母乘了。 分子也乘，得。 解第（2）题 。 分子乘了。 分母也应乘。 方法：由已知部分判断乘除的整式。 注意：第（2）题还需。 方法总结 等值变形的两种方向 方法1　由原式写新式 ① 分子、分母同时乘或除。 ② 乘除的是同一个整式。 ③ 先确认这个整式不为零。 方法2　由结果补空 ① 比较对应的分子或分母。 ② 找到乘除的共同整式。 ③ 把相同变换用于另一处。 针对训练 训练3　单项式约分 化简： （1） （2） 解第（1）题 。 分子、分母同除。 剩下。 解第（2）题 。 分子、分母同除。 剩下。 方法：系数用公因数，字母用较低次幂。 注意：约分后确认没有漏掉负号。 针对训练 训练4　多项式约分 化简： （1） （2） 解第（1）题 。 。 约去，原式要求。 解第（2）题 。 。 约去，原式要求。 方法：先识别平方差或完全平方公式。 注意：约分前写成乘积形式。 针对训练 训练5　判断：结果是否最简 （1）是最简分式。 √ 没有一次及以上的公因式；结果常写。 （2）是最简分式。 × 分母为，还可约去。 （3）是最简分式。 √ 分子、分母没有一次及以上的公因式。 方法：先把分子、分母充分分解。 注意：最简分式的定义关注一次及以上的公因式。 针对训练 训练6　找错并改正 某同学写出。指出错误并写出正确结果。 答：正确结果为，原式要求。 解 分子。 约去后剩下。 方法：完整分解后检查每个剩余因式。 注意：不能只从分子中删去某一项。 方法总结 约分时防止两类错误 方法1　结构错误 ① 和、差不能按相同项直接约去。 ② 多项式先分解成因式的积。 ③ 约去公因式后核对剩余部分。 方法2　符号错误 ① 相反因式相差一个负号。 ② 先统一因式方向，再约分。 ③ 分子全部约去后仍有。 针对训练 训练7　先化简，再求值 先化简，再求时的值。 答：化简为；当时值为。 解 。 符合，得。 方法：先约分可减少代入后的运算。 注意：代入值仍应符合原分母非零。 针对训练 训练8　相反因式的幂 化简。 答：。 解 。 。 方法：先统一因式，再处理系数和次数。 注意：原式要求；分母提出的负号要保留。 针对训练 训练9　等式成立的条件 把化成，这个等式对所有都成立吗？说明理由。 答：不是；仅在时成立。 解 约去要求。 当时，原式无意义。 方法：先检查原式，再说明变形的适用条件。 注意：右边有值，不代表原式也有值。 针对训练 训练10　化简并检查结果 化简，并求时的值。 答：化简为；当时值为。 解 。 符合，得。 方法：分子、分母都分解，再约去共同因式。 注意：原式仍要求且。 针对训练 训练11　应用：长方形花圃 长方形花圃的面积为平方米，长为米，其中。用含的式子表示宽，并化简；当时，宽是多少米？ 答：宽为米；此时为米。 解 。 当时，（米）。 方法：由“宽面积长”列式，再约分。 注意：保证长与面积都为正。 针对训练 训练12　应用：物品平均单价 班级购买份同样的学习用品，共花费元，其中是大于的整数。用含的式子表示每份单价并化简；当时，单价是多少元？ 答：单价为元；当时为元。 解 。 ；代入得元。 方法：用总价除以份数，再分解、约分。 注意：实际份数为正整数，单价应为正。 方法总结 用约分解决实际问题 方法1　列式与化简 ① 先明确所求量与已知量的关系。 ② 分子、分母尽量分解成乘积。 ③ 约去共同因式后解释结果。 方法2　条件与检验 ① 数量关系要符合实际情境。 ② 原分母不能为零。 ③ 代入结果带单位，并检验合理性。 $