12.2 因式分解的方法（第3课时）2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第12章 因式分解 12.2 因式分解的方法 （第3课时）完全平方公式 年 级：七年级 学 科：数学（沪教版） 复习引入 学习目标 知识 识别两平方项与两倍乘积项，理解完全平方公式的逆向应用。 方法 能准确确定括号中的符号，完成提取公因式和整体代入。 应用 通过展开检验分解结果，用完全平方结构解决面积与求值问题。 复习引入 复习　完全平方公式的展开 计算：与，比较两个结果。 答：分别为与。 解 。 。 两式的平方项相同，中间项互为相反数。 方法：回忆两数和与差的平方公式。 注意：的常数项仍然是。 复习引入 正方形的面积拼合 图形 边长的正方形，按边长与划分，其中，。 分块 四块面积分别是、、、。 整体 分块面积相加得到。 知识讲授 完全平方公式的两个方向 乘法展开 ，。 反向分解 ，。 结果形式 一个整式的平方，就是两个相同整式的积。 知识讲授 完全平方公式 如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解． 两个平方项相加，中间项是两个底数乘积的正或负的两倍。 知识讲授 完全平方结构的核对 两平方项 先找与，确定它们的底数与。 两倍乘积 计算，核对中间项的绝对值与符号。 结果符号 中间项为时写，为时写。 知识讲授 尝试　中间项的准确核对 判断是否符合完全平方公式，并因式分解。 答：符合，。 解 两平方项为与。 中间项。 因此原式。 方法：找到两平方项后，必须核对中间项。 注意：只有首尾是平方，还不能判定为完全平方。 知识讲授 先提负号，再辨结构 例式 的两个平方项都带负号。 整理 先提取，得。 分解 括号内符合完全平方结构，所以原式为。 知识讲授 整式整体与公式对应 观察 在中，重复出现。 对应 把看成整体，另一个底数为，中间项为。 结果 原式，整体代入后不必先展开。 环节归纳 知识归纳 结构判定 （1）先找两个平方项及其底数。 （2）再核对两倍乘积项是否吻合。 符号确定 （1）中间项决定括号内加号或减号。 （2）负的平方项可先提取负号。 例题讲解 例 5 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ，。 。 解第（2）题 ，。 。 第（1）题：核对两平方项与负的两倍乘积项。 注意：中间项为负，括号内写减号。 第（2）题：核对中间项后套公式。 注意：平方底数是与。 例题讲解 例 5 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 先提负号，得。 括号内为。 解第（4）题 核对中间项：。 第（3）题：先提负号，再用公式。 注意：提取负号后，各项都变号。 第（4）题：找平方项，再核对中间项。 注意：分数系数不可遗漏。 例题讲解 变式 变式1　首尾平方还须核对中间项 整式可分解为两个相同整式的积。填出的两个可能值，并写出对应分解。 答：时为；时为。 解 两平方项的底数为与。 两倍乘积为。 中间项可以为或。 方法：中间项的系数由两倍乘积确定。 注意：完整考虑和的平方与差的平方两种情况。 例题讲解 例6（1）　先提取公因式 因式分解：。 答： 解 先提取公因式，得。 括号内两平方项的底数为与。 ，故得。 方法：公因式先提出，再核对完全平方结构。 注意：公因式不应进入平方。 例题讲解 例6（2）　把多项式看作整体 因式分解：。 答： 解 两个平方项为与。 中间项为。 用和的平方公式，得。 方法：重复出现的多项式可作为整体底数。 注意：先整体观察，避免把原式展开后再整理。 例题讲解 变式 变式2　公因式与整体结合 因式分解：。 答： 解 先提取，得。 括号内以与为两个底数。 用差的平方公式，得。 方法：先提数的公因式，再用整体代入。 注意：前面的只乘平方，不能写入括号后一起平方。 知识讲授 公式法 根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 平方差结构：。 完全平方结构：。 使用哪一个公式，要由整式的项数与各项关系决定。 环节归纳 例题归纳 基本分解 （1）两个平方项决定底数。 （2）中间项必须等于正负两倍乘积。 综合分解 （1）先提取公因式，负号也可提出。 （2）整体代入后检查最后的括号。 课堂练习 练习1 （口答）下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？ （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 不能。 平方底数为与，两倍乘积应为。 解第（2）题 不能。 常数项为，两个平方项的符号不同。 第（1）题：核对中间项。 注意：与所需的不一致。 第（2）题：先看两个平方项的符号。 注意：不能把负的常数当成正的平方项。 课堂练习 练习1 （口答）下列整式能用完全平方公式因式分解吗？为什么？ （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 能，。 两底数为与，中间项为。 解第（4）题 能，。 先提取负号，得。 第（3）题：核对三个对应部分。 注意：中间项为负，写差的平方。 第（4）题：先提负号后判断。 注意：括号内中间项为正。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 ，符合和的平方结构。 解第（2）题 ，。 第（1）题：找底数并核对中间项。 注意：第一项的底数是。 第（2）题：系数为的中间项也要核对。 注意：分数的平方底数要准确。 课堂练习 练习2 因式分解： （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 两底数为与，中间项为。 解第（4）题 先提负号，得。 第（3）题：完整识别单项式底数。 注意：底数中的字母不能遗漏。 第（4）题：先提负号，把看作整体。 注意：最外层的负号必须保留。 课堂练习 练习3（1）　含字母公因式的分解 因式分解：。 答： 解 三项的公因式为。 原式。 括号内为和的平方，得。 方法：先提出数与字母共同组成的公因式。 注意：公因式中的指数取三项共同的最低指数。 课堂练习 练习3（2）　多项式整体的分解 因式分解：。 答： 解 两个底数为与。 中间项为。 原式。 方法：把作为完整底数。 注意：结果中减去的是，原有的仍保留。 环节归纳 课堂练习归纳 公式判别 （1）平方项、中间项需同时符合。 （2）先提负号后重新检查各项符号。 整体与公因式 （1）公因式提出后仍须观察括号。 （2）多项式底数作为整体代入公式。 课堂小结 完全平方公式 结构特征 三个项中有两个平方项，另一项等于两个底数乘积的正或负的两倍，三项关系必须同时满足。 基本公式 。中间项的正负决定括号内的符号，平方项均为正。 分解步骤 先提取公因式或负号，再确定两个底数，核对两倍乘积项，最后写成一个整式的平方。 应用检验 多项式可作为公式中的整体底数。求值与面积问题先找完全平方结构，再通过展开检验结果。 特别提醒：首尾为平方不代表一定符合公式；提负号时每一项都要变号。 针对训练 训练1　选择：完全平方的识别 下列整式中，能直接用完全平方公式因式分解的是（　）。 A. B. C. D. 答：B 解 B的两底数为与，中间项为。 A、C的中间项不符合，D的常数项为负。 方法：逐项核对两个平方项与两倍乘积项。 注意：不能只凭整式有三项就使用公式。 针对训练 训练2　填空：两倍乘积项 填空：。 答：填。 解 两平方项的底数为与。 中间项。 方法：由两个底数计算两倍乘积。 注意：括号内是加号，对应中间项为。 针对训练 训练3：完全平方辨析 （1） 对 理由：中间项为。 （2） 对 理由：两底数为与。 （3） 错 理由：左边缺少中间项。 （4） 错 理由：正确结果为。 方法：展开平方，逐项核对。 注意：平方前的负号不能移入括号后消失。 针对训练 训练4　计算：分数系数 因式分解：。 答： 解 两个底数为与。 中间项。 用差的平方公式完成分解。 方法：中间项系数为时也要完整核对。 注意：常数项为，底数为。 方法总结 训练方法一 判别与填项 （1）先找平方底数，再算两倍乘积。 （2）填空时同时核对系数与符号。 展开检验 （1）展开所得平方，与原式逐项比较。 （2）检查是否漏写中间项或负号。 针对训练 训练5　计算：提负号 因式分解：。 答： 解 先提负号，得。 括号内两底数为与。 中间项为，用和的平方公式。 方法：先提负号，再确定括号内的符号。 注意：原式中间项为负，提负号后变成正。 针对训练 训练6　计算：提取字母公因式 因式分解：。 答： 解 先提取公因式。 原式。 括号内为差的平方，得。 方法：先观察各项公因式，再观察三项结构。 注意：外面的不参与括号内的平方。 针对训练 训练7　计算：多项式整体 因式分解：。 答： 解 令两个底数分别为与。 中间项为。 使用和的平方公式。 方法：重复出现的多项式整体代入。 注意：括号内的不会因使用和的平方而改变。 针对训练 训练8　辨错：平方底数 小林写道：。指出错误，并写出正确的因式分解。 答：应为。 解 应写成，底数是。 中间项。 因此原式。 方法：底数确定后，再用中间项检验。 注意：错误结果展开的二次项会变成。 方法总结 训练方法二 公因式处理 （1）提取的因式保留在平方外。 （2）提出负号时全部项都变号。 整体处理 （1）重复出现的整式作为一个底数。 （2）代入公式后只合并需要化简的项。 针对训练 训练9　计算：利用完全平方简算 利用因式分解计算：。 答： 解 把写成。 原式。 原式。 方法：相邻于整百数时，先观察是否符合完全平方。 注意：中间项必须先核对，不能只凑整。 针对训练 训练10　说理：相差2的整数 两个整数分别为与。说明它们的积加上一定是一个整数的平方。 答：它们的积加等于。 解 列式为。 用完全平方公式得。 是整数，因此结论成立。 方法：先根据语言列式，再识别完全平方结构。 注意：说明“整数的平方”时，要交代底数是整数。 针对训练 训练11　应用：花园扩建 一座边长为米的正方形花园沿右边和上边各向外拓宽米，形成新的正方形，其中。用因式分解表示新花园的面积，并求时的面积。 答：平方米；当时，平方米。 解 分块面积相加：。 合并并分解得。 代入，得平方米。 方法：从分块面积建立三项式，再用完全平方公式。 注意：右上角的正方形只计算一次。 针对训练 训练12　应用：正方形纸片裁剪 一张边长为厘米的正方形纸片，沿四边向内各裁去厘米宽的边条，保留中间正方形，其中。把保留部分的面积写成整式并因式分解，再求时的面积。 答：平方厘米；时，平方厘米。 解 保留部分的边长为。 面积展开为，分解为。 代入，得平方厘米。 方法：先求剩余边长，再求面积。 注意：两端都要减厘米，边长应为正。 方法总结 训练方法三 简算与说理 （1）把数字或语言转成三项式。 （2）找出完全平方结构再解释结果。 面积应用 （1）分块相加时检查有无重复或遗漏。 （2）边长变化要计入两端，并写清单位。 $