专题8.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题8.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 直线与圆的位置关系 新课标Ⅱ卷：第10题，6分 全国一卷：第7题，5分 全国二卷：第11题，6分 全国一卷：第11题，6分 圆与圆的位置关系 全国二卷：第9题，6分 命题规律分析 1、直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的重点、热点内容，高考试题中注重数形结合与几何性质的应用，侧重考查数学运算、逻辑推理及综合分析能力。 从近三年的高考情况来看，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的高频考点，考查频率、题型、难度都比较稳定；直线与圆结合命题时，主要考查直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线方程等问题，有时会与距离公式等内容结合考查，往往以选择题、填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解。 考点1 直线与圆的位置关系 知识点1 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 4．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点2 与圆有关的最值问题的解题策略 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 考点2 圆与圆的位置关系 知识点3 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 3．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【方法技巧与总结】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. 【题型1 直线与圆的位置关系】 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【解题思路】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【解答过程】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 【变式1-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可. 【解答过程】圆配方. 因此，即，圆心为，半径. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即， 整理，解得或.结合圆的条件，因此直线与圆相切等价于. 因此是直线与圆相切的充要条件. 故选：C. 【变式1-2】（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】C 【解题思路】先根据点与圆的位置关系得出，再根据点到直线距离公式判断出直线与圆的位置关系． 【解答过程】由题知，圆的圆心为，半径为， 因为点在圆外， 所以，则， 到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：C. 【变式1-3】（2026·新疆·模拟预测）若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先根据直线与圆有公共点得出圆心到直线的距离小于等于半径，再通过距离公式列不等式求解的取值范围，最后判断选项中哪个值不在该范围内. 【解答过程】由圆的方程为，可得圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即，解得：， 对于选项A，，不在范围内； 对于选项B，，在范围内； 对于选项C，，在范围内； 对于选项D，，在范围内； 故选：A. 【题型2 圆的弦长问题】 【例2】（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解. 【解答过程】由，可得标准方程：， 则圆心坐标为，圆的半径. 由直线的方程为，得圆心到直线的距离：， 所以. 故选：B. 【变式2-1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【解题思路】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【解答过程】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 故选：D. 【变式2-2】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【解答过程】将直线整理为， 令，得直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， ，故点在圆内， 设圆心到直线的距离为，弦长. 要使最小，需取最大值. 当时，， 此时. 故选：B. 【变式2-3】（2026·福建厦门·二模）若直线和被圆所截得的弦长相等，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】先计算直线截圆所得弦长，再利用点到直线距离公式表示直线截圆的弦长，根据弦长相等建立方程，求解并结合的条件确定的值. 【解答过程】圆的圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为. 由两弦长相等，得，两边除以2得. 两边平方得，移项得. ，整理得，即. 因，故，解得. 故选：B. 【题型3 圆的切线方程、切线长问题】 【例3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程. 【解答过程】圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D. 【变式3-1】（2026·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 【答案】B 【解题思路】求出圆的圆心和半径，再利用切线长定理求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 则， 所以. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】分为切线的斜率是否存在两种情况，结合直线与圆相切的条件列式即可得到答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 当斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为，即， 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 所以，解得，所以直线方程为， 综上，过点与圆 相切的直线方程是或. 故选：D. 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 【例4】（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【解答过程】由题可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 设与直线距离为的平行线为， 由，可解得或， 则圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， 因为圆上到直线距离为的点有且仅有个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故选：D. 【变式4-1】（2026·山东·一模）已知圆，直线，若圆C上有且仅有一点到直线l的距离为1，则（   ） A．6 B．10 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意可知，圆的圆心到直线l的距离等于，再利用点到直线的距离公式列得方程式即可求得. 【解答过程】由题可知圆的圆心为，半径， 因为圆C上有且仅有一点到直线l的距离为1， 则圆心到直线的距离为， 又圆心到直线的距离， 解得. 故选：D. 【变式4-2】（2026·四川德阳·模拟预测）若圆:恰有个点到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】条件可转化为圆心到直线为，结合点到直线距离公式列方程可求结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 因为圆上恰有个点到直线的距离为1， 所以到直线的距离为， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 【变式4-3】（2026·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得圆心到直线的距离，由求解即可. 【解答过程】由题意可得圆，则圆心，半径， 则圆心到直线l的距离. 因为圆上恰有两个点到直线l的距离为2， 所以，即，又， 解得：. 故选：B. 【题型5 直线与圆中的最值问题】 【例5】（2026·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定圆心的轨迹方程，再根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离最大值. 【解答过程】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 【变式5-2】（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据几何关系可得，由此推得，再分析的取值范围，从而得到的取值范围，据此可求得的最小值． 【解答过程】如图所示，可知， 根据对称性易得，所以， 所以， 圆心到直线的距离，且易知， ，所以， 所以． 故选：D. 【变式5-3】（2026·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【解答过程】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 【题型6 圆与圆的位置关系】 【例6】（2026·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【答案】B 【解题思路】将两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据圆心距与半径和差的大小关系判断圆与圆的位置关系即可. 【解答过程】圆即，圆心为，半径为； 圆即，圆心为，半径为； 圆心距为，因为，所以两个圆外离. 故选：B. 【变式6-1】（2026·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【解答过程】由题可得， 解得：． 故选：B. 【变式6-2】（2026·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【解题思路】先写出圆的圆心及半径，再根据圆心间距离和半径的关系判断圆与圆的位置关系. 【解答过程】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切. 故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·浙江·期中）若圆：与圆：相交，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距为， 由与相交得，，解得. 故选：B. 【题型7 两圆的公共弦】 【例7】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【解答过程】由 ，所以圆心，半径； 由 ，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高三下·黑龙江·阶段检测）圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解题思路】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【解答过程】圆：  ①，所以，. 圆：  ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程相减即可求解； 【解答过程】由圆与圆方程相减可得： ， 所以公共弦所在的直线方程为， 故选：A. 【变式7-3】（2026·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【解答过程】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C. 【题型8 两圆的公切线】 【例8】（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】根据公切线条数判断两圆的位置关系，再根据圆心距列式求解. 【解答过程】∵圆的标准方程为，∴圆的圆心为，半径为. 又圆的圆心为，半径为. ∴两圆的圆心距为. ∵两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切， ，解得. 故选：C. 【变式8-1】（2026·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】通过计算可知两个圆内切，故两圆相减得到的方程即为所求. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为 所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程， 所以 整理得， 故选：C. 【变式8-2】（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】根据题意可知圆和圆外切，利用列等式求解即可. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 圆与圆恰有3条公切线，圆和圆外切， ，即，解得或. 故选：D. 【变式8-3】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 一、单选题 1．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心到直线的距离，利用直线与圆有交点列不等式求解即可 【解答过程】由题圆C：，圆心， 圆心到直线l：的距离为， 若l与C有公共点，则， 故选：C. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【解答过程】易知两圆相交，两圆方程作差，， 即， 化简可得直线的方程为. 故选：D. 3．（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【解答过程】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 故选：C. 4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆的方程确定圆心和半径再结合直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系可知，然后解不等式可得的取值范围. 【解答过程】由题意可得：圆心为，半径，且直线过定点， 因为圆上有且仅有2个点到直线的距离为1， 则圆心到直线的距离满足， ，结合，解得， 故选： D. 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解题思路】通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合垂径定理与勾股定理计算出公共弦长. 【解答过程】已知两圆方程：圆，圆心，半径，圆， 将两圆方程相减消去二次项，得到公共弦方程， 化简得：. 根据点到直线的距离公式，圆心到公共弦的距离：， 根据垂径定理，公共弦长. 故选：D. 6．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 故选：A. 7．（2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据题目条件得到，从而得到方程，求出答案 【解答过程】圆，圆心，圆的半径． 若直线上存在唯一点，使得过点作圆的两条切线相互垂直， 由几何关系可知，此时，即， 即，解得或（舍）． 故选：B. 8．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解题思路】先由圆方程得圆心与半径，借助垂径定理用圆心到直线距离表示弦长，进而写出的面积解析式；利用基本不等式得到面积最大时，设过原点直线斜截式方程，代入点到直线距离公式列方程，求解得到直线斜率． 【解答过程】由题意得圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 若的斜率不存在，则的方程为，， 若的斜率存在，设的方程为，即， 所以，即， 整理得，解得，， 综上，直线的斜率为或． 故选：D. 二、多选题 9．（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【解答过程】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 故选：AC. 10．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 【答案】BC 【解题思路】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D. 【解答过程】的圆心和半径分别为, 故，则，A错误， 由于，故原点在圆内，B正确， 的圆心和半径分别为,由于， 故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确， 到直线的距离为，则， 故，D错误. 故选：BC. 11．（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【解题思路】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【解答过程】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为___________． 【答案】 【解题思路】求出圆心、半径，结合，利用点到直线距离公式与勾股定理列方程求解即可. 【解答过程】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， 所以实数的值为. 故答案为：. 13．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则___________． 【答案】7 【解题思路】先利用圆的对称轴过圆心求出的值，再根据切线长公式即可求得结果. 【解答过程】由圆，可得， 所以圆心，半径为， 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 即，解得，即， 则，所以切线长为. 故答案为：. 14．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】求出圆的圆心和半径，由已知可得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，并求出的范围，再结合圆的性质建立不等式求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交， 则，即，令圆心到直线的距离为， 于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点， 使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【解题思路】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【解答过程】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【解答过程】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 17．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值是，最小值是 【解题思路】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）将目标式看作圆上动点 到定点 距离的平方，利用圆心到定点距离与半径的关系确定距离范围，从而得到平方的最值． 【解答过程】（1）方程表示以点为圆心，以为半径的圆． 可理解为圆上一点与原点间的斜率， 设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得． 或． 的最大值为，最小值为． （2）， 可理解为圆上的一点与点距离的平方， 又圆心到点的距离为， 所以的最大值是， 最小值是． 18．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【解题思路】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【解答过程】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)直线过定点. 【解题思路】（1）设，然后根据列等式，最后整理即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可得到当时，面积最大，然后利用等腰三角形的性质列方程，解方程即可； （3）根据圆的性质得到为以为直径的圆与圆的相交线，然后根据圆的方程得到的方程，最后求定点即可. 【解答过程】（1）由题意得，所以. 设，因为点，，所以， 化简得. 所以曲线的方程为. （2）曲线是圆心为，半径的圆， ， 当时，面积最大，所以为等腰直角三角形， 圆心到直线距离为，解得或. （3） 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 直线与圆的位置关系 新课标Ⅱ卷：第10题，6分 全国一卷：第7题，5分 全国二卷：第11题，6分 全国一卷：第11题，6分 圆与圆的位置关系 全国二卷：第9题，6分 命题规律分析 1、直线与圆、圆与圆的位置关系 直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的重点、热点内容，高考试题中注重数形结合与几何性质的应用，侧重考查数学运算、逻辑推理及综合分析能力。 从近三年的高考情况来看，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的高频考点，考查频率、题型、难度都比较稳定；直线与圆结合命题时，主要考查直线与圆的位置关系、圆的弦长、切线方程等问题，有时会与距离公式等内容结合考查，往往以选择题、填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解。 考点1 直线与圆的位置关系 知识点1 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 2．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 3．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 4．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点2 与圆有关的最值问题的解题策略 1．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 考点2 圆与圆的位置关系 知识点3 圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系及判断方法 (1)圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切. (2)圆与圆的位置关系的判定方法 ①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)： 设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下： 位置关系 关系式 图示 公切线条数 外离 d>r1+r2 四条 外切 d=r1+r2 三条 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两条 内切 d=|r1-r2| 一条 内含 0≤d<|r1-r2| 无 ②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断. 当Δ>0时，两圆有两个公共点，相交；当Δ=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当Δ<0时，两圆无公共点，包括内含与外离. 2．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以 .即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长. 3．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系. (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 【方法技巧与总结】 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. 【题型1 直线与圆的位置关系】 【例1】（2026·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【变式1-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2026·江苏·三模）已知点在圆外，则直线与圆的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式1-3】（2026·新疆·模拟预测）若直线与圆有公共点，则实数的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【题型2 圆的弦长问题】 【例2】（2026·北京石景山·一模）直线与圆相交于A，B两点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2-1】（2026·北京·三模）已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【变式2-2】（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·福建厦门·二模）若直线和被圆所截得的弦长相等，则（   ） A． B． C．2 D．4 【题型3 圆的切线方程、切线长问题】 【例3】（25-26高二上·江苏连云港·期中）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江西萍乡·二模）过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（   ） A．16 B．4 C．21 D． 【变式3-2】（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点与圆 相切的直线方程是（    ） A． B． C．或 D． 【变式3-3】（2026·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【题型4 圆上的点到直线距离个数问题】 【例4】（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·山东·一模）已知圆，直线，若圆C上有且仅有一点到直线l的距离为1，则（   ） A．6 B．10 C． D． 【变式4-2】（2026·四川德阳·模拟预测）若圆:恰有个点到直线的距离为1，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·四川·三模）已知圆上恰有两个点到直线的距离为2，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 直线与圆中的最值问题】 【例5】（2026·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·湖北·二模）已知圆，直线，过直线上一动点作圆的两条切线，切点记作，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 圆与圆的位置关系】 【例6】（2026·河南·模拟预测）圆与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．外离 C．内含 D．相交 【变式6-1】（2026·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【变式6-3】（25-26高二上·浙江·期中）若圆：与圆：相交，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【题型7 两圆的公共弦】 【例7】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三下·黑龙江·阶段检测）圆与的公共弦长为（   ） A． B． C． D．4 【变式7-2】（25-26高二上·河北邢台·期末）圆与圆的公共弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【题型8 两圆的公切线】 【例8】（2026·山西太原·二模）已知圆与圆有且仅有三条公切线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】（2026·山东泰安·二模）已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·河北·模拟预测）已知圆与圆有3条公切线，则实数的值为（   ） A．0或4 B．1或3 C．或 D．或 【变式8-3】（25-26高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 一、单选题 1．（2026·甘肃·模拟预测）已知圆C：，直线l：，若l与C有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南永州·一模）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 4．（2026·江苏镇江·模拟预测）若圆上有且仅有2个点到直线（）的距离为1，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南洛阳·模拟预测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C． D．4 6．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·一模）已知圆，若直线上存在唯一点P，使得过点P作圆C的两条切线相互垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．（2026·山东·模拟预测）已知过原点的直线与圆：交于两点，当面积取得最大值时，直线的斜率为（     ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北·二模）已知圆的半径为2，则（   ） A． B．原点在圆的内部 C．圆与圆有且仅有1条公切线 D．直线与圆交于两点，的面积为 11．（2026·山东烟台·模拟预测）已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 三、填空题 12．（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为___________． 13．（2026·天津南开·二模）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则___________． 14．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 四、解答题 15．（2026·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 17．（2026高二·全国·专题练习）已知实数，满足方程．求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； 18．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 19．（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $