第29章 圆 单元达标卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

（优学优练）第29章圆达标卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 2．如图，线段是的直径，于点．若，，则的半径长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 4．如图，冰淇淋甜筒呈圆锥形，则圆锥部分侧面包装纸的面积（接缝忽略不计）是（   ） A． B． C． D． 5．已知的半径r为4，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在的外部 B．点P在上或点P在的外部 C．点P在上或点P在的内部 D．点P在的内部 6．如图，将的内接三角形绕点B顺时针旋转后得到，其中点恰好落在上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的半径，分别以点 O，A为圆心，大于长为半径作弧，两段弧相交于点B，C，作直线交于D，E两点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，连接，，若，则的长是（   ） A． B．2 C． D．3 9．如图，已知中，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点D，E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，以为直径作，交于点，且点为的中点，连接，交于点．则下列结论： ①连接，；②连接，则；③的长为，④和线段、所围成的阴影图形的面积为．一定正确的是（    ） A．②④ B．③ C．④ D．①② 二、填空题 11．如图，内接于，是直径，若，则______°． 12．劳动课上，某同学制作了一个母线长为厘米的圆锥形工艺品，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆的半径为______厘米． 13．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 14．如图，在中，为圆心，为圆上两动点，连接，过作，为上一点，且，，则的半径为_____，的取值范围是_____． 15．扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条夹角为的长为，贴纸部分的宽为，则扇面（扇面示意图中阴影部分）面积为___________． 16．如图，的直径垂直于弦，垂足为，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，若，则的长度为_______________，的长度为______________． 三、解答题 17．如图，在中，，．求证：． 18．如图，在中，弦垂直于半径，垂足为E，D是优弧上一点，连接，，，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 19．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息一：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 20．定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 21．如图，的顶点A，D在上，边切于点M，连接，，交于点N． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若圆心O在边上，连接，，若，，，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第29章圆达标卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C C C C A A 1．A 【分析】比较点A到圆心的距离与半径的大小，即可判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为，，且， ∴点A在外． 2．D 【分析】利用垂径定理求出弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，通过勾股定理计算圆的半径． 【详解】解：连接． 是的直径，， ． ， ． ，， ． 3．A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 4．C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的求解，根据圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：由图知，底面直径为，则底面周长l为，母线长为， 所以侧面展开图的面积． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查点与圆的位置关系和解一元二次方程，先解方程求出d的值，再根据点与圆位置关系的判定规则判断点P的位置即可。 【详解】∵解方程， 因式分解得， ∴， ∵的半径， 当时，， ∴点P在内部． 当时，， ∴点P在上． ∴点P在上或点P在的内部． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了圆内接四边形，旋转的性质，等腰三角形的性质． 连接，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵将的内接三角形绕点B顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了尺规作图—作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，余弦函数及求弧长等知识，理解并掌握这些知识是关键． 设交于点F，连接，由尺规作图知垂直平分，则，则可得，，则由弧长公式可求得的长． 【详解】解：如图，设交于点F，连接， 由尺规作图知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为：， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，连接，求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∵过O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．连接、，先根据圆周角定理得到，则可计算出，再根据得到，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后根据弧长公式求解． 【详解】解：连结、，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度为． 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，与圆有关的计算，掌握圆周角定理，对图中的角进行等量代换求解是解题关键． 先通过圆周角定理推出是等边三角形，从而得到特殊角，再利用这个特殊角逐项推导计算判断即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵是直径， ∴， 又是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是圆心，是直径， ∴，点O是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵点O是的中点，点是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 由勾股定理，得， ∴， 记图中阴影部分面积为S，则， 故④正确， 故选： A． 11． 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，关键是利用“直径所对的圆周角为直角”和“同弧所对的圆周角相等”的性质，结合直角三角形的角度关系求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴； ∵与都是弧所对的圆周角， ∴； 在中，； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了圆锥的底面圆周长，扇形的弧长，设圆锥的底面圆的半径为厘米，则底面圆周长为厘米，再根据弧长公式列出方程解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为厘米，则底面圆周长为厘米， ∵侧面展开图是一个圆心角为的扇形， ∴， 解得， ∴该圆锥的底面圆的半径为厘米， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， ∴这枚古钱币的直径为， 故答案为：． 14． 6 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，半圆（直径）所对的圆周角是直角，点与圆上一点的最值问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用勾股定理求得的半径，再确定点C所在的圆，根据圆外一点到圆上任一点的距离，确定的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，为斜边，且长度不变， ∴点在以为直径的圆上，如图， 取的中点E，连接，并延长与圆E交于点F、G， 则， 所以， 所以，， 所以， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了扇形的面积，关键是熟练应用公式求解；用两个扇形面积之差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴（）． 故答案为． 16． 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．连接，根据垂径定理可得，，设的半径为，则，在中，根据勾股定理求出，进而可得的长度，求出，根据圆周角定理可得，结合，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 的直径垂直于弦， ，， 设的半径为，则， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为: ，． 17．证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 18．(1) (2)8 【分析】（1）连接，根据垂径定理，以及弧、弦、圆心角之间的关系推出，再结合圆周角定理求解即可； （2）利用勾股定理推出，再结合垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：连接． ∵，且为的半径， ∴，． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 19．(1)5 (2)24 【分析】（1）连接，设喷泉的半径为，则、，由垂径定理可得、，再利用勾股定理得到，据此列方程求解即可； （2）由（1）可知米，利用圆的周长进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则， ， 是弦的中点， 、， ， 在中，， 即， 解得， 喷泉的半径为5米； （2）解：由题意得：米， 则盏， 因此，大约需要安装24盏景观灯． 20．(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 21．(1) 解：连接，并延长交于点E， ∵边切于点M， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴垂直平分线段， ∴； (2) 【分析】（1）连接，并延长交于点E，根据相切得到，在中，由，得到，可得垂直平分线段，问题得解； （2）由，，可得，根据（1）的证明方法，同理可得：，即有，根据四边形内接于，有，，进而可得，，，根据，有，，进而有，，即可证明，即有，即，再证明，即有，可得，在中，，在中，，进而可得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∵圆心O在边上， ∴为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据（1）的证明方法，同理可得：， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 整理：， 解得：或， ∵在钝角中，， ∴， ∴，故不符合题意，舍去， ∴， ∴， ∵， ∴的半径为． 【点睛】本题是一道圆与三角形的综合题，主要考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，圆周角定理，勾股定理以及解一元二次方程等知识，证明和是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $