第26章 二次函数 单元达标卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

（优学优练）第26章二次函数达标卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 4．关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 5．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 7．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 9．如图，动点P从点A出发，沿着边长为的正方形的边，按照路线以匀速运动至点C停止，动点Q从点A出发，且与P的运动速度相同，沿着正方形的边，按照路线匀速运动至点C停止，连接、、，设的面积为，时间为，下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 11．二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 12．已知抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的两个根为 ______． 13．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 14．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个矩形的最大面积是______． 15．我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 16．已知抛物线（）的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若，（）为方程的两个根，且；以上说法正确的有________ 三、解答题 17．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上． (1)当时，求和的值； (2)若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； (3)用等式表示与之间的数量关系，并给予证明． 18．如图，抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点，直线经过点 B， C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； 19．夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，常用罩子保护饭菜（如图1），它的横截面可以看成一个抛物线的形状，已知菜罩的跨度为，高度是，如图2，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)防虫罩边缘可以翻折（如图3），从而改变覆盖面的大小，若翻折后防虫罩的高度为，则防虫罩覆盖的跨度是多大？（结果保留整数，） (3)如果要购买一个直径为的圆柱体的容器，使得菜罩紧贴桌面，则容器的高度最高为多少？ 20．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的表达式． (2)点在该函数图象上（其中），求的值； (3)在（2）的条件下，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使的值最小，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线，如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线． 【提出问题】若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线．抛物线的对称轴为直线．点在抛物线上，点在抛物线上，点C与点B关于直线对称．设． 【解决问题】 (1)求抛物线的解析式； (2)若． ①判断线段的中点M是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由； ②当时，求d的取值范围； 【拓展思考】 (3)在点A的运动过程中，若d的最小值大于或等于6，求n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（优学优练）第26章二次函数达标卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D B D D B D B 1．D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 2．C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 3．D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 4．D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 5．B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 6．D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减”、“上加下减”的规律即可求解． 【详解】原抛物线，顶点坐标为； 变换后抛物线，顶点坐标为， 故原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 7．D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 8．B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】先分和两种情况，分别讨论求出函数解析式，再结合二次函数图象性质得出答案． 【详解】解：当时，如图1，点P在上运动，点Q在上运动， ∵点P，点Q的速度均为，时间为， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 即当时，； 当时，如图2，点P在上运动，点Q在上运动， ∵点P，点Q的速度均为，时间为， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴，， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ，， ∴ 即当时，； 综上，． 由此可知，当时，函数图象为开口向上，过点，的二次函数的一部分；当时，函数图象为开口向下，过点，的二次函数的一部分． 观察各选项，只有选项D符合题意． 10．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． ①利用对称轴，即可得到系数的关系； ②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵时，， ∴，即，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论有①③⑤． 11． 2 小 0 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 12．， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数的图象与轴的交点关于对称轴对称，求出另一交点的坐标，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点的坐标为， 关于的方程的两个根为和． 故答案为：，． 13． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 14．2400 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．由矩形的性质可得，，进而由得到，，设，则，证明得到，得到，即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是． 故答案为：2400． 15．5 【分析】本题考查了新定义，以及二次函数与一次函数综合，设，，通过比较函数和 的大小关系，确定的取值，并求其最大值，即可解题． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，，故； 又在时，函数随增大而增大，在时，函数随增大而减小， 当时，； 当时，． 当时，，故． 对于，在时，函数随增大而增大，当 趋近于 时， 趋近于 综上，的最大值为， 故答案为：． 16．②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点的坐标为， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 当时，， ，故②正确； 抛物线开口向下， 离对称轴越近，函数值越大， ， ，故③正确； ，为方程的两个根， ，可以看作抛物线与直线的交点的横坐标， ，故④正确． 说法正确的有②③④． 故答案为：②③④． 17．(1) (2) (3)解：； 证明：∵点和在二次函数， ∴， 得：， ∴， ∵点和在二次函数， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴. 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可得到答案； （2）先求出对称轴为，再根据图象经过点且点A不在坐标轴上，得到即可得到答案． （3）由点和在二次函数，可得，抛物线对称轴为直线，进一步证明即可. 【详解】（1）解：当时，图象经过点， ∴，解得． （2）解：∵函数图象过点和， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵函数图象过点和， ∴根据函数图象的对称性可得， ∵， ∴． （3）略 18．(1)直线的解析式为；抛物线的解析式为 (2)或 【分析】（1）把、代入，求出抛物线表达式，再求出，用待定系数法求出直线表达式即可； （2）根据直线与抛物线交于、两点，得出结论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得：， ， ∵直线经过点 B， C， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可知，直线与抛物线交于、两点， ∴不等式的解集是或． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出新的抛物线解析式为．求出抛物线与轴的两个交点即可； （3）求出当时的函数值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意知其顶点坐标为 ． 由题意知抛物线过点． 代入得． 解得． ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵翻折后防虫罩的高度为，中间部分抛物线形状不变， ∴中间部分抛物线的解析式为． 当时，， 解得． ． ∴防虫罩覆盖的跨度约为． （3）当时，． ∴容器的高度最高为． 20．(1) (2)6 (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入二次函数的解析式，即可求解； （3）作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为所求点, 本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点和点代入二次函数表达式， 得 解得：，， 该二次函数的表达式为：． （2）解：∵点在函数图像上， ， 则或， ， 的值为：6． （3）解：如图，由（2）可知点，对称轴为 作点关于对称轴的对称点,连接与对称轴的交点为， 设直线的解析式为， 把点，,代入得， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 则， 所以当点时，最小． 21．(1)； (2) ①解：线段的中点落在直线上．理由： 点，点， ∴，， ∵点C与点B关于直线对称， ∴点． ∴中点为． ∴线段的中点落在直线上． ②； (3)或． 【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得的顶点坐标，即可得抛物线的解析式； （2）①由已知可得点，点的坐标，由点C与点B关于直线对称，可得点的坐标，从而可得中点坐标，即可求解；由①可得的表达式，由二次函数的图象和性质，即可得当时，的取值范围； （3）根据题意可得的表达式，由二次函数的图象和性质可得当时，，利用图象法，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：由已知可得过点， ∴． （2）解：若，则． ①略 ②， 当时，， ∴． ∴的范围是． （3）解：， ∴当时，， 利用图象法可得，当时，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $