湖北省荆州中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

9月月考数学参考答案 一、单选题 1-5 DBCDC 6B 7.A 8.D【详解】因为函数f(x)定义域为R,且f(-x)=（x)+a(x)=-3+=-f), 所以函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(e)≥f(-e)对xeR恒成立等价于f(e)+f(e)≥O对 x∈R恒成立， 即(e)+ae+(e)+ae≥0，化简可得(e*+e")(ex-1+e2x+ad≥0， 令h)=e+e=c+合，8国-e+e-1+a,因为e>0,所以)2e是=2 当且仅当e=1,x=0时，等号成立，即h(x)m=h(0)=2>0,同理可得g(x)≥1+a, 要使不等式(e+e“)(ex-1+e2x+d)≥0对xeR恒成立， 则1+a≥0，即a≥-1，所以实数a的取值范围为a≥-1. 二、多选题 9.AC 10.BCD 11.ABD 三、填空题 12.13013.（-0,-lh2) 14.n2-1 【详解】令x=t,y=1,得f(+f(-t)≤f)+f(-1):令x=y=t,得f(1)+f(-1)≤f(+f(-): 令g(t)=f(t)+f(-t),知t≠0时有g(t)=f(t)+f(-t)=f(1)+f(-1)=M,其中M为常数。又由 f(x)为R上的连续函数，所以g(t)=g(0)=2f(0),即f(t)+f(-t)=-2n2 由f(f(0)=f(-ln2)=-(In2)·n(2e)=-n2·(n2+1)=-n2)2-n2: 故f0n2)=-2n2-f(-ln2)=-2ln2+[(In2)2+ln2]=In2)2-ln2 故f0m2=m22-n2=ln2-1. In2 In2 四、解答题 15.(①)由S,=2a-2mH+2,得S1=2a-1-2”+2,两式相减得a,=2a-2a-1-21+2”, 整理得4n=2a-1+2”（n≥2) 一3分 同除以2得：会斜1又由8=24-2+2得4=2，则号-1 2” 所以数列导是首项为机，公差为机的等差数列则会，所以4=n2 -6分 (2)由(1)可知，a=n:2”,则b=log2 +1)2-1+1og,"+1 n.2 所以近=0+6s,2rf-引1-，卦-+， =n+log22× 子出g,a-.然数别为适带数列 -9分 且T05=2015+l0g22016∈(2025,2026)，T016=2016+log22017∈(2026,2027)， 使T,≤2026成立的最大正整数n=2015. -13分 16.(1)(方法一)在正方体ABCD-ABC1D中，以点D为坐标原点，以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， D 、B A D M B 则D(0,0,6),M(6,3,0),N(3,6,0),P(0,6,2),则MN=(-3,3,0),MD,=(6,-3,6)P=←6,3,2)， 于是4MN+MD=4(-3,3,0)+（←6，-3,6)=（189,6上3（6,3,23MP, -3分 且向量MN,MD不共线， 所以向量MN,MD,M亚共面，又向量MN,MD,MP有公共点M, 所以D,M,N,P四点共面 -一7分 (方法二)延长MN交DC于点H,连接DH交CC,于点T, 因为△MBN≌AHCN, 一3分 所以CH=MB= 4B-cD,且cPDn, 所以CP=Dn=cC,所以CT=2元，所以点T与点P重合，故D,M,NP四点共面， 1 2 一7分 D 、B D--- H M B (2)(方法一)设2(6,0，t),则M0=(0,-3,t),由点2e平面DMNP,得Mg=MN+MD, 即(0-3，t)=(-32,32,0)+(-64,-3464)=(-31-6,31-3μ，64)， 「-31-6u=0 得3-0=-3，解得2=子4-}1-2.即Q60,2) 10分 6=t M0=(0,-3,2),而B(6,6,6),则MB=(0,3,6),=(-3,3,0), i·MB,=0 3y+6z=0 设平面MBN的法向量i=(x,y,),则 =0’即 -3x+3y=0 令x=2,则y=2,==-1,所以i=(2,2,1) 设点Q到平面MBN的距离为d, 则d= i.M@l0+2×(-3)-1×2L8 3,所以点2到平面MBN的距离为 15分 V22+2+(-1)月 (方法二)等体积法，连接QB,QN,设点Q到平面MB,N的距离为d,如图： D 、B M 由解法一知A2=2,A2=4,B,M=B,N=V62+32=3√5，MN=3√2 10分 所以9as=94S09aSa0=6x6}3x2}3x6}6x4=I2, 22 由xga=ga,所以xBNx5,.ea-号xS.asxd, 3*3x12 .127 d, 32 解得d=8 -15分 17.(1)记A:恰好有两次取出红球，B:恰好有两次取出白球， 从5个小球中取一个球，为红球的概率是，为白球的概奉是 则两次取出的球颜色相同的概率为： Pa+-aPecc0-器 -6分 (2)X的取值范围是0,1,2,3} x0)8餐gx小8答等昌 _9 57 100 P(X=2)= 器g等 P(X-3) CC 1 CCC 10分 所以X的分布列为 X 0 2 3 9 57 6 1 50 100 25 100 E(X)=0x9+1x57 2 +3×1=27 6 50 100 10025 -15分 18.由底面半径1小、高S0=22,母线长为，12+(2=3，得sm,cs9 0油0s号和浅心率公式，得e,兰品号 一3分 能圆C方程可写为对+号1(0水2)，故2c他，5，b=-e431 所以椭圆G的方程为+y2=1, -5分 (2)①)在轴截面内，平面B与轴线的交线即为椭圆的长轴所在直线，它与轴线的夹角为A。 平面y垂直于椭圆长轴，故γ的法向量方向与长轴方向相同，即y的法向量与轴线的夹角也为A。设平 面y与圆锥轴线的夹角为日，则sinm0co4-9,所以cos0= 6V3 1-g3 8分 因此，e2=cos9-V33=6 -10分 cosa 2v2/3 4 (2))设内切球的球心为I,由对称性知，I在圆锥轴线S0上。设O=t,则0<长2W2。 球心I到平面B的距离为4si4H有：球心1到圆雏侧面的距离为d,-(2V2-)sina二 3 内切球与侧面及底面B均相切，所以dd,即听-空解得6V反 -13分 致内切球半径一台学于是内切球体积停 _169V5-5v6 -17分 3 27 19.(1)a=1,f(x)=e *sinx,f(x)=e*(cosx-sinx), 因为er>0,令f'(x)=0,得cosx-sinr=0→tanx=1, 在(0，)内解得x= —2分 4 当xe0牙到时，了(>0，单调递增： 当x4π时，f(<0,f()单调递减. 放函数()在(0，)内有唯一极大值点x-平无极小值点。 -4分 (2)法-：f'()=ea(cosx-asin)=0,易知x∈[经，π]时，f'6w)=eax(cosx-asim)<0 记h(x)=cosx-asinx,则h'(x)=-sinx-acosx.. 由于a>0,则xe(0,)时，h(x)<0,即h(x)在(0，)上单调递减。 -7分 又h(0)=1>0,h()=-a<0则存在唯一x0∈(0，)，使得h(xo)=0: 故当xE[0,xo)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当xE(xo,π]时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 所以函数f)在[0，π上有极大值点x=x,无极小值点，即函数f(x)只有一个极值点。一一10分 法二：f(x)=e“(cosr--asinx)=0,得amx=后记tan,=a 1 1 因为a>0,xe小，所以(o} 所以f'(x)=e"(cosx-asinx)=e （osrsinr e“"sin(x。-x tanxo sinxo 所以当x∈[0，x)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： -7分 当x∈(xo,π]时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以函数f(x)在[0，π]上有极大值点为x=x,无极小值点， 故函数f(x)只有1个极值点. 综上：当a>0时，f(x)在[0，x)单调递增，在(x,单调递减： 1 有且仅有1个极大值点，无极小值点，其中tanx。= -10分 a (3)证明： 由极大值条件f(,)=0,得：co,--asin,=0→ian,= a 1 vi+a,cost = a 结合sin2x+cos2x。=l,解得sinx,= V1+a2 所以f(xo)=esinxo= e V1+a 先证f(x)< 1+a 因为a>0, 故ax>0,em<1, +云4a不等式得证. 1 因此f(x)= -13分 1 因为f(x)> 、e 1 evl+a v+a evl+a 又V1+a2>0,所以上式等价于e>e台a<1(*) 下面证(*)式 1 1 由tan此，=，得a= ,所以ax。= 。=oC0Sx a tanxo tanxo sinxo 所以要证。<1台证cos<1 sinxo sinet∈0， 方法一：构造函数g()=cosr in2x-x 2 所以g()=2 in2x 已知对任意x>0,sin2x<2x,即-sin2x-x<0,分母sin2x>0, 所以g<0,g在0 严格单调递减。 若x→0，g(x)→1 当xe0) g(x)<g(0)=1,即a,= 17分 tanx 方法=：令h-r-a,e引 h'(x)=xsinx>0 )在0到单调递增，)>h0)-=0 sinr-cosr>0→sinr>XCOSx→tanx>x→，x<1 tanx 1 故ax。<1恒成立，em>e',f(x)> ev1+a2 .证毕 -17分9月月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知集合A={0,1,2},集合B满足A∩B=B,则集合B的个数为( ) A.2 B.4 C.7 D.8 2.已知复数z=x+i(i为虚数单位，x,y∈R),则“xy=0”是“z为实数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知x>0,y>0,且3x+2y=xy,则x+2y的最小值为( A.64 B.8 C.8+4W3 D.8+25 4.已知事件4B满足P(P6事件4，B中至少有个不发生的概率为子 则事件A,B都不发生的概率为( A.五 1 C. 6 5已知定义在R上的偶函数r()-(得( ER),a=f(10go23),b=f(1ogs6), c=f(m,则( A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a 6.从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是 1.01365≈37.7834；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是0.9965≈0.0255： 这样。一年后“选步”的是“落后”的0调14合。‘法步”的足孩后”的1心借只 需要大约经过( )天.（结果四舍五入取整数.参考数据：1gl01≈2.0043,1g99≈1.995 A.228 B.230 C.232 D.234 7.已知△ABC中， sinA= 3cosB= ,则cosc=( ) A.3 3 8. c.5或55 D.5或-5 3 3 9 3 9 8.已知函数f(x)=x3+ar,若f(e)≥f(仁e)对xeR恒成立，则实数a的取值范围为 ( A.a≤0 B.a20 C.a≤-1 D.a2-1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知log。2026>1oga2026>0,则下列结论正确的是( 11 A.0.2<0.2 B.>8 C.Inb+a>lna+b D.若m>0,则<a+" bb+m 10.如图，正方体ABCD-AB,C1D的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底面 ABCD内一动点，则下列结论正确的为() D A B F D B A.三棱锥C1-AB,P的体积为4 B.过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 C.三棱锥F-BCD的外接球表面积为9π D.一质点从B点出发沿正方体表面绕行到F点的最短距离为√3 ,记P的轨 1 11.在直角坐标系xOy中，点A(-2,0),B(2,0),P为动点，tan∠PAB.tan∠PBA= 迹为E,2为E的上顶点，则( Ag的方程为+y-1(x士2) B.B=5 4 C.cos∠APB≥-5 5 5ge4s 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某班组织文艺晚会，准备从A,B等7个节目中选出3个节目演出，要求A,B两个节目 中至少有一个被选中，且A,B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序 的种数为 13.已知偶函数f(x)=n(e+1)+ax+b有两个零点，b的取值范围为 14.已知定义在R上的连续函数f(x),对任意实数x,y都有f(xy)+f(-xy)≤fy)+ f(-y),且f(0)=-ln2,ffo)=-(m2)·n(2e),则f02)= In2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 己知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=2a。-2+H+2, (1)证明：数列 2m 是等差数列，并求4： (2)设b.=log2 ， 数列b,m}的前n项和为Tn,求使T,≤2026成立的最大正整数n a 16.(本小题15分) 如图，在棱长为6的正方体ABCD-AB,C1D中M,N分别为AB,BC的中点，点P在棱CC1 上，且CP=2PC D A B D M B (1)证明：D,M,N,P四点共面： (2)设平面DMWP与棱AA的交点为Q,求点Q到平面MBN的距离. 17.(本小题15分) 已知A盒中有3个红球和2个白球，B盒中有3个白球，这8个球除颜色外完全相同， (1)若每次从A盒中任取1个球，记录颜色后放回A盒，共取球三次，求恰好有两次取出的 球颜色相同的概率； (2)现设计如下试验流程：每次从A盒中任取2个球，将取出的红球用B盒中的白球替换： 取出的白球不进行替换，然后把得到的2个球放回A盒，记作一次试验结束.设两次试验结 束后A盒中红球的个数为X,求X的分布列及数学期望 18.(本小题17分) 用一平面截取某足够大的圆锥，则该平面与该圆锥的侧面的交线为圆锥曲线。设圆锥的母 线与圆锥轴线夹角为a,截面与圆锥轴线夹角为A,则截得的圆锥曲线离心率=4 cos a 从该大圆锥中取一个小圆锥S0,其顶点为S,底面半径为1，高S0为2V2.如图所示，平面 B过点0且与圆锥S0的轴线夹角为A,且cosA=5 。与该圆锥侧面的交线为椭圆C· 以椭圆C长轴中点为原点，长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴，在平面B内建立平 面直角坐标系此时椭圆G的方程为苦+发=10<c2) 图1圆锥被平面B所截立体示意图 图2圆锥的轴截面示意图 (1)求椭圆C1的方程； (2)若平面y过点0，且垂直于椭圆C1的长轴， (i)求平面y截圆锥所得的圆锥曲线C2的离心率e2; (11)若平面β截取圆锥后的顶部锥体为S一B,求S一β的内切球体积. 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=e“sinx,其中a>0,定义域为0，π： (1)当a=1时，求f(x)在(0，π)内的极值点： (2)讨论函数∫(x)在[0，π上的单调性，并指出极值点个数； 1 (3)若x是f(x)在(0，π)内的极大值点.证明： ei+a<)+a