专题05 圆（期中真题汇编，广东专用）九年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆 6大高频考点概览 考点01圆的有关概念 考点02垂直于弦的直径 考点03圆心角 考点04圆周角 考点05弧长和扇形面积 考点06圆的切线 D考点01圆的有关概念 1.(25-26九年级上：广东广州增城区期中)已知⊙0的半径=3，OP=5,则点P与⊙0的位置关系是 ( A.点P在O0内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.无法确定 考点02垂直于弦的直径 1. (25-26九年级上广东惠州仲恺区期中)如图，在O0中，直径CD1AB,AB=6,MD=1,求⊙0 的半径. B 2.(25-26九年级上广东江门恩平·期中)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半 径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点 D,交MB于点C测出4B=80cm,CD=20cm, 求圆形工件的半径. 116 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C D B 3.(25-26九年级上广东广州增城区期中)如图，两个圆都以点0为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D 两点.求证：AD=BC. D B 》 考点03圆心角 的直径， 1.(25-26九年级上广东广州增城区期中)如图，4B是O0 BC=BD,若∠A0C=130°，则 ∠BOD的大小为() C B A.130° B.80° C.65 D.50° 》 考点04圆周角 1.(25-26九年级上广东惠州仲恺区·期中)如图四边形ABCD内接于⊙0若它的一个外角∠DCE=70°， 则∠BAD= 216 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D CE 2.(25-26九年级上：广东惠州仲恺区期中)如图，点A、B、C在⊙0上，若∠A0B=68°，∠ACB的度 数为( ) A A.34° B.42° C.52° D.68 3. (25-26九年级上广东江门恩平期中)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB是⊙0的直径，点E在 ⊙0上.若∠BEC=15°，则∠ADC的度数为( A.120° B.115o C.110° D.105 4.(25-26九年级上广东江门恩平·期中)如图1所示，等边三角形ABC内接于圆O,点P是劣弧BC上 任意一点（不与C重合），连接PA、PB、PC,求证：PB+PC=PA. A B 0 P 图1 图2 图3 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【初步探索】小明同学思考如下：将△APC与点A顺时针旋转60°到△AQB,使点C与点B重合，可得P、 B、Q三点在同一直线上，进而可以证明△AP巴为等边三角形，根据提示，解答下列问题： (1)根据小明的思路，请你完成证明. (2)若圆的半径为8，则PB+PC的最大值为 【类比迁移】如图2所示，等腰Rt△ABC内接于圆O,∠BAC=90°，点P是弧BC上任一点（不与B、C 重合)，连接PA、PB、PC,若圆的半径为8，试求△PBC周长的最大值. 【拓展延伸】如图3所示，等腰Rt△ABC,点A、B在圆O上，∠BAC=90°，圆O的半径为8，连接OC, 则OC的最小值为 一（直接写答案）. 5.(25-26九年级上广东江门恩平期中)如图，C,D是⊙0上直径AB两侧的点，若∠ABC=28°，则 ∠D= 6.(25-26九年级上广东广州增城区期中)如图，AB是⊙0的直径，OD垂直于弦AC于点D, DE=3,AC=23 BC ，则的长是() B A.1 B.2 C.5 D.4 7.(2526九年级上广东矿广州塔城区期中)如图，在00中，B为直径，点C为圆上一点，将劣C 沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD 416 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D (1)若∠BAC=20°，则∠ACD的度数等于 (2)若AD=6,DB=2,则AC的长为一· 8.(25-26九年级上广东广州增城区·期中)如图，AB是⊙0的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得 到AD,此时点C的对应点D落在AB上，连接CD并延长，交⊙O于点E,求证：OC⊥OE, D B 》 考点05弧长和扇形面积 1.(25-26九年级上：广东广州增城区·期中)如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它 可以折成一个底面半径r为3cm,高h为4cm的圆锥体，那么这个扇形的圆心角∠AOB的度数是 B 考点06圆的切线 1.(25-26九年级上：广东广州增城区期中)如图，AB是⊙0的直径，C为⊙0上一点，P为⊙0外一点， OP∥AC,且∠OBP=90°，连接PC. 516 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B I)求证：PC与⊙0相切： (2)若A0=3,OP=5,求AC的长. 616 专题05 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 圆的切线 考点01 圆的有关概念 1．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）已知的半径，则点P与的位置关系是（    ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，在中，直径，，，求的半径． 【答案】的半径为5 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，连接，由垂径定理可知，设的半径为，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接． 直径， ，， 设的半径为，则的长为， 在中，， ， 解得：，即的半径为5． 2．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，求圆形工件的半径． 【答案】圆形工件的半径为 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和圆的基本性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理和圆的基本性质是解题的关键．先利用垂径定理确定线段关系，再构造直角三角形，最后用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接． ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上，且 又∵， ∴， 设圆形工件的半径为，则． 又∵， ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 答：圆形工件的半径为． 3．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】 证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】略 考点03 圆心角 1．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 考点04 圆周角 1．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图四边形ABCD内接于若它的一个外角，则________. 【答案】70º 【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求解． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD=∠DCE=70°， 故答案为70°． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角．熟练掌握性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·广东惠州仲恺区·期中）如图，点、、在上，若，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点在上．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角相等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 连接，根据圆周角定理可得，由是的直径，，由四边形内接于，可得，即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ，， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ． 故选：D． 4．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：． 【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题： （1）根据小明的思路，请你完成证明． （2）若圆的半径为8，则的最大值为________． 【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值． 【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）． 【答案】初步探索： （1）证明：由旋转得，，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）16； 类比迁移：； 拓展延伸： 【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则； （2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16； 类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是； 拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为． 【详解】解：初步探索：（1） 略 （2）是的弦，且的半径为8， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值是16， 故答案为：16； 类比迁移：如图，，，   是的直径，且圆心在上， ，， 将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， 当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16， 的最大值为， 的最大值为， 周长的最大值是． 拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，   ∴，， ， 连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（25-26九年级上·广东江门恩平·期中）如图，，是上直径两侧的点，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是由是直径求出． 由是直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 7．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 【答案】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而得到，再根据得到，即得，最后根据三角形外角性质解答即可求解； （）过作于，连接，可得，即得的半径为， 由等腰三角形的性质得，又可得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵劣弧沿弦翻折交于点，和都对， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）过作于，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，连接并延长，交于点．求证：． 【答案】 证明：连接，如图， ∵将弦绕点顺时针旋转得到， ∴，且， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为，等边对等角，解决本题的关键是作辅助线构造直角． 连接，由旋转可得，即可得的度数，且可得，再由直径所对的圆周角为，可得，由此可得的度数，由此可得的度数，由此可证． 【详解】略 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】##度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 考点06 圆的切线 1．（25-26九年级上·广东广州增城区·期中）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05圆 考点01圆的有关概念 考点02垂直于弦的直径 考点03圆心角 考点04圆周角 考点05弧长和扇形面积 考点06圆的切线 》】 考点01圆的有关概念 1.【答案】B 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键. 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论 【详解】解：，⊙0的半径r=3,OP=5, ∴.OP>r 点P与⊙0的位置关系是：点P在⊙O外 故选：B 考点02垂直于弦的直径 1.⊙0的半径为5 2.【答案】圆形工件的半径为50cm 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和圆的基本性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理和圆的基本 性质是解题的关键，先利用垂径定理确定线段关系，再构造直角三角形，最后用勾股定理列方程求解 即可 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点O,连接OA. ,CD是弦AB的垂直平分线， ∴.圆心O在直线CD上，且OC⊥AB 又，AB=80cm, 4D-4B=分0=40(om.。 2 设圆形工件的半径为rcm,则OA=OC=rcm. 又，CD=20cm, 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..OD=OC-CD=(r-20)cm Rt△AOD AD2 +OD2 =OA2 在 中，由勾股定理得： 402+(-20)2=r2 .r=50, 答：圆形工件的半径为50cm。 C 3 证明：过O作OE⊥AB,垂足为E, O D B .AE=BE CE=DE ∴AE+DE=BE+CE, .AD=BC. D 考点03圆心角 1.【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键.根据在同圆或等 圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可. 【详解】解：，∠AOC=130°， ∴.∠B0C=180°-∠A0C=50°， BC-BD .∠BOD=∠BOC=50°， 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故选：D 考点04圆周角 1.【答案】70° 【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求解. 【详解】四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠BAD=∠DCE=70°， 故答案为70°. 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角.熟练掌握性质是解 题的关键。 2.【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得解. 【详解】解：，∠AOB=68 :∠ACB=}∠A0B=34 故选：A. 3.D 4.初步探索： (1)证明：由旋转得AQ=AP,QB=PC,∠Q=∠APC,∠ABQ=∠ACP ∠ACP+∠ABP=180° .∠ABQ+∠ABP=180° ∴P、B、Q三点在同一条直线上， .PB+PC=PB+OB=PO :△ABC是等边三角形， ∠APC=∠ABC=∠APB=∠ACB=60°， ∴.∠Q=60° ∴.△APQ 是等边三角形， 3/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.PO=PA ..PB+PC=PA: (2)16: 16√2+16 类比迁移： 8V2-8 拓展延伸： 5.【答案】62 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是由AB是直径求出∠ACB=90° 由AB是直径可得∠ACB=90°，由∠ABC=28°可知∠CAB=62°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度 数，即可得出答案 【详解】解：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :∠ABC=28°， ∠CAB=62°， ∴∠BDC=∠CAB=62°， 故答案为：62° 6.【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设OD=x,可表示出AB=6-2x,再说明OD是△ABC的中位线，可得BC=2x,然后根据勾股定理得 AC2+BC2=AB2 ,接下来代入计算可得答案. 【详解】解：设OD=x, DE=3, ..OE =DE-OD=3-x, .AB=2OE=6-2x. ,AB是⊙O的直径， .∠C=90° .·OD⊥AC, .'AD=CD 4/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA=OB, .OD是△ABC的中位线， .BC=20D=2x. 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, 即25+2xP=(6-2 解得x=1, .BC=2x=2. 故选：B. 50° 214 7.【答案】 【分析】(1)连接BC,由圆周角定理得∠4CB=90°，进而得到∠B=90°-20°=70°，再根据 BC=CD 得到BC=CD,即得CDB=∠B=70,最后根据三角形外角性质解答即可求解： (2)过C作CG⊥AB于G,连接OC,BC,可得AB=AD+DB=8,即得OO的半径为4，由等腰 三角形的性质得DG=BG=DB=1,又可得OD=AD-OA=2,得到0G=0D+DG=3,即得到 AG=OA+OG=7,再利用勾股定理求出CG、AC即可： 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：(1)连接BC, B ,AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=90°， .∠BAC=20°， .∠B=90°-20°=70°， 519 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :劣C沿弦4C折交B于点D,①和C都对B1C, BC-CD .BC=CD, ∠CDB=∠B=70°， ∴.∠DCA=∠CDB-∠BAC=70°-20°=50°， 故答案为：50°： (2)过C作CG⊥AB于G,连接OC,BC,如图，则∠AGC=90°， B AD=6,DB=2, .AB=AD+DB=6+2=8, .⊙0的半径为4， :BC=CD,CG⊥AB, DG-BG--DB-1, 2 OD=AD-0A=6-4=2, .OG=OD+DG=2+1=3, .AG=0A+0G=4+3=7, 在Rt△0CG中，CG=0C2-0G=V4-3=V万 :.AC=VAG2+CG2=V72+(V7=24, 214 故答案为： 8. 证明：连接BC,如图， 619 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ,将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD, .∠BAC=30°，且AC=AD, ∠B0C=2∠BAC=60,∠ACD=180,30 =75° 2 ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-75°=15°， ,∠BOE=2∠BCE=30° ∴.∠C0E=∠B0C+∠B0E=60°+30°=90°， 即OC⊥OE 》 考点05弧长和扇形面积 1.【答案】216°#216度 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理 nπl 得1=√2+严，由弧长公式得180 =2”,即可求解：理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解 题的关键. 【详解】解：设圆锥的母线为l,这个扇形的圆心角∠AOB=n, ..1=Vh2+r2 =V32+42 =5cm, .nal 180 =2πr, nmx5=2元x3】 180 719 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得：n=216, 故答案为：216°. 》 考点06圆的切线 1.【答案】1) 证明：如图，连接OC, .·OC=OA .∠OAC=∠OCA」 OP∥AC, ∴.∠OAC=∠BOP,∠OCA=∠COP, .∠COP=∠BOP. 在△COP和△BOP中， OC=OB ∠COP=∠BOP OP=OP .ACOP≌△BOP(SAS) .∠OCP=∠0OBP=90°， .OC⊥PC, .PC与⊙0相切： 、18 25 【分析】(1)连接OC,利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得∠COP=∠BOP,进而 证明：C0p≌aBOP(S4S),推出∠0CP=∠0BP=90,即可证明PC与O0相切： (2)由△COP≌aBOP(SAS 可推出OP垂直平分BC,利用等面积法求出BD,进而求出BC,由圆周 角定理得∠ACB=90°，最后用勾股定理解Rt△ACB即可. 8/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BC交OP于点D, A ,△COP≌ABOP .PC=PB,OB=OC、 ∴.OP垂直平分BC, AO=BO=3.OP=5,∠OBP=90°， .BP=V0p2-0B2=V52-32=4 m-BPOP.BD BD=OB-BP_3x4_12 OP 55 BC=2BD=24 59 :AB是⊙O的直径， ∴.AB=2OA=6,∠ACB=90° c-ai-we-) 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定 理等，正确作出辅助线是解题的关键 9/9