15.2 第2课时 用坐标表示轴对称 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.2 第2课时 用坐标表示轴对称 教学设计 课题 15.2　轴对称（15.2 第2课时：用坐标表示轴对称） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律；2. 利用坐标规律作出关于 x 轴、y 轴对称的图形。 教学重点 利用坐标的变化规律在平面直角坐标系中画出一些简单的关于 x 轴和 y 轴对称的图形。 教学难点 能根据平面直角坐标系中轴对称点的坐标特点解决实际问题。 教学方法 游戏导入、数形结合、讲练结合 教学准备 多媒体课件、坐标纸 课后练习 完成教材 P76 习题 15.2 第 3，4，5，7 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、新课导入 一、新课导入 情景导入：十一黄金周，北京吸引了许多游客。一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人问小红西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他。你知道为什么吗？如图是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的。如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，已知东直门的坐标是 (3.5，4)，你能说出西直门的坐标吗？ 参考答案：西直门的坐标为 (−3.5，4)。对称点的坐标与已知点的坐标之间存在确定的规律。 游戏导入：“找朋友”——在班级中选定适当的同学的座位建立平面直角坐标系，“朋友”就是自己关于某条坐标轴的对称点位置的同学。老师说出一个坐标和一条坐标轴，位于该坐标位置的同学和他的“朋友”都要起立： 1. 找关于 x 轴对称的朋友：(1，2)，(−3，1)，(0，2)； 2. 找关于 y 轴对称的朋友：(2，−1)，(−3，−2)，(−1，0)。 师生活动：学生先由老北京地图直观感知“用坐标描述对称”，再在“找朋友”游戏中初步体会“对称点坐标变与不变”的感性规律，教师顺势引出课题。 从实际地图与游戏活动中感受“对称与坐标”的联系，初步提出坐标变化规律的猜想。 以真实情境与全班游戏激发兴趣，让规律猜想来自学生自身的体验，渗透数形结合思想。 二、探究新知 二、探究新知 探究（教材 P73～74）：(1) 图①中两个圆脸有什么关系？已知右边圆脸上右眼的坐标为 B(4，3)，左眼的坐标为 A(2，3)，嘴角两个端点的坐标分别为 C(4，1)，D(2，1)。你能写出左边圆脸上左眼、右眼及嘴角两端点的坐标吗？ 参考答案：A1(−2，3)，B1(−4，3)，C1(−4，1)，D1(−2，1)——纵坐标不变，横坐标互为相反数。 (2) 将坐标分别为 (2，2)，(4，2)，(4，4)，(2，4) 的点用线段依次连接起来形成一个图案（图②）。将各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘 −1，所得图案与原图案有何变化？将各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘 −1 呢？ 归纳：(1) 纵坐标不变、横坐标乘 −1，所得图案与原图案关于　　　对称，横坐标　　　　　，纵坐标　　　； (2) 横坐标不变、纵坐标乘 −1，所得图案与原图案关于　　　对称，纵坐标　　　　　，横坐标　　　。 探究（教材 P73～74 表格）：完成下表，并总结规律。 已知点 A(2，−3)，B(−1，2)，C(−6，−5)，D(，1)，E(4，0)； 关于 x 轴的对称点 A′(2，3)，B′(−1，−2)，C′(−6，5)，D′(，−1)，E′(4，0)； 关于 y 轴的对称点 A″(−2，−3)，B″(1，2)，C″(6，−5)，D″(−，1)，E″(−4，0)。 知识归纳：1. 点(x，y) 关于 x 轴对称的点的坐标为　　　　　　　　； 2. 点(x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标为　　　　　　　　。作图时先求出关键点（如三角形顶点）的对称点坐标，再描点、连线。 参考答案：(1) y 轴；互为相反数；不变；(2) x 轴；互为相反数；不变；1. (x，−y)；2. (−x，y)。 师生活动：学生先由圆脸、正方形图案的具体坐标归纳“横变纵不变、纵变横不变”，再借表格中含分数、零等特殊点的检验完善规律；教师引导学生用字母表示规律，体会由特殊到一般的归纳方法。 掌握点(x，y) 关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律，并能用规律求对称点、画对称图形。 经历“具体点—表格检验—字母归纳”的完整探究，突出数形结合与从特殊到一般的思想。 三、例题精析 三、例题精析 例1（教材 P74 例2）如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(−5，1)，B(−2，1)，C(−2，5)，D(−5，4)，画出与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的图形。 解：点(x，y) 关于 y 轴对称的点的坐标为(−x，y)，因此顶点 A，B，C，D 关于 y 轴对称的点分别为A′(5，1)，B′(2，1)，C′(2，5)，D′(5，4)，依次连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，就可得到与四边形 ABCD 关于 y 轴对称的四边形 A′B′C′D′。 追问：类似地，与四边形 ABCD 关于 x 轴对称的图形的顶点为 A″(−5，−1)，B″(−2，−1)，C″(−2，−5)，D″(−5，−4)。 例2　已知点 A(a，4−b) 与点 B(1−b，2a)。(1) 若点 A，B 关于 x 轴对称，求 a，b 的值；(2) 若点 A，B 关于 y 轴对称，求 a，b 的值。 解：(1) 由题意，得 a＝1−b，且 4−b＝−2a，解得 a＝−1，b＝2； (2) 由题意，得 −a＝1−b，且 4−b＝2a，解得 a＝1，b＝2。 例3　△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示。(1) 画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；(2) 将 △ABC 向右平移 6 个单位长度，作出平移后的 △A2B2C2，并写出 △A2B2C2 各顶点的坐标；(3) 观察 △A1B1C1 和 △A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。 解：(1) △A1B1C1 如图所示；(2) △ABC 向右平移 6 个单位长度，A，B，C 三点的横坐标加 6、纵坐标不变，作出 △A2B2C2 如图所示，A2(6，4)，B2(4，2)，C2(5，1)；(3) △A1B1C1 和 △A2B2C2 关于图中直线 l：x＝3 对称。 师生活动：例1 强调“先求坐标、再描点、后连线”的规范步骤；例2 让学生用“横不变纵相反、纵不变横相反”列等式解字母，体会规律的正用与逆用；例3 沟通平移与轴对称，引导学生发现“成轴对称的两图形对应点连线的中垂线即对称轴”。 能用坐标规律作对称图形并求字母参数，能综合平移与轴对称分析图形位置关系。 例题按“规范作图—规律逆用—平移与对称综合”递进，强化坐标规律的灵活运用与对称轴的确定方法。 四、当堂练习 四、当堂练习 1. 完成教材 P75 练习第 1，2，3 题。 2. 在平面直角坐标系中，点 A(3，4) 与点 B 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标为 A. (−3，4)　　B. (−3，−4)　　C. (3，−4)　　D. (3，4) 答案：A。（关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数。） 3. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(−3，1)，作点 A 关于 y 轴的对称点，得到点 A′，再将点 A′ 向下平移 2 个单位长度，得到点 A″，则点 A″ 的坐标为多少？ 答案：A″(3，−1)。（A′(3，1)，向下平移 2 个单位长度：纵坐标减 2。） 4. 如图，在平面直角坐标系中，对 △ABC 进行循环往复的轴对称变换。若原来点 A 的坐标是(a，b)，则经过 2025 次变换后所得的图形中点 A 的对应点的坐标是多少？ （变换顺序：第1次关于 x 轴对称 → 第2次关于 y 轴对称 → 第3次关于 x 轴对称 → 第4次关于 y 轴对称……） 答案：(a，−b)。（变换以 4 次为一个周期：第1次后为(a，−b)，第2次后为(−a，−b)，第3次后为(−a，b)，第4次后回到(a，b)。2025÷4＝506……1，故第 2025 次变换后与第 1 次相同。） 5. 若点 M(a，−3) 与点 N(−4，b) 关于 x 轴对称，则 a，b 的值分别为多少？若这两点关于 y 轴对称呢？ 答案：关于 x 轴对称时 a＝−4，b＝3；关于 y 轴对称时 a＝4，b＝−3。 6. 如图，已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(−1，5)，B(−5，3)，C(−3，−1)。作出 △ABC 关于 x 轴、y 轴的对称图形。 答案：如图，△A1B1C1 和 △A2B2C2 即为所求作的图形（先分别求出六个对称点的坐标再描点连线）。 7. 在平面直角坐标系中，直线 l 是经过点(1，0) 且平行于 y 轴的直线，点 A(m−1，3) 与点 B(2，n−1) 关于直线 l 对称，则 的值为 A. 0　　B. 1　　C. 　　D. 答案：D。（对称轴为直线 x＝1，则 (m−1)＋2＝2×1，3＝n−1，解得 m＝1，n＝4，m+n＝5，。） 8. 若点 P(−2，1) 与点 Q(a，b) 关于直线 l：y＝−1 对称，则 a＋b 的值是多少？ 答案：−5。（关于直线 y＝−1 对称：横坐标不变 a＝−2，纵坐标之和等于 −2，即 1＋b＝−2，b＝−3，∴ a＋b＝−2＋(−3)＝−5。） 9. 下列判断正确的是 A. 点(−3，4) 与点(3，4) 关于 x 轴对称　　B. 点(3，−4) 与点(−3，4) 关于 y 轴对称 C. 点(3，4) 与点(3，−4) 关于 x 轴对称　　D. 点(4，−3) 与点(4，3) 关于 y 轴对称 答案：C。（横相同、纵相反 → 关于 x 轴对称；纵相同、横相反 → 关于 y 轴对称。） 10. 小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子。如图，棋盘中心方子的位置用(−1，0) 表示，右下角方子的位置用(0，−1) 表示。小莹将第 4 枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形。她放的位置是 A. (−2，1)　　B. (−1，1)　　C. (1，−2)　　D. (−1，−2) 答案：B。（由棋盘上已放棋子的坐标建立坐标系，逐一验证四个选项，只有放入(−1，1) 后，四枚圆子构成的图形关于一条坐标轴成轴对称。） 11. 如图，以长方形 ABCD 的中心为原点建立平面直角坐标系，点 A 的坐标是(3，2)，则点 B、点 C、点 D 的坐标分别是多少？ 答案：B(3，−2)，C(−3，−2)，D(−3，2)。（长方形的对称性：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律。） 师生活动：限时独立完成，小组核对；教师讲评第 4 题“周期规律”、第 7、8 题“关于直线 x＝m（y＝n）对称”的推广规律、第 10 题由棋盘建立坐标系的方法。 能熟练运用坐标规律求对称点、解字母参数，能将规律推广到关于直线 x＝m（y＝n）对称的情形。 练习覆盖“基本规律—规律逆用—循环周期—直线对称推广—建立坐标系”五个层次，发展数形结合与化归能力。 五、课堂小结 布置作业 五、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识结构。 师问：1. 点(x，y) 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标分别是什么？口诀怎样记？ 2. 如何用坐标规律作一个图形关于坐标轴对称的图形？ 布置作业：完成教材 P76 习题 15.2 第 3，4，5，7 题；对应课时练习。 回顾“情境—规律—应用”的知识主线；课后独立完成习题。 梳理本课知识框架，强化“横轴对称横不变、纵轴对称纵不变”的记忆口诀；作业巩固运用。 板书设计 15.2　轴对称（15.2 第2课时：用坐标表示轴对称） 一、点(x，y) 关于 x 轴对称的点的坐标为(x，−y)；关于 y 轴对称的点的坐标为(−x，y) 二、口诀：横轴对称横不变、纵相反；纵轴对称纵不变、横相反 三、作图步骤：求对称点坐标 → 描点 → 依次连线 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $