第二章 有理数及其运算——程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题讲义-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题讲义 程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题讲义 考点目录 程序流程图与有理数的计算 有理数运算为背景的新定义问题 考点一 程序流程图与有理数的计算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 流程图基本构成 标准流程图由五类元素组成： · 起止框（椭圆）：表示程序的开始与结束； · 输入输出框（平行四边形）：表示输入初始值或输出最终结果； · 处理框（矩形）：表示执行具体的有理数运算； · 判断框（菱形）：表示条件判断，有“是”“否”两个分支； · 流向箭头：指示程序执行的先后顺序。 1. 三大结构类型 · 顺序结构：只有一条执行路径，输入后经过一次运算直接输出，结构最简单。 · 分支结构（条件结构）：通过判断框的条件真假，选择两条不同的运算路径，对应有理数的分类计算。 · 循环结构（最高频考点）：包含循环体（运算步骤）和退出条件，满足条件则重复执行运算，不满足则退出输出；本质是对变量反复进行有理数迭代运算。 1. 运算本质 所有流程图的底层都是有理数的加、减、乘、除、乘方、绝对值等运算，只是通过流程控制运算的次数与分支。 二、解题思路 1. 通读流程：沿箭头方向整体梳理逻辑，明确输入、运算步骤、判断条件、输出节点，确定结构类型； 1. 代入初值：将输入的初始数值代入第一个处理框； 1. 分步执行 · 顺序/分支：按箭头方向依次计算，分支题根据条件真假选择对应运算路径； · 循环：逐次记录每次循环后的变量值，每完成一次循环体，回到判断框验证条件：满足则继续循环，不满足则立即退出； 1. 输出结果：退出程序后，输出最终的计算值。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 例2．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)这个“有理数转换器”不可能输出的是_____；（填“正数”“0”或“负数”） (2)当小明分别输入这三个数时，求输出的结果； (3)当输入_____时，其输出结果是0．（填序号） ①，②，③，④，⑤． 例3．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段检测）小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 变式2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）【项目主题】数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： A： 乘2 B： 减 C： D： 加6 【列式计算】 （1）列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②3经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 【探究应用】 （2）探究：若数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是5，则a是______． 变式3．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程， (1)如果输入数据是，计算得到的输出结果． (2)如果输入数据是，计算得到的输出结果． 考点二 有理数运算为背景的新定义问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 问题本质 用全新的运算符号（如 、、、 等）和自定义规则重新定义运算，底层仍是有理数的加、减、乘、除、乘方、绝对值等常规运算，核心原则：新定义、旧运算，严格按规则转化。 1. 四大常考题型 · 直接运算型：定义二元运算规则，例如 ，直接代入数值计算，包括一步计算和多步嵌套计算。 · 递推连算型：定义与正整数相关的运算，如阶乘 、连加型定义，本质是有理数的连乘/连加运算。 · 概念应用型：定义新概念，如“差倒数”“共生数”“取整运算”，根据概念转化为有理数计算或方程求解。 · 运算律探究型：探究新运算是否满足交换律、结合律、分配律，需分别代入验证，不能默认成立。 1. 运算优先级原则 · 有括号时，先算括号内的新运算； · 无特殊说明时，新定义运算优先级等同于乘除，高于加减； · 新运算不一定满足交换律、结合律，严禁随意交换运算顺序、随意结合项。 二、解题思路 1. 明确定义：仔细读题，准确理解新运算的规则、对应关系、优先级和适用范围； 1. 转化算式：把新运算符号替换为对应的常规有理数运算，严格按照定义展开，转化为熟悉的四则混合算式； 1. 准确计算：按有理数四则混合运算法则计算，先定符号、再算绝对值，注意运算顺序； 1. 验证结果：嵌套运算从内到外逐层验证，确保每一步都符合定义规则。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 例2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 例3．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·江西抚州·期中）定义*运算；观察下列运算∶ ，， ，  ， ， ． (1)请你认真思考上述运算，归纳 * 运算的法则∶ 两数进行 运算时，同号得 ，异号得 ． 特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，得 ．(填“正”或“负”) (2)计算∶ ； (3)求的值． 变式2．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 变式3．（25-26七年级上·山东青岛·期中）定义☆运算，观察下列运算： ①，②， ③，④ ⑤，⑥． 【类比归纳】 类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的_________． 【应用法则】 计算：（1）____________； （2）___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题讲义 程序流程图与有理数的计算、有理数运算为背景的新定义问题讲义 考点目录 程序流程图与有理数的计算 有理数运算为背景的新定义问题 考点一 程序流程图与有理数的计算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 流程图基本构成 标准流程图由五类元素组成： · 起止框（椭圆）：表示程序的开始与结束； · 输入输出框（平行四边形）：表示输入初始值或输出最终结果； · 处理框（矩形）：表示执行具体的有理数运算； · 判断框（菱形）：表示条件判断，有“是”“否”两个分支； · 流向箭头：指示程序执行的先后顺序。 1. 三大结构类型 · 顺序结构：只有一条执行路径，输入后经过一次运算直接输出，结构最简单。 · 分支结构（条件结构）：通过判断框的条件真假，选择两条不同的运算路径，对应有理数的分类计算。 · 循环结构（最高频考点）：包含循环体（运算步骤）和退出条件，满足条件则重复执行运算，不满足则退出输出；本质是对变量反复进行有理数迭代运算。 1. 运算本质 所有流程图的底层都是有理数的加、减、乘、除、乘方、绝对值等运算，只是通过流程控制运算的次数与分支。 二、解题思路 1. 通读流程：沿箭头方向整体梳理逻辑，明确输入、运算步骤、判断条件、输出节点，确定结构类型； 1. 代入初值：将输入的初始数值代入第一个处理框； 1. 分步执行 · 顺序/分支：按箭头方向依次计算，分支题根据条件真假选择对应运算路径； · 循环：逐次记录每次循环后的变量值，每完成一次循环体，回到判断框验证条件：满足则继续循环，不满足则立即退出； 1. 输出结果：退出程序后，输出最终的计算值。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键． （1）将代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可； （2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：当输入时，则， ，即输出． （2）解：由题意可得： 直接一次计算得到2：由题意可得，解得：； 经过一次循环后得到2，由题意可得：，解得：． 综上，a的可能值为或． 例2．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)这个“有理数转换器”不可能输出的是_____；（填“正数”“0”或“负数”） (2)当小明分别输入这三个数时，求输出的结果； (3)当输入_____时，其输出结果是0．（填序号） ①，②，③，④，⑤． 【答案】(1)负数 (2)输出的结果分别为，， (3)①④ 【分析】本题主要考查求相反数，绝对值，有理数的大小比较及有理数的加减运算； （1）根据题意可得只有非负数才能输出； （2）根据“有理数转换器”分别进行计算； （3）因为输出结果是0，而0的相反数是0，0的绝对值是0，所以当输入5的正整数倍和0时，输出结果为0，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得只有非负数才能输出，则这个“有理数转换器”不可能输出的是负数， 故答案为：负数． （2）解：当输入时， ∵ ∴ 取相反数得，为正数输出； 当输入时， ∵，的相反数为，的绝对值为，所以输出 当输入时，的相反数为，输出 （3）解：因为输出结果是0，0的相反数是0，0的绝对值是0，这个“有理数转换器”中有加上， 所以当输入5的正整数倍和0时，输出结果为0， 所以，可为0，5，10，…（5的非负整倍数即可）． 故答案为：①④． 例3．（25-26七年级上·安徽滁州·阶段检测）小红同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果． （1）根据题意，把输入，得，其绝对值大于100，所以就是输出的数． （2）根据题意，把2输入，得，其绝对值小于100，所以再把从头输入，计算输出的数． 【详解】（1）解：． 而， ∴输出的数是． （2）解：把2输入，得， ∵， ∴再把从头输入，得． ∵， ∴输出的数是． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入4，7这两个数时，则两次输出的结果依次为________，________； (2)你认为当输入数等于________（写出一个即可），其输出结果为0； (3)你认为这个“数值转换机”不可能输出________（填“正数”、“0”、“负数”） 【答案】(1)1；2 (2)0 (3)负数 【分析】本题考查了倒数、相反数和绝对值的知识，弄清题中的图表表示的意义是解题的关键． （1）分别将4、7代入数值转换机，计算即可得出结果； （2）当输入数字为0时得到的结果为0； （3）根据“数值转换机”即可得到答案． 【详解】（1）解：若输入数字为4时，，得到， ∵， ∴得到相反数为1，倒数为1， ∴输出结果为1； 若输入数字为7时，，得到，得到相反数为，绝对值为2， ∴输出结果为2； 故答案为：1，2； （2）解：根据题意，输入数字为0时， ∴得到相反数为0，不是正数， ∴取绝对值为0， ∴结果为0， 故答案为：0； （3）解：这个“数值转换机”不可能输出负数， 根据“数值转换机”可得，最后一步时，为正数时取倒数，为非正数时取绝对值， ∴这个“数值转换机”不可能输出负数， 故答案为：负数． 变式2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）【项目主题】数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： A： 乘2 B： 减 C： D： 加6 【列式计算】 （1）列式，并计算： ①经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？ ②3经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？ 【探究应用】 （2）探究：若数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是5，则a是______． 【答案】（1）①4.5；②14；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）①根据题意，经过A、B、C、D的顺序运算，列式为，按照运算顺序计算即可； ②根据题意，3经过B、C、A、D的顺序运算，列式为，按照运算顺序计算即可； （2）根据题意，数a经过D，C，A，B的顺序运算，列式为，进而解答即可． 【详解】解：（1）①根据题意，列式为， 故答案为：4.5； ②根据题意，列式为， 故答案为：14； （2）根据题意，列式为， ． 故答案为：． 变式3．（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列流程图，根据输入数据，得到输出数据．列出算式，写明计算过程， (1)如果输入数据是，计算得到的输出结果． (2)如果输入数据是，计算得到的输出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分数的加法及乘法，首先要理解这两种不同的计算方法，理解了计算方法问题不难解决． （1）当输入的分数大于时，求这个分数与的和，用加法计算； （2）先理解本题的计算方法，当输入的分数小于时，求出这个分数与的差，用减法计算． 【详解】（1）解：∵， ∴输出结果为； （2）解：∵， ∴输出结果为：． 考点二 有理数运算为背景的新定义问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 问题本质 用全新的运算符号（如 、、、 等）和自定义规则重新定义运算，底层仍是有理数的加、减、乘、除、乘方、绝对值等常规运算，核心原则：新定义、旧运算，严格按规则转化。 1. 四大常考题型 · 直接运算型：定义二元运算规则，例如 ，直接代入数值计算，包括一步计算和多步嵌套计算。 · 递推连算型：定义与正整数相关的运算，如阶乘 、连加型定义，本质是有理数的连乘/连加运算。 · 概念应用型：定义新概念，如“差倒数”“共生数”“取整运算”，根据概念转化为有理数计算或方程求解。 · 运算律探究型：探究新运算是否满足交换律、结合律、分配律，需分别代入验证，不能默认成立。 1. 运算优先级原则 · 有括号时，先算括号内的新运算； · 无特殊说明时，新定义运算优先级等同于乘除，高于加减； · 新运算不一定满足交换律、结合律，严禁随意交换运算顺序、随意结合项。 二、解题思路 1. 明确定义：仔细读题，准确理解新运算的规则、对应关系、优先级和适用范围； 1. 转化算式：把新运算符号替换为对应的常规有理数运算，严格按照定义展开，转化为熟悉的四则混合算式； 1. 准确计算：按有理数四则混合运算法则计算，先定符号、再算绝对值，注意运算顺序； 1. 验证结果：嵌套运算从内到外逐层验证，确保每一步都符合定义规则。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·重庆璧山·期中）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，绝对值非负性质．理解新运算规则并正确计算是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则计算即可； （2）先根据非负数的性质求出m和n的值，再代入根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，， ，， ， ． 例2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由如下： ※ ， ※ ， 则“※”不具有交换律，理由是4※※； (2) 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：略； （2）解：※※ ※ ※ ※ 例3．（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子： ，，， ，，， ，，… (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 两个数相乘加，同号得______，异号得______，并把绝对值______；一个数与0相“乘加”等于______； (2)根据法则计算：______；______； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： ①；②． 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题中给出的例子归纳法则是解题的关键． （1）根据题中给出的例子归纳出结论即可； （2）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可； （3）根据（1）中的“乘加法”进行计算即可． 【详解】（1）解：两个数相乘加，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值； 故答案为：正；负；相加；这个数的绝对值； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：① ； ② ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·江西抚州·期中）定义*运算；观察下列运算∶ ，， ，  ， ， ． (1)请你认真思考上述运算，归纳 * 运算的法则∶ 两数进行 运算时，同号得 ，异号得 ． 特别地，和任何数进行运算，或任何数和进行运算，得 ．(填“正”或“负”) (2)计算∶ ； (3)求的值． 【答案】(1)正，负，负； (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了新定义运算，解决本题的关键是根据题干中提供的算式总结出去处规律． 根据给出的算式，总结规律可得：两数进行 运算时，同号得正，异号得负，任何数和进行运算，得负； 根据题干中的运算规律进行计算即可； 根据题干中的运算规律进行计算，注意应先算括号里面的，后算括号外面的． 【详解】（1）解：由，，可知，两数进行 运算时，同号得正； 由， ，可知，两数进行 运算时，异号得负； 由， ，可知和任何数进行运算，或任何数和进行运算，得负； 故答案为：正，负，负； （2）解：， 故答案为：； 【点睛】解： ． 变式2．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）【定义】定义一种新的运算“*”，规则如下： （1）同号两数运算，结果取正号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （2）异号两数运算，结果取负号，结果的绝对值为两数绝对值之和； （3）0和任何数运算，结果等于另一个数的绝对值． 例：， 【计算】 ① ② ③ ④ 【探究一】是否存在两个有理数，使得？如果存在，请举出例子；如果不存在，请说明理由． 【探究二】小明在计算时，得到的结果是，求x的值． 【探究三】如果两个有理数的结果是负数，那么等式对任意非零有理数c是否成立，请说明理由． 【答案】【计算】①②③④ 【探究一】 存在，当时，； 【探究二】 【探究三】 解：成立，理由： ∵两个有理数的结果是负数， ∴a、b异号，， ①当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； ②当时，， 若，，， ∴； 设，，， ∴； 综上，等式对任意非零有理数c都成立． 【分析】本题考查了定义新运算，有理数的加法以及绝对值的意义，理解新定义的运算法则是关键． 【计算】根据运算法则计算即可． 【探究一】按照运算法则确定． 【探究二】根据结果得正，两数同号，绝对值的和为15，由此利用和15减去另一加数得其x的绝对值，且x为负； 【探究三】根据题意a、b异号，，分情况求解即可． 【详解】解：【计算】①； ②； ③； ④； 【探究一】略 【探究二】∵在计算时，得到的结果是，根据定义可知：与同号，， ∴； 【探究三】略 变式3．（25-26七年级上·山东青岛·期中）定义☆运算，观察下列运算： ①，②， ③，④ ⑤，⑥． 【类比归纳】 类比有理数运算法则的探究，先确定符号，再确定绝对值．由此归纳☆运算的法则： 两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________； 特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的_________． 【应用法则】 计算：（1）____________； （2）___________． 【答案】【类比归纳】得正，得负，相加，相反数；【应用法则】（1）；（2）33 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类比归纳：根据所给算式总结即可； 应用法则：（1）根据新定义即可作答． （2）结合新定义即可作答． 【详解】解：类比归纳：依题意，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的相反数； 故答案为：得正，得负，相加，相反数； 应用法则： （1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：33． 2 学科网（北京）股份有限公司 $