第2章 有理数及其运算—— 有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用讲义-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用讲义 有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用讲义 考点目录 有理数四则混合运算 理数四则混合运算的实际应用 考点一 有理数四则混合运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 运算顺序规则 · 运算分级：有理数运算分为三级，乘方是三级运算，乘除是二级运算，加减是一级运算。 · 优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； · 括号优先：有括号时，按小括号→中括号→大括号的顺序，先算括号内，再算括号外； · 同级运算：从左到右依次计算。 1. 运算核心：符号优先 每一步运算都遵循“先定符号，再算绝对值”的原则： · 加减：同号取同号，异号取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值； · 乘除：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；多个非零数相乘除，负因数个数为奇数结果为负，偶数结果为正； · 乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 1. 简便运算依据：运算律 统一思想：减法转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数），除法转化为乘法（除以一个非零数等于乘以它的倒数），统一为加法和乘法后，可灵活运用运算律简化计算： · 加法交换律： · 加法结合律： · 乘法交换律： · 乘法结合律： · 乘法分配律：（支持正用、逆用、拆项凑整） 二、解题思路 1. 审题观察：整体浏览算式，明确运算层级、括号结构，识别相反数、凑整、同分母、公因数等简便特征； 1. 确定顺序：按“先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内”的原则确定运算步骤； 1. 逐步计算：每一步先定符号，再算绝对值；同级运算严格从左到右依次进行； 1. 简便优化：能运用运算律的，优先调整运算顺序、分组凑整简化计算； 1. 验算结果：按运算顺序反向验算，确保符号与数值均正确。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·天津宁河·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数混合法则，先算除法，再利用有理数加法进行计算即可； （2）利用有理数加法的交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 例2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）利用加法交换律和结合律合并同类项，再分别计算带分数部分，最后相加即可； （2）按照先算乘方、绝对值，再算乘除，最后加减的顺序计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 例3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，有理数的混合运算， 对于（1），根据有理数的加减法法则计算； 对于（2），先算乘法，再算有理数的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式                 ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分数化为小数，再利用有理数加减混合运算法则计算． （2）先将除法化乘法，再利用乘法分配律，最后进行有理数加减混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 变式2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律以及乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据加法结合律简便计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （3）根据乘法分配律简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 变式3．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，乘法运算律，解题关键是掌握各运算法则并能熟练运用求解． （1）先把除法转化为乘法，再逆用分配律计算； （2）把写成，再计算； （3）先将小括号里的除法转化为乘法，再计算小括号里面的，然后再将除法转化为乘法计算； （4）先算乘法，再计算加法； （5）用分配律计算； （6）用分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 考点二 理数四则混合运算的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 应用核心 用正负数表示具有相反意义的量，将实际问题中的数量关系转化为有理数的四则混合运算，通过计算得到实际结果。 1. 常见应用场景与核心数量关系 · 收支利润问题：收入为正，支出为负；盈利为正，亏损为负。 总利润 总收入 总支出 单件利润 销售数量 · 行程问题：规定正方向后，速度、位移带符号；路程为绝对值。 路程 速度 时间，总位移 各段位移的代数和 · 工程问题：完成工作量为正，未完成部分为负；通常设总工作量为单位 1。 工作量 工作效率 工作时间 · 变化率问题：上升、增长为正，下降、减少为负。 最终量 初始量 变化量，或 最终量 初始量 · 销售折扣问题：售价 标价 折扣（几折对应十分之几），利润 售价 成本。 二、解题思路 1. 定基准、设正负：明确相反意义的量，规定其中一种为正，对应另一种为负； 1. 审题意、找数量：提取题目中的已知量，明确数量间的运算关系； 1. 列算式：根据实际数量关系，列出有理数四则混合运算算式； 1. 巧计算：运用运算法则和运算律准确计算结果； 1. 释意义：将计算结果的正负对应回实际场景，说明结果的实际含义。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高是多少元？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 【答案】(1)星期三收盘时每股是元； (2)本周内每股最高为元，最低为元； (3)小红爸爸本次交易盈利元． 【分析】（1）根据前三天的股票涨跌情况进行加减计算即可； （2）分别计算出本周五天的收盘股价求解即可； （3）分别求出小红爸爸买进股票总花费以及卖出股票最后所得，即可得解． 【详解】（1）解：（元）， 答：星期三收盘时每股是元； （2）解：周一收盘股价为（元）， 周二收盘股价为（元）， 周三收盘股价为（元）， 周四收盘股价为（元）， 周五收盘股价为（元）， ， 即本周内每股最高为元，最低为元； （3）解：小红爸爸买进股票花费（元），手续费为（元）， 则小红爸爸买进股票总花费（元）， 由（2）可知，周五收盘股价为元， 则小红爸爸卖出股票（元），其中，手续费（元），交易税（元）， 所以小红爸爸卖出股票最后所得（元）， 所以他的收益情况为（元）， 即小红爸爸本次交易盈利元． 例2．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油________升． (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每千米3元．则小李今天上午共得车款________元． 【答案】(1)小李距出发地5千米，此时在出发地西边 (2)2.22 (3)132 【分析】（1）依次把他这天上午行车记录相加得小李与出发地的距离，由正负判定是在东边还是西边； （2）先计算出小李这天上午共行进的里程，再乘以汽车耗油量0.06升/千米，得到这天上午小李的耗油量； （3）由这天上午每次的行车里程计算出每次的出租款，再相加，即可得出小李共得的出租款． 【详解】（1）解： ， ∴小李距出发地5千米，此时在出发地西边； （2）解：（千米）， （升）， 答：这天上午小李共耗油2.22升； （3）解：由题意得，每次行车里程的出租款分别为：11元，元，11元，元，元，11元， （元） 答：小李今天上午共得车款132元． 例3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）2025年5月，一场平台巨额补贴掀起的外卖大战，席卷了整个茶饮市场．在内坑街某奶茶店负责送外卖的张阿姨，接受了平均每天计划完成60单的外卖任务．然而，在实际工作中，受天气、交通情况等因素影响，每日送出的外卖量常与计划送出的量相比有出入，下表是张阿姨某周（按5天工作日计算）的送外卖单数情况记录（超出部分记为“+”、不足部分记为“-”，单位：单）． 星期 一 二 三 四 五 实际每天的送出量与计划量的差值/单 (1)张阿姨本周实际送出的外卖量最多的一天是星期___________，最少的一天是星期___________； (2)求张阿姨本周实际送出的外卖量； (3)该奶茶店实行每日计件工资制，每单的配送费为4元，以每天送60单为标准．若超额完成任务，则超过部分每单另奖0.5元；每少1单则倒扣1元．求张阿姨本周的总工资． 【答案】(1)五，一 (2)张阿姨本周实际送出外卖329单 (3)张阿姨本周的总工资为1327元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，解题关键是正确列式计算． （1）根据表中数据求解； （2）60乘以5加上表中数据的和即可； （3）分别求出各天的工资，再加即可． 【详解】（1）解：根据表中数据可得， 张阿姨本周实际工作量最多的一天是星期五，最少的一天是星期一， 故答案为：五，一； （2）解：张阿姨本周实际工作量为（单）， 答：张阿姨本周实际送出外卖329单； （3）解：周一：元 周二：元 周三：元 周四：元 周五：元 本周工资：元 答：张阿姨本周的总工资为1327元． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）【新情境·河阴石榴】 河阴石榴，河南省荥阳特产，中国国家地理标志产品，具有籽粒大、色紫红、甜味浓、无核软籽等独特的品种优势，甜汁欲滴，满腮生津；又因石榴花果并丽、籽丰，被喻为繁荣和丰产之佳兆．河阴石榴果面着色好，果个大，核特软，含糖量较高，品质高．某超市订购了25箱河阴石榴，以每箱30千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 3 5 6 4 5 1 (1)在这25箱河阴石榴中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，25箱河阴石榴总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重千克 (2)25箱河阴石榴总计不足千克 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数减法的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据正负数的意义可知最重的一箱的质量（与标准质量的差值）为千克，最轻的一箱的质量（与标准质量的差值）为千克，据此列式求解即可； （2）根据表格中的数据，求出这25箱河阴石榴与标准质量的差值和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解： （千克）， 答：25箱河阴石榴总计不足千克． 变式2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）在科技浪潮的推动下，无人驾驶快递配送车正以颠覆性姿态重塑物流行业，让高效、安全、环保的配送体验触手可及．一辆无人驾驶快递配送车从配送站出发，在一条南北方向的街道上运营．规定：以配送站为原点，向南为正，向北为负，这辆无人驾驶快递配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地时，配送车在配送站的什么方向，距离配送站多少千米？ (2)若这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地后，返回配送站．已知这种无人驾驶快递配送车每千米耗电元，求这辆无人驾驶快递配送车当天耗电的总费用． 【答案】(1)配送车在配送站的北面，距离配送站5千米 (2)这辆无人驾驶快递配送车当天耗电的总费用为元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数加减法的实际应用，正负数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把所给的配送里程相加，所得结果的绝对值为与出发地点的距离，若结果为正，则在出发点的南边，若结果为负，则在出发点的北边； （2）把所给的配送里程取绝对值，与返回配送站的路程相加，所得结果乘以即可得到答案． 【详解】（1）解： ． 所以配送车在配送站的北面，距离配送站5千米． （2）解：这辆无人驾驶快递配送车行驶的总路程为：（千米）． 所以这辆无人驾驶快递配送车当天耗电的总费用为（元）． 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）某中学为了更好地开展“阳光体育”活动，举行了一分钟跳绳比赛，成绩以150个为标准数量，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，七年级某班8名同学组成代表队参赛，成绩（单位：个）记录如下： ，0，，，，，，． (1)求该班参赛代表中最好成绩与最差成绩相差多少个？ (2)求该班参赛队一共跳了多少个？ (3)规定：若每分钟跳绳个数等于标准量，不得分；超过标准量，每多跳1个得2分；未达到标准量，每少跳一个扣1分．若代表队跳绳总积分超过70分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班参赛队能否得到学校的奖励． 【答案】(1)该班参赛代表中最好成绩与最差成绩相差24个 (2)该班参赛代表队一共跳了1230个 (3)该班参赛代表队能得到学校的奖励 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用记录中的最大数减去最小数即可求解； （2）将8名同学的标准数量加上超过或不足的个数，即可得出答案； （3）根据题意列式计算求出该班的总积分，再与70比较即可． 【详解】（1）解：（个）． 答：该班参赛代表中最好成绩与最差成绩相差24个． （2）解：（个）． 答：该班参赛代表队一共跳了1230个． （3）解：（分）． 因为，所以该班参赛代表队能得到学校的奖励． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用讲义 有理数四则混合运算、有理数四则混合运算的实际应用讲义 考点目录 有理数四则混合运算 理数四则混合运算的实际应用 考点一 有理数四则混合运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 运算顺序规则 · 运算分级：有理数运算分为三级，乘方是三级运算，乘除是二级运算，加减是一级运算。 · 优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减； · 括号优先：有括号时，按小括号→中括号→大括号的顺序，先算括号内，再算括号外； · 同级运算：从左到右依次计算。 1. 运算核心：符号优先 每一步运算都遵循“先定符号，再算绝对值”的原则： · 加减：同号取同号，异号取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值； · 乘除：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；多个非零数相乘除，负因数个数为奇数结果为负，偶数结果为正； · 乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 1. 简便运算依据：运算律 统一思想：减法转化为加法（减去一个数等于加上它的相反数），除法转化为乘法（除以一个非零数等于乘以它的倒数），统一为加法和乘法后，可灵活运用运算律简化计算： · 加法交换律： · 加法结合律： · 乘法交换律： · 乘法结合律： · 乘法分配律：（支持正用、逆用、拆项凑整） 二、解题思路 1. 审题观察：整体浏览算式，明确运算层级、括号结构，识别相反数、凑整、同分母、公因数等简便特征； 1. 确定顺序：按“先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内”的原则确定运算步骤； 1. 逐步计算：每一步先定符号，再算绝对值；同级运算严格从左到右依次进行； 1. 简便优化：能运用运算律的，优先调整运算顺序、分组凑整简化计算； 1. 验算结果：按运算顺序反向验算，确保符号与数值均正确。 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·天津宁河·阶段检测）计算： (1)； (2)； 例2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）计算下列各小题． (1)； (2)． 例3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26七年级上·江苏南通·期中）计算 (1) (2) (3) 变式3．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期中）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点二 理数四则混合运算的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 应用核心 用正负数表示具有相反意义的量，将实际问题中的数量关系转化为有理数的四则混合运算，通过计算得到实际结果。 1. 常见应用场景与核心数量关系 · 收支利润问题：收入为正，支出为负；盈利为正，亏损为负。 总利润 总收入 总支出 单件利润 销售数量 · 行程问题：规定正方向后，速度、位移带符号；路程为绝对值。 路程 速度 时间，总位移 各段位移的代数和 · 工程问题：完成工作量为正，未完成部分为负；通常设总工作量为单位 1。 工作量 工作效率 工作时间 · 变化率问题：上升、增长为正，下降、减少为负。 最终量 初始量 变化量，或 最终量 初始量 · 销售折扣问题：售价 标价 折扣（几折对应十分之几），利润 售价 成本。 二、解题思路 1. 定基准、设正负：明确相反意义的量，规定其中一种为正，对应另一种为负； 1. 审题意、找数量：提取题目中的已知量，明确数量间的运算关系； 1. 列算式：根据实际数量关系，列出有理数四则混合运算算式； 1. 巧计算：运用运算法则和运算律准确计算结果； 1. 释意义：将计算结果的正负对应回实际场景，说明结果的实际含义。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高是多少元？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 例2．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油________升． (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每千米3元．则小李今天上午共得车款________元． 例3．（25-26七年级上·福建泉州·期末）2025年5月，一场平台巨额补贴掀起的外卖大战，席卷了整个茶饮市场．在内坑街某奶茶店负责送外卖的张阿姨，接受了平均每天计划完成60单的外卖任务．然而，在实际工作中，受天气、交通情况等因素影响，每日送出的外卖量常与计划送出的量相比有出入，下表是张阿姨某周（按5天工作日计算）的送外卖单数情况记录（超出部分记为“+”、不足部分记为“-”，单位：单）． 星期 一 二 三 四 五 实际每天的送出量与计划量的差值/单 (1)张阿姨本周实际送出的外卖量最多的一天是星期___________，最少的一天是星期___________； (2)求张阿姨本周实际送出的外卖量； (3)该奶茶店实行每日计件工资制，每单的配送费为4元，以每天送60单为标准．若超额完成任务，则超过部分每单另奖0.5元；每少1单则倒扣1元．求张阿姨本周的总工资． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）【新情境·河阴石榴】 河阴石榴，河南省荥阳特产，中国国家地理标志产品，具有籽粒大、色紫红、甜味浓、无核软籽等独特的品种优势，甜汁欲滴，满腮生津；又因石榴花果并丽、籽丰，被喻为繁荣和丰产之佳兆．河阴石榴果面着色好，果个大，核特软，含糖量较高，品质高．某超市订购了25箱河阴石榴，以每箱30千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 箱数 1 3 5 6 4 5 1 (1)在这25箱河阴石榴中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克？ (2)与标准质量比较，25箱河阴石榴总计超过或不足多少千克？ 变式2．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）在科技浪潮的推动下，无人驾驶快递配送车正以颠覆性姿态重塑物流行业，让高效、安全、环保的配送体验触手可及．一辆无人驾驶快递配送车从配送站出发，在一条南北方向的街道上运营．规定：以配送站为原点，向南为正，向北为负，这辆无人驾驶快递配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）： ． (1)这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地时，配送车在配送站的什么方向，距离配送站多少千米？ (2)若这辆无人驾驶快递配送车将最后一个快递送到目的地后，返回配送站．已知这种无人驾驶快递配送车每千米耗电元，求这辆无人驾驶快递配送车当天耗电的总费用． 变式3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）某中学为了更好地开展“阳光体育”活动，举行了一分钟跳绳比赛，成绩以150个为标准数量，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，七年级某班8名同学组成代表队参赛，成绩（单位：个）记录如下： ，0，，，，，，． (1)求该班参赛代表中最好成绩与最差成绩相差多少个？ (2)求该班参赛队一共跳了多少个？ (3)规定：若每分钟跳绳个数等于标准量，不得分；超过标准量，每多跳1个得2分；未达到标准量，每少跳一个扣1分．若代表队跳绳总积分超过70分，便可得到学校的奖励，请通过计算说明该班参赛队能否得到学校的奖励． 2 学科网（北京）股份有限公司 $