05 三角函数 知识清单-2027届高三数学一轮复习（安徽适用）

三角函数清单速记表 2027 届安徽高考（新高考 I 卷）· 数学 · 第 05 章　三角函数 · 知识清单 章节 概念 定义或说明 相关概念 （一）任意角与弧度制 任意角的概念 按旋转方向分：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）。角的概念推广后，角度范围不再限于。◆ 角的大小由旋转量决定，与旋转方向有关。 正角；负角；零角；旋转方向 象限角与终边相同的角 使角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边落在第几象限就叫第几象限角。终边相同的角相差的整数倍，即（）。▲ 终边在坐标轴上的角不属于任何象限。 象限角；轴线角；终边相同 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度，记作。角度与弧度换算：，，。◆ 用弧度表示角时，“弧度”二字可省略。 弧度；角度换算；π 弧长公式与扇形面积公式 弧长公式：（为弧度数）。扇形面积公式：。▲ 公式中的角必须用弧度制，不能直接用角度。 弧长；扇形面积；弧度制 （二）任意角的三角函数 三角函数的定义 设是任意角，终边上任意一点，，则：，，（）。◆ 三角函数值与点P在终边上的位置无关。 正弦；余弦；正切；终边 三角函数在各象限的符号 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。▲ 符号判断是求值的第一步，符号错误是最常见的失分点。 符号；象限；口诀 同角三角函数的基本关系 平方关系：；商数关系：（）。常用变形：，符号由所在象限决定。 平方关系；商数关系；符号 诱导公式 口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。“奇”“偶”指的奇数倍或偶数倍；“变”指正弦变余弦、余弦变正弦；“符号”指把看成锐角时原函数值的符号。◆ 共六组诱导公式，可将任意角三角函数化为锐角三角函数。 奇变偶不变；符号看象限；六组公式 （三）三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 定义域，值域，周期，奇函数，图象关于原点对称。单调递增区间，递减区间（）。 定义域；值域；周期；奇偶性；单调性 余弦函数的图象与性质 定义域，值域，周期，偶函数，图象关于y轴对称。单调递增区间，递减区间（）。 定义域；值域；周期；奇偶性；单调性 正切函数的图象与性质 定义域，值域，周期，奇函数。在每个区间内单调递增。◆ 正切函数没有递减区间，渐近线为。 定义域；值域；周期；渐近线 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 振幅，周期，频率，相位，初相。图象变换有两种途径：① 先平移后伸缩；② 先伸缩后平移。▲ 两种途径的平移量不同，注意区分。 振幅；周期；相位；初相；图象变换 三角函数的最值与周期 求最值常用方法：① 化为形式；② 换元法（令或，注意）；③ 基本不等式。周期公式：的周期为。 最值；换元法；周期公式 （四）三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦公式 ；。◆ 余弦公式中符号“交叉相反”，正弦公式中符号“同向相同”。 和角公式；差角公式；符号规律 两角和与差的正切公式 （）。变形：。 正切和差；变形公式；定义域 二倍角公式 ；；。降幂公式：，。 二倍角；降幂公式；余弦三种形式 辅助角公式 ，其中，。◆ 辅助角公式是三角恒等变换的核心，可将两个三角函数合并为一个。 辅助角；合并；振幅 三角恒等变换常用技巧 ① 切化弦（正切化为正弦余弦）；② 1的代换（）；③ 降幂升角（用二倍角降幂）；④ 角的配凑（如）；⑤ 齐次式化切。◆ 变换目标：化为一个角的一个三角函数。 切化弦；1的代换；降幂；角的配凑 （五）解三角形 正弦定理 在中，（为外接圆半径）。适用：已知两角一边、已知两边及其中一边的对角（SSA型，可能有两解）。▲ SSA型要注意讨论解的个数。 正弦定理；外接圆半径；SSA型 余弦定理 ，，。变形：。适用：已知三边、已知两边及夹角。 余弦定理；变形；已知三边 三角形面积公式 ；（为外接圆半径）；（为内切圆半径）。◆ 选择合适的面积公式可简化计算。 面积公式；外接圆；内切圆 解三角形的实际应用 常见题型：测量距离（不可到达点）、测量高度（底部不可到达）、测量角度。步骤：① 准确理解题意，画出示意图；② 明确已知量和未知量；③ 选择正弦定理或余弦定理求解；④ 检验结果是否符合实际意义。 测量距离；测量高度；实际意义 （六）常见题型与方法 题型一：三角函数定义与求值 已知角终边上一点坐标，用定义求三角函数值；已知一个三角函数值，用同角关系求其他值（注意符号）。◆ 求值前先判断角所在象限，确定符号。 定义求值；同角关系；符号判断 题型二：同角关系与诱导公式 利用和进行化简求值；用诱导公式将任意角化为锐角。◆ “奇变偶不变，符号看象限”要记牢。 同角关系；诱导公式；化简求值 题型三：三角函数图象与性质 ① 求周期、单调区间、最值（化为）；② 图象变换（平移、伸缩）；③ 由图象求解析式（求A、ω、φ）。▲ 平移量要看x的系数，先伸缩后平移时平移量会变。 周期；单调区间；图象变换；求解析式 题型四：三角恒等变换 化简：切化弦、降幂、辅助角公式；求值：角的配凑、整体代换；证明：从一边推到另一边或两边凑。◆ 目标是化为一个角的一个三角函数，便于求性质。 化简；求值；证明；辅助角 题型五：解三角形 根据已知条件选择定理：两角一边→正弦定理；两边夹角→余弦定理；三边→余弦定理；两边及一边对角→正弦定理（注意讨论）。▲ 解出后要检验是否满足三角形内角和及大边对大角。 正弦定理；余弦定理；解的讨论 题型六：三角函数综合应用 三角函数与向量、数列、不等式等综合；解三角形与三角恒等变换综合；实际应用问题。◆ 综合题的关键是将问题转化为三角函数问题，再用相关知识解决。 综合应用；转化思想；实际问题 （七）易错警示 象限角与终边相同角混淆 象限角是终边落在象限内的角，终边相同的角相差的整数倍。“第一象限角”不一定是“锐角”，锐角一定是第一象限角。▲ 注意区分“象限角”和“区间角”。 象限角；锐角；终边相同 弧度制与角度制混用 弧长公式和扇形面积公式中的必须是弧度数。如果题目给的是角度，必须先化为弧度再用公式。 弧度制；角度制；公式条件 三角函数符号判断错误 由求时，，正负号由所在象限决定。▲ 漏掉符号讨论是最常见的错误。 符号；象限；平方根 诱导公式记混 “奇变偶不变”中的“奇偶”指的倍数的奇偶，不是角的奇偶；“符号看象限”是把看成锐角时原函数值的符号。▲ 记错公式会导致全盘皆输。 奇变偶不变；符号看象限；公式记忆 同角关系式用错 常见错误：记成；的定义域被忽略。▲ 公式要记准确，注意定义域。 平方关系；商数关系；定义域 图象平移方向搞反 由到：向左移，向右移。口诀：“左加右减”。▲ 注意是针对x本身的加减，不是针对。 平移方向；左加右减；针对x 周期公式记错 的周期是，不是。正切函数的周期是。▲ 正弦余弦周期是2π/|ω|，正切是π/|ω|。 周期公式；正弦余弦；正切 相位变换与周期变换顺序 先平移后伸缩：平移量是；先伸缩后平移：平移量是。两种途径平移量不同，不能混用。▲ 写变换过程时要明确顺序。 先平移后伸缩；先伸缩后平移；平移量 正弦定理漏解（SSA型） 已知两边及其中一边的对角（SSA）时，可能有两解、一解或无解。判断方法：比较已知角对边与邻边乘以已知角正弦的大小。▲ 漏掉一解是常见错误，解出后要检验。 SSA型；两解；检验 三角变换公式用错 两角和差公式中，余弦是“交叉相反”（coscos∓sinsin），正弦是“同向相同”（sincos±cossin）。二倍角余弦有三种形式，要根据需要选择。▲ 公式记错会导致整题错误。 和差公式；二倍角；公式记忆 忽视角的范围导致增根 解三角方程或求角时，必须根据已知条件确定角的范围，在范围内求解。超出范围的解要舍去。▲ 不考虑范围会产生增根，这是解三角形问题的常见错误。 角的范围；增根；取舍 解三角形增根未检验 用正弦定理解出角后，要检验是否满足三角形内角和为，以及大边对大角。用余弦定理解出边后，要检验是否满足三角形三边关系。▲ 检验是解三角形必不可少的步骤。 检验；内角和；三边关系 三角形内角和遗忘 三角形三内角和为，即。由此可得：，。▲ 遗忘内角和会导致无法建立角之间的关系。 内角和；诱导关系；角的转化 学科网（北京）股份有限公司 $