第二十六章 二次函数 单元培优测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

二次函数单元培优测试卷 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：二次函数单元全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 6．若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 7．关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 12．已知抛物线经过点，，则______（填“>”“<”或“=”）． 13．当时，二次函数的最大值为__________． 14．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 15．为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）已知抛物线二次函数． (1)该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)画出该抛物线的图象； (3)若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 17．（6分）已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)试判断点是否在该二次函数的图象上． 18．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．（10分）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标． (2)若，当时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，求c的取值范围． (3)若抛物线上存在一点，在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点． 21．（10分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 22．（13分）一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 23．（13分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 二次函数单元培优测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C B D B C C 1．B 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 2．C 【详解】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 3．C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 4．C 【分析】观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标分别为和， 观察图象，当时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集为． 5．C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 6．B 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合抛物线对称轴列方程求解m． 【详解】解：∵点，的纵坐标相同，且在抛物线上， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，化简得， 解得． 7．D 【分析】二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定，可优先判断涉及增减性的选项，再验证其余选项． 【详解】解：函数图象的对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 当时，对于方程，， ∵， ∴，函数图象与轴一定有两个交点，故B正确，不符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点，故C正确，不符合题意； 当时，抛物线开口向上，时，随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，时，随的增大而减小，故D错误，符合题意． 8．B 【分析】当轴时，线段最短．根据点C的坐标求得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求a的值． 【详解】解：根据题意知，当轴时，线段最短． ∵点C的坐标为， ∴点D的坐标为． 将其代入，得， 解得． 9．C 【分析】根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，结合给定的的取值区间，计算顶点及区间端点的函数值，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ， 当时，的最小值为， 的取值范围是． 10．C 【分析】图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与y轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定，再结合抛物线的部分图象和其顶点，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由抛物线开口向下可知， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点在和之间， 当时，， 即， ， ， 即，故②正确； 顶点坐标为， ， ， ，故③正确； 抛物线开口向下，顶点纵坐标为， 函数最大值为， ， 抛物线与直线无交点， 方程无实数根，故④正确； 当时，取最大值， 对于任意实数，都有， ， 即， 当时，，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 11． 【分析】已知二次函数为顶点式，结合给出的对称轴，利用顶点式的性质直接推导顶点坐标． 【详解】解：当时，， 因此它的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得， 代入得二次函数为， 因此顶点坐标为． 12．< 【分析】确定抛物线开口方向和对称轴，比较两个点到对称轴的距离，开口向上时，点到对称轴距离越大，对应函数值越大． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为直线 点到对称轴直线的距离为， 点到对称轴直线的距离为 ∵ 开口向上的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 且， ∴． 13． 【分析】先求出二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，计算对应的函数值，比较后得到最大值． 【详解】解：∵ ∴ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵ ， 开口向上的二次函数，图象上点离对称轴越远，函数值越大， 当时，， 当时，， ∵ ， ∴ 二次函数在时的最大值为． 14．四 【分析】根据二次函数图象的开口方向向下，判断出，根据其对称轴，判断出，根据二次函数当时与轴的交点在轴的负半轴，判断出，再分析，的符号，进而得出点所在象限． 【详解】解：二次函数图象的开口方向向下， ， 二次函数的对称轴， ， 当时，二次函数与轴的交点在轴的负半轴， ， ，， 点在第四象限． 15． 【分析】由题目已知条件正方形的边长和正方形的边长之比为，求出正方形MNPQ的边长． 【详解】解：设点B的纵坐标为， 四边形是正方形， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点B横坐标为． 点B坐标为． ∵正方形的边长和正方形的边长之比为， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点F横坐标为．点F纵坐标为． 点F坐标为． 抛物线的函数解析式为， 把点B坐标，点F坐标代入函数解析式，得 且， 解得， 抛物线的解析式为， 点F坐标为． 设正方形的边长为t，则N点坐标为． 将其代入， 整理，得， 解之，得，负根舍去． 所以，正方形的边长为． 16．(1)向下，直线， (2)图象如下： (3) 【分析】（1）先化为顶点式，根据二次函数的性质求解即可； （2）列表、描点、连线可得函数图象； （3）根据二次函数的对称性和坐标与图形性质求解即可． 【详解】（1）解：由，， ∴该抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 描点、连线，图略； （3）解：∵该抛物线的对称轴是直线，点A、B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点A、B关于直线对称， ∵点， ∴点B的坐标为． 17．(1) (2)点不在该二次函数的图象上 【分析】（1）先根据二次函数的定义求出的所有可能取值，再根据二次函数的增减性求解即可； （2）先求出二次函数的解析式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵（为常数）是二次函数， ∴，且， 解得或， 又∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴这个二次函数的解析式为， 当时，， ∴点不在该二次函数的图象上． 18．(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 19．(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 20．(1)抛物线的顶点坐标为 (2)的取值范围是或 (3)证明：∵点在抛物线上， ∴，即 对于一元二次方程，其判别式 将代入得： ∵点在轴上方， ∴ 又∵， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线与轴有两个交点． 【分析】（1）把，代入，再配方成顶点式求解即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，分顶点在x轴上和内仅有一个交点两种情况讨论，结合端点处的函数值求解，再分别验证和即可； （3）将点P的坐标代入抛物线解析式，用表示c，代入判别式配方，结合证明判别式大于0． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴顶点为； （2）解：由题意得，， 对称轴为直线， 且在范围内， ①当抛物线的顶点在x轴上时，则， 解得； ②当抛物线与x轴有两个不同交点时，要使在内恰有一个交点， 则和对应的函数值异号， 当时，， 当时，， ∴， ，解得； 或，无解； 当时，，令，则 解得或，符合在时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点， 当时，，令，则 解得或，不符合在时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点， 综上：或； （3）略 21．(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 22．(1) (2)证明：令，得， 整理得， ， 该方程是关于的一元二次方程， 其判别式， ， 该一元二次方程总有实数根，即与一定有交点； (3)线段的最大值为 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）令，得，整理得，由于，得到该方程是关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可求解； （3）由题意可得，，则，结合得到，令，根据二次函数的性质求出的最大值即可． 【详解】（1）解：将点代入得 ， 解得； （2）略 （3）解：点与点分别在，上， ，， ， ， ， ， 令， 该函数开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为， ， ，，且， 当时，取最大值，最大值为， 线段的最大值为． 23．(1) 与的函数关系式为（，且为整数）；当时，该充电站的收入为2000元 (2) 收支平衡时的值为20或100 (3) 解：符合条件的值为60 理由如下： 设净收益为元，由题意得 ， ∵ ， ∴ 该二次函数开口向下，在顶点处取得最大值， ∵ 当时净收益取得最大值， ∴ 顶点横坐标为80，即， 解得. 【分析】（1）根据正比例函数定义设解析式，代入表格中一组对应值求出比例系数，再将代入解析式计算收入； （2）根据收入等于成本的等量关系列一元二次方程，求解得到符合实际意义的根； （3）先根据净收益的定义列出二次函数表达式，结合二次函数最大值在顶点处的性质，利用顶点横坐标列方程求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得， 解得， ∴（，且为整数）， 当时，（元）. （2）解：由题意得，收支平衡时， 即， 整理得， 因式分解得， 解得，， 均为正整数，符合实际意义； （3）解：略． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数单元培优测试卷 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：二次函数单元全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 5．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 6．若，在抛物线上，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 7．关于x的二次函数（a，c为常数，且），下列说法中错误的是（     ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 C．函数图象一定经过点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，点C的坐标为，则当线段最短时a的值是（     ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．⑤其中正确的结论个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若二次函数的对称轴是直线，那么顶点坐标为______． 12．已知抛物线经过点，，则______（填“>”“<”或“=”）． 13．当时，二次函数的最大值为__________． 14．二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则点在第______象限． 15．为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）已知抛物线二次函数． (1)该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)画出该抛物线的图象； (3)若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 17．（6分）已知（k为常数）是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)试判断点是否在该二次函数的图象上． 18．（8分）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．（10分）已知抛物线． (1)若，，求抛物线的顶点坐标． (2)若，当时，二次函数的图象与x轴恰有一个交点，求c的取值范围． (3)若抛物线上存在一点，在x轴上方，求证：抛物线与x轴有两个交点． 21．（10分）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 22．（13分）一次函数的图像记为，二次函数的图像记为，其中为常数，． (1)当过点时，求的值； (2)求证：与一定有交点； (3)点与点分别在，上，若且，求线段的最大值． 23．（13分）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间成正比例关系如表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足：． 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据如表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值． 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请求出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $