导数及其应用大题分类训练-2027届高三数学一轮复习

导数及其应用大题分类训练一——2027届高三数学一轮复习 考点一：切线方程及其应用 1．已知函数．若，求曲线在点处的切线方程； 2．已知函数，．当时，求曲线在处的切线方程； 3．已知函数，．若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； 考点二：具体函数的单调性 4．已知函数．讨论的单调性； 5．已知函数．当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； 6．已知函数．当，时，求的单调区间； 7．已知函数，，．当时，求函数的单调区间； 考点三：含参函数的单调性 8．已知函数．讨论的单调性； 9．设函数，．讨论的单调性； 10．已知函数，.讨论的单调性； 11．已知函数，.讨论函数的单调性； 考点四：极值最值及其应用 12．已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最小值与最大值； 13．已知函数.若函数在区间上的最小值为0，求a的值； 14．已知函数．当时，求函数的单调区间和最值． 考点五：证明不等式等证明问题 15．已知函数（）． (1)当时，证明：的导函数是增函数． (2)证明：． (3)证明：对任意的，，有． 16．已知函数. (1)证明：； (2)证明：； 17．已知函数，曲线在处的切线方程为． (1)求证：时，； (2)求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《导数及其应用大题分类训练一——2027届高三数学一轮复习》参考答案 1． 【分析】利用导数的几何意义可求切线方程； 【详解】由题意得，则． 由， 得所求切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 2． 【分析】通过求导确定切线斜率，即可求解； 【详解】当时，，， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即． 3． 【分析】求，再求，即得的值，再求，从而得到切线的点斜式方程，进而得到的一般方程； 【详解】由题意得， 则切线的斜率为，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 4．在上单调递减. 【分析】求得，令，得到，求得的单调性与极值，得到，即，即可求解； 【详解】解：由函数，可得， 设，可得， 当时，；当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以当时，，即，所以在上单调递减. 5．①；② 单调递减区间是，单调递增区间是； 【分析】把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. 【详解】① 当时，函数定义域为，求导得， 则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 6．当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 【分析】求导，根据导数分类讨论即可求解； 【详解】当，时，，， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上：当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 7．单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. 【详解】当时，，则． 令，得． 因为，所以，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减； 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 8．时在单调递增；时在单调递减，在单调递增. 【分析】求导，分时两种情况进行分类讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； 【详解】函数的定义域为，求导得. 当时，对任意的，，此时函数在上单调递增； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时在单调递增； 当时在单调递减，在单调递增. 9．时，的增区间为，无减区间；时，的增区间为，减区间为. 【分析】求出函数的导数，就分类讨论可得函数的单调性； 【详解】， 若，则恒成立，故的增区间为，无减区间； 若，令，则， 当时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 综上，时，的增区间为，无减区间； 时，的增区间为，减区间为. 10．当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在和上单调递增． 【分析】对函数求导并因式分解，结合的条件，讨论与的大小关系，根据导函数的正负确定函数的单调区间. 【详解】求导得， 令，解得或， 当时，，则由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则由，得或，由，得， 则在区间上单调递减，在和上单调递增． 11．当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. 【分析】先化简求导分解，分母恒正，符号由分子二次型决定，对参数分类讨论. 【详解】，. . ①当时，当，，所以函数在单调递减； ②当时，令，则,，. 当，，所以函数在单调递减； 当，，所以函数在单调递增. 所以当时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减；在单调递增. 12．(1)极小值为，无极大值 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值即可； （2）利用导数研究单调性，进而求最值即可； 【详解】（1）函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； （2）由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． 13 【分析】导数单调递增，分类讨论导数零点与区间的位置，比较区间内极小值与端点值得到最小值求解参数，结果要检验是否符合分类前提； 【详解】因为在上单调递增，所以 ①当，即时，，在上单调递增， ，所以，符合题意； ②当，即时，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． ，解得，与矛盾，不符合题意； 综上可知． 14．的单调递增区间，的单调递减区间；的最大值为，无最小值． 【分析】先求导得出，再根据正负确定单调区间，进而求出最值. 【详解】由题意可得：的定义域为， 当时，，， 令，，解得，， 当时，，，所以， 当时，，，， 所以的单调增区间，的单调减区间， 即在处取得最大值，，无最小值． 15．(1)当时，，，     的导函数，     所以的导函数是增函数． (2)． 令，则，所以是增函数．     ，，     所以存在，使得，即，     所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增．     ．     因为，所以，     因为函数在上单调递增， 所以． (3)令， 则．     因为，所以．因为在上单调递增，所以，则，在上单调递增．     因为，所以，即．     因为，所以． 【分析】（1）使用导函数的正负证明函数单调性； （2）使用导数计算函数的最小值，证明的最小值大于； （3）构造函数，使用导数分析函数的单调性求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 16．(1)证明：由，得，函数的定义域为， 求导得， 令，求导得， 函数在上单调递增，由，得当时，，即； 当时，，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即. (2)由（1）知，当时，， 取，得，即，则， 因此， 所以不等式成立. 【分析】 （1）对求导，构造函数，再利用导数确定单调性推理得证. （2）当时，，取，得，再利用不等式的性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 17．(1)函数的定义域为，， 又，，所以该切线方程为． 设，则. 令，则， 当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，所以，即在上单调递增，所以. 故时，. (2)由（1）知：当时，． 令，则， 所以， 所以， 即． 综上，. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程；构造函数，根据导数与单调性的关系证明在上为增函数，故即可证明. （2）由（1）可得，进而变形为，结合累加法及裂项相消法证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $