第6章第14讲线段、射线和直线（6.1～6.4）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第6章 图形的初步知识　第14讲 线段、射线和直线(6.1~6.4) 第6章 图形的初步知识 第14讲 线段、射线和直线(6.1~6.4) 专题讲义 (一)几何图形 例题精析 例 1 下面几种几何图形中，属于平面图形的是 ①三角形；长方形； ③正方体； ④圆； ⑤四棱锥； ⑥圆柱。（　　） A. ①②④ B. ①②③ C. ①②⑥ D. ④⑤⑥ ▍思路点拨 根据立体图形和平面图形定义分别进行判断。 ▍过程详解 解： ①三角形；长方形； ④圆，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体； ⑤四棱锥； ⑥圆柱属于立体图形。故选A。 ▍总结升华 区分平面图形和立体图形：平面图形的各部分都在同一个平面内；立体图形的各部分不都在同一个平面内。 变式 1 用一个平面去截下列几何体： ①圆柱；正方体； ③棱锥； ④圆锥；长方体； ⑥球。其截出的面可能是圆的有＿＿＿。（填序号） 例 2 中国扇文化有着深厚的文化底蕴；历来中国有“制扇王国”之称，如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（　　） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 两点确定一条直线 ▍思路点拨 根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案。 ▍过程详解 解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面。故选B。 ▍总结升华 点动成线，线动成面，面动成体。 变式 2 如图，节日的焰火可以看成由点运动形成的，可以说明这一现象的数学原理是＿＿＿。 (二)直线交点数、平面数、线段数的计数问题 例题精析 例 3 观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： (1)在同一平面内，2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有＿＿＿个交点，4条直线相交最多有＿＿＿个交点……像这样，8条直线相交最多有＿＿＿个交点，n条直线相交最多有＿＿＿个交点。 (2)在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成＿＿＿部分，4条直线最多把平面分成＿＿＿部分……像这样，8条直线最多把平面分成＿＿＿部分，n条直线最多把平面分成＿＿＿部分。 ▍思路点拨 (1)数直线交点的个数，找出一般规律，即可得的模型； (2)数平面被分成几部分，找出一般规律，即可得。 ▍过程详解 解： (1)2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有1+2=3(个)交点，4条直线相交最多有1+2+3=6(个)交点，8条直线相交最多有1+2+3+4+5+6+7=28(个)交点……n条直线相交最多有(个)交点。故答案为3；6；28；。 (2)1条直线最多把平面分成1+1=2部分，2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分，3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分，4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分，8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分……n条直线最多把平面分成=1+1+…+(n-1)+n=[]部分。故答案为7；11；37；[]。 ▍总结升华 根据“两直线相交有且只有一个交点”，进行点的个数的计数，找出规律，可以得到模型，体现了特殊到一般的规律，用同样方式可以进行直线分平面个数的计数问题。 变式 3 (1)【观察思考】如图，线段AB上有两个点C,D，分别以点A,B,C,D为端点的线段共有＿＿＿条。若线段上有m个点(包括端点)，则该线段上共有＿＿＿条线段。 (2)【类比探究】平面内有2个点、3个点、4个点、5个点……n个点，过任意两点作一条直线，最多可以作几条直线？ (3)【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制(即每两支球队之间都要进行一场比赛)，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛。 (三)多面体与欧拉公式 例题精析 例 4 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 可以发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是＿＿＿。 (2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是＿＿＿。 (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值。 ▍思路点拨 先根据模型完成表格，然后猜测顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系，再利用这个关系式解决(2)(3)两个问题。 ▍过程详解 解： (1)从上往下填表：6,6。V,F,E之间存在的关系为V+F-E=2。故答案为V+F-E=2。 (2)设顶点数为x，则面数为(x+8)，得x+(x+8)-30=2，解得x=12，则面数为20。故答案为20。 (3)因为V=24，且每个顶点处有3条棱，所以E=24×3÷2=36，由V+F-E=2，得F=2+36-24=14，所以x+y=F=14。 ▍总结升华 欧拉公式：顶点数+面数-棱数=2。 变式 4 如图所示为四个封闭的平面图，其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系。观察图b和表中对应的数值，探究计数的方法并解决下列问题： (1)数一数每个图中的顶点数、边数和区域数，补全表格。 (2)根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系。 (四)“两点之间线段最短”的应用 例题精析 例 5 (1)如图1，在一条笔直的公路两侧，分别有A,B两个村庄，现在要在公路l上建一座火力发电厂，向A,B两个村庄供电，为使所用的电线最短，请问供电厂P应建在何处？画出图形，不写作法，保留作图痕迹。 (2)如图2，若要向4个村庄A,B,C,D供电，供电厂P又该建在何处能使所用电线最短呢？画出图形，不写作法，保留作图痕迹。 ▍思路点拨 利用“两点之间线段最短”解决最值问题，作出图形即可。 ▍过程详解 解：如图。 ▍总结升华 “两点之间线段最短”的应用中，连结两个点间的线段，找交点，交点即为解决最值问题的所求点。 变式 5 下列三个生活、生产现象： ①用两枚钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设。其中可用定理“两点之间线段最短”来解释的现象有＿＿＿（填序号）。 (五)线段的和差倍分 例题精析 例 6 (线段中点的性质)如图，C,D两点将线段AB分为三部分，AC:CD:DB=2:3:4，且AC=4。M是线段AB的中点，N是线段DB的中点。 (1)求线段DB,AB的长。 (2)求线段MN的长。 ▍思路点拨 (1)根据已知条件可得DB=2AC，； (2)由M是线段AB的中点，得到，由N是线段BD的中点，得到，再根据线段的和差即可求得MN的长。 ▍过程详解 解： (1)因为AC:CD:DB=2:3:4，AC=4，所以DB=2AC=2×4=8，。 (2)因为M是线段AB的中点，所以。因为N是线段BD的中点，所以。因为MN=MB-NB，所以MN=9-4=5。 ▍总结升华 线段中点的定义：中点把线段分成相等的两条线段，根据图形对线段进行和、差、倍、分的运算是解题的关键。 变式 6 如图，O是线段AB的中点，C,E是线段AB上两点，AB=12,OC=2。 (1)求AC的长。 (2)若BE:CE=1:3，求CE的长。 例 7 (整体思想)如图，点C在线段AB上，M,N分别是AC,BC的中点。 (1)若AC=6cm，BC=4cm，求MN的长。 (2)若AC+BC=a cm，其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由。 (3)若C是线段AB延长线上一点，且满足AC-BC=b cm，其他条件不变，请画出图形，并直接写出MN的长度。 (4)由此题你发现了怎样的规律？ ▍思路点拨 当C为线段AB上或延长线上任一点时，MN=CM+CN，或MN=CM-CN，根据线段中点，运用整体思想，将AC+BC=a cm，或AC-BC=b cm整体代入计算，即可发现规律。 ▍过程详解 解： (1)因为M,N分别是AC,BC的中点，所以，。因为AC=6cm，BC=4cm，所以，所以MN的长为5cm。 (2)MN的长度为。理由如下：因为M,N分别是AC,BC的中点，所以，。因为AC+BC=a cm，所以，所以MN的长度为。 (3)如图，MN的长度为。理由如下：因为，。因为AC-BC=b cm，所以，所以MN的长度为。 (4)规律：MN的长度与点C的位置无关，只与AB的长度有关。 ▍总结升华 用整体思想求线段的长度，需要先用线段列出关系式，再整体代入。 变式 7 如图1，已知点C在线段AB上，且。 (1)若AC=12，BC=6，求线段MN的长。 (2)若C为线段AB上任意一点，其他条件不变，且满足AC+BC=a，求线段MN的长。 (3)如图2，若C为线段AB延长线上任意一点，其他条件不变，且满足AC-BC=b，求线段MN的长。 例 8 (方程思想)如图，E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC:CB=1:4，AC=12cm。 (1)求AB的长。 (2)若F为CB的中点，求EF的长。 ▍思路点拨 (1)由线段的和差倍分，线段的中点，列方程可解得AB的长； (2)由线段的中点，线段的和差可计算出EF的长。 ▍过程详解 解： (1)设EC的长为x cm，因为EC:CB=1:4，所以BC=4x cm。又因为BE=BC+CE，所以BE=5x cm。又因为E为线段AB的中点，所以，所以AE=5x cm。又因为AC=AE+EC，AC=12cm，所以6x=12，解得x=2，所以AB=20cm。 (2)因为F为线段CB的中点，由(1)可得。又因为EF=EC+CF，所以EF=6cm。 ▍总结升华 用方程思想求线段的长度，已知线段比时，通常设1份为x，则其他线段都可以用含x的式子表示出来，再找到线段的等量关系建立方程求解x的值，其他线段即可随之求出。 变式 8 如图，点A,B,C,D四点在同一条直线上，并且AB=CD。 (1)若AC=12cm，求BD的长。 (2)若AB:BC=1:2，M是AB的中点，N是CD的中点，并且MN=18cm，求AD的长。 例 9 (定值问题)已知线段AB=m(m为常数)，C为直线AB上一点，点P,Q分别在线段AC,BC上，且满足CP=3AP，CQ=3BQ。 (1)若C恰好为线段AB中点时，AC=＿＿＿。（用含m的代数式表示） (2)若C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由。 (3)若点C在点A左侧，同时点Q在线段AB上(不与端点重合)，试说明的值不变。 ▍思路点拨 由C为直线AB上一点，分“点C在线段AB上”“点C在线段AB延长线上”“点C在线段BA延长线上”，三种位置关系进行分类讨论。 ▍过程详解 解： (1)因为C恰好为线段AB中点，所以。故答案为。 (2)PQ长度是常数，值为。理由如下： ①当点C在线段AB上时，如图1。所以； ②当点C在线段AB延长线上时，如图2。所以； ③当点C在线段BA延长线上时，如图3。所以。综上所述，PQ长度是常数，且。 (3)如图4。因为点C在点A左侧，同时点Q在线段AB上，所以PQ=AP+AQ。因为CP=3AP，所以。 ▍总结升华 线段的和差倍分计算中，点在直线上的位置不确定导致要分类讨论，这里体现了分类讨论的思想，对于多种情况的讨论需要分别画出图形进行分析求解，当各种情况求得的值一样时，即为定值。 变式 9 在数轴上点A,B,C所表示的数分别是-2,6,x(x>-2)。 (1)求AB的长。 (2)若D是AB的中点，用含x的代数式表示CD的长。 (3)若点A以每秒5个单位长度的速度向左运动，同时，点B以每秒20个单位长度的速度向右运动，点C从原点开始以每秒1个单位长度的速度向右运动，记OB的中点为E，AC的中点为F，试通过计算说明的结果是定值。 链接好题 如图，A,B是数轴上的两点，A表示-20,B表示100，动点P,Q分别从点A,B同时出发，相向而行，若点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，当点Q到达点A时，两点立即停止运动，设运动时间为t秒。 (1)点P表示的数为＿＿＿；点Q表示的数为＿＿＿。（用含t的代数式表示） (2)若aAP+AQ的结果是一个定值，求a的值。 (3)当t为何值时，P,Q两点相距40个单位长度？ 参考答案与方法指导 变式训练 1. ①④⑥ 2. 点动成线 3. (1)6， (2)当平面内有n个点时，最多可作条直线。 (3)把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，由题知，当m=10时，。答：一共要进行45场比赛。 4. (1)补全表格如图所示。 (2)观察表中数据可得4+3-6=1，7+3-9=1，8+5-12=1，10+6-15=1，所以顶点数+区域数-边数=1。 5. ③ 6. (1)因为O是线段AB的中点，AB=12，所以。又因为OC=2，所以AC=AO-OC=4。 (2)因为AB=12,AC=4，所以BC=AB-AC=12-4=8。因为BE:CE=1:3，所以。 7. (1)由，得。由线段的和差，得AB=AC+BC=12+6=18,MN=AB-AM-NB=18-4-2=12。 。 (3)由，得，。。 8. (1)因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，所以AC=BD。因为AC=12cm，所以BD=12cm。 (2)如图，设AB=x cm，因为AB:BC=1:2，所以BC=2x cm。因为M是AB的中点，所以。因为AB=CD，所以CD=x cm。因为N是CD的中点，所以。因为MN=BM+BC+CN，所以，所以x=6，所以AB=CD=6cm,BC=12cm，所以AD=AB+BC+CD=24cm。 9. (1)因为|AB|=|6-(-2)|=8，所以AB的长是8。 (2)D是AB的中点，则点D表示的数是(-2+6)÷2=2，所以CD=|2-x|。因为x>-2，所以当-2<x<2时，CD=2-x；当x≥2时，CD=x-2。 (3)设运动时间为t s。由点A,B,C的运动可知，运动后点C所对应的数为t，点A所对应的数为-2-5t，点B所对应的数为6+20t，所以AB的长度为25t+8，OC的长度为t。因为E,F分别是OB,AC的中点，所以点E所对应的数为(6+20t)÷2=3+10t，点F所对应的数为[t+(-2-5t)]÷2=-1-2t，所以EF的长度为12t+4。所以，即的结果是定值。 链接好题 (1)点P表示的数为-20+2t，点Q表示的数为100-3t。故答案为-20+2t；100-3t。 (2)aAP+AQ=a[-20+2t-(-20)]+[100-3t-(-20)]=2at+120-3t=(2a-3)t+120，因为aAP+AQ的结果为定值，所以2a-3=0，解得。 (3)当点P在点Q的左侧时，100-3t-(-20+2t)=40，解得t=16；当点P在点Q的右侧时，(-20+2t)-(100-3t)=40，解得t=32。综上可知，当t=16或32时，P,Q两点相距40个单位长度。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $