第1章第1讲有理数（1.1）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第1章 有理数　第1讲 有理数(1.1) 第1章 有理数 第1讲 有理数(1.1) 专题讲义 (一)运用负数表示相反意义的量 例题精析 例 1 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是:今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为（　　） A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃ ▍思路点拨 若零上记为正，则零下记为负，即可求解。 ▍过程详解 解:因为零上10℃记作+10℃，所以-3℃表示气温为零下3℃。故选B。 ▍总结升华 用正负数来表示一对具有相反意义的量。 变式 1 下列不是具有相反意义的量是（　　） A. 前进5米和后退5米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米 D. 超过5克和不足2克 例 2 如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B,C,D处的其他甲虫，规定:向上向右走均为正，向下向左走均为负。如果从A到B记为:A→B(+1,+4)，从B到A记为:B→A(-1,-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向。 (1)图中A→C(＿＿＿)，B→C(＿＿＿)，C→＿＿＿(+1,-2)。 (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为(+2,+2)，(+2,-1)，(-2,+3)，(-1,-2)，请在图中标出P的位置。 (3)若图中另有两个格点M,N，且M→A(3-a,b-4)，M→N(5-a,b-2)，则N→A应记为什么？ ▍思路点拨 (1)根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； (2)根据这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为(+2,+2)，(+2,-1)，(-2,+3)，(-1,-2)，进行作答即可； (3)对比M→A与M→N对应的横纵坐标即可得解。 ▍过程详解 解:(1)(+3,+4) (+2,0) D (2)由这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为(+2,+2)，(+2,-1)，(-2,+3)，(-1,-2)，可得P的位置如图。 (3)因为M→A(3-a,b-4)，M→N(5-a,b-2)，对比M→A与M→N对应的横纵坐标，所以从点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，所以N→A(-2,-2)。 ▍总结升华 本题主要考查正负数在实际问题中的应用，即用正负数表示一对具有相反意义的量。 变式 2 如图，蚂蚁在5×5的方格(每个小方格的边长均为1cm)上沿着网格线运动。它从A处出发去寻找B,C,D处的伙伴，规定:向上向右走为正，向下向左走为负。如果从A到B记为:A→B(+1,+4)，从B到A记为:B→A(-1,-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→D(＿＿，＿＿)；D→B(＿＿，＿＿)；C→B(＿＿，＿＿)。 (2)若蚂蚁的行走路线为A→B→C→D，请计算蚂蚁走过的路程。 (3)若蚂蚁从A处出发去寻找伙伴，它的行走路线依次为(+1,+2)，(+3,-1)，(-2,+2)，请在图中标出这只蚂蚁伙伴的位置E。 (4)在(3)中，若蚂蚁每走1cm需要消耗1.5焦耳的能量，则蚂蚁在寻找伙伴E的过程中总共需要消耗多少焦耳的能量？ (二)有理数的分类 例题精析 例 3 下列说法正确的是（　　） A. 所有的整数都是正数 B. 整数和分数统称为有理数 C. 0是最小的有理数 D. -1是最大的负数 ▍思路点拨 根据有理数的分类可正确得出答案。 ▍过程详解 解:A，-2也是整数，所以A不正确；B，整数和分数统称为有理数，所以B正确；C，所有的负有理数都小于0，所以C不正确；D，-1是最大的负整数，没有最大的负数，所以D不正确。故选B。 ▍总结升华 有理数按整分性分为:整数和分数；按照正负性分:正有理数、0和负有理数。 变式 3 下列说法不正确的是（　　） A. 有理数可分为正整数、正分数、0、负整数、负分数 B. 一个有理数不是分数就是整数 C. 一个有理数不是正数就是负数 D. 若一个数是整数，则这个数一定是有理数 例 4 把下列各数填在相应的集合中。 正数集合:{＿＿＿}； 负数集合:{＿＿＿}； 整数集合:{＿＿＿}； 分数集合:{＿＿＿}； 非负有理数集合:{＿＿＿}。 ▍思路点拨 根据有理数分类结合题意分类即可求解。 ▍过程详解 解:正数集合:{}； 负数集合:{}； 整数集合:{8,-1,0,-(-5)}； 分数集合:{}； 非负有理数集合:{}。 ▍总结升华 有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0和负整数，分数包括正分数和负分数。 变式 4 如图，两个圈分别表示正数集合和整数集合，请你从下列各数中，选择适当的数填入图中相应的位置:-6,-18,2022,-3.14,0,95%。 (三)利用有理数解决相关实际问题 例题精析 例 5 小聪、小明、小慧三位同学分别记录了一周内各天收支情况，如下表(记收入为正，单位:元)。 根据上表回答下列问题： (1)说出“小聪”这一行中10,-5.20,0,-4.80,5,-3,-4各数的实际意义。 (2)说出“星期五”这一列中-6,6的实际意义。 (3)说出“结余”一列中-2,1,0的实际意义。 ▍思路点拨 (1)根据正数表示收入，负数表示支出，0表示没收入、无支出可得结论； (2)-6是小明周五的收支情况，负数表示支出，6是小慧周五的收支情况，正数表示收入； (3)结余是将一周的数相加得来的，正数表示结余有收入，负数表示结余是支出，0表示结余后没有收入。 ▍过程详解 解:(1)10表示周一收入10元，-5.20表示周二支出5.2元，0表示周三没有收支情况，-4.80表示周四支出4.8元，5表示周五收入5元，-3表示周六支出3元，-4表示周日支出4元。 (2)-6表示小明周五支出6元，6表示小慧周五收入6元。 (3)-2表示小聪本周结余支出2元，1表示小明本周结余收入1元，0表示小慧本周结余0元。 ▍总结升华 用正数、负数表示相反意义的量，用有理数来解决相关问题。 变式 5 如图是李阿姨10月23日至10月25日微信零钱明细(不完整)，其中正数表示收款，负数表示付款。 (1)图中“-42.00”和“+200.00”分别表示什么意思？ (2)图中“”是李阿姨已删除的一条明细，李阿姨只能记得这条明细是10月24日扫二维码付款37元，忘记了当时的余额，请你帮助李阿姨计算出付款37元后的余额为多少？ (四)有理数的探索 例题精析 例 6 任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)。我们知道:0.12可以写成，0.123可以写成，因此，有限小数是有理数。那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数为例，进行探索： 设， ① 两边同乘100，得， ② ②-①，得99x=258.93，所以，因此，是有理数。 (1)直接用分数表示循环小数=＿＿＿。 (2)试说明是一个有理数，即能用一个分数表示。 ▍思路点拨 仿照题目中的示例进行模仿探索。 ▍过程详解 解:(1)设， ① 两边同乘10，得， ② ②-①，得9x=14，所以，所以。故答案为。 (2)设， ① 两边同乘100，得， ② ②-①，得，所以，因此，是有理数。 ▍总结升华 化循环小数为分数的方法可用方程思想求之。 变式 6 通过查阅资料，交流研讨，了解把无限循环小数化为分数的方法。 例 7 (1)图形规律题： 如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第2025个图案中小五角星有＿＿＿颗。 (2)数列规律题： 观察下列五层数： 第一层:1； 第二层:2,-4； 第三层:3,-6,9； 第四层:4,-8,12,-16； 第五层:5,-10,15,-20,25； …… 则第十层的最后一个数是（　　） A. 100 B. 81 C. -100 D. -81 ▍思路点拨 (1)通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案； (2)发现每层第一个数与层数相同，再注意正负交替即可得出答案。 ▍过程详解 解:(1)观察图案可以得到，每个图形的小五角星都是有三层构成的，第一层、第三层的数量与图案的序号相同，第二层的数量比图案的序号多1，据此规律第2025个图案共有三层构成，第一层、第三层小五角星的数量都是2025，第二层的数量是2026，所以第2025个图案中小五角星一共有2025+2026+2025=6076(颗)。故答案为6076。 (2)第十层:10,-20,30,-40,50,-60,70,-80,90,-100。故选C。 ▍总结升华 从特殊情况发现一般规律，利用一般规律解决特殊问题，体现了特殊→一般→特殊的规律。 变式 7 (1)按如图所示的规律搭正方形:搭1个小正方形需要4根小棒，搭2个小正方形需要7根小棒，搭2025个这样的小正方形需要小棒＿＿＿根。 (2)观察下列各数排列规律，则第100个位置上的数是＿＿＿。 链接好题 如图，点O在直线AB上，点在射线OA上，点在射线OB上，图中相邻的点之间的距离为1。一个动点M从点O出发，以每秒1个单位长度的速度，按如图所示的箭头方向，沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从，按此规律，动点M到达点处所需的时间为（　　） A. (10+55π)s B. (20+55π)s C. (10+110π)s D. (20+110π)s 参考答案与方法指导 变式训练 1. C 2. (1)(+4,+2) (-3,+2) (-2,0) (2)蚂蚁走过的路程为1+4+2+0+1+2=10(cm)。 (3)如图所示。 (4)蚂蚁走过的路程为1+2+3+1+2+2=11(cm)，所以蚂蚁在寻找伙伴E的过程中总共需要消耗的能量为11×1.5=16.5(焦耳)。 3. C 4. 5. (1)“-42.00”表示付款42元，“+200.00”表示收款200元。 (2)239.18-37=202.18(元)。答:付款37元后的余额为202.18元。 6. 方法一:设，并将两边乘100，得到，两式相减消去循环部分，得到99x=126，解方程得。因此，无限循环小数可以表示为分数。 方法二:将写成，的循环节是2和7两个数字，则转化成分数的分母是两个9组成的数99，分子是循环节组成的数27，即，所以根据。 7. (1)6076 链接好题 A 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $