1.4 空间向量的应用（二）用空间向量研究距离、夹角问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.4空间向量的应用（二）用空间向量研究距离、夹角问题知识归纳与题型总结 考点01 用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 考向01 点到平面距离的向量求法 【例1】如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考向02 平行平面距离的向量求法 【例2】如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 考向03 点到直线距离的向量求法 【例3】已知点，，则点到直线的距离为______． 考向04 异面直线距离的向量求法 【例4】如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 考向05 空间线段点的存在性问题 【例5】正方体，，，分别为，，的中点． (1)在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【对点1】（多选）已知平面的一个法向量为，，，则（     ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为1 D．直线与平面所成角的余弦值为 【对点2】两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【对点3】（多选）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（    ） A． B． C．当时，平面 D．当时， 【对点4】一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【对点5】如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点02 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 考向01 异面直线夹角的向量求法 【例1】如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面． 考向02 已知线线角求其他量 【例2】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 考向03 线面角的向量求法 【例3】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 考向04 已知线面角求其他量 【例4】如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面．    (1)证明：； (2)若，直线与平面ABE所成角的正弦值为，求； (3)平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比． 考向05 面面角的向量求法 【例5】如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 考向06 已知面面角求其他量 【例6】已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 考向07 共面直线夹角的向量求法 【例7】已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 【对点1】如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，． (1)求点B到平面ACM的距离； (2)求异面直线CM与AB所成角的正弦值． 【对点2】（多选）设a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，该三角形旋转一周形成圆锥，则（    ） A．当时，圆锥的表面积为 B．当时，圆锥的体积为 C．在旋转过程中，当直线与a成角时，与b成角 D．在旋转过程中，当直线与a所成角为最小值时， 【对点3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是棱上一动点. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【对点4】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【对点5】如图，在棱长为的正方体 中， 为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【对点6】如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，D是BC的中点，. (1)证明：∥平面； (2)已知到平面的距离为1，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 【对点7】如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（    ）． ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离为定值； ④存在点Q，是锐角三角形． A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④ 一、单选题 1．在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 3．三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．已知在菱形 中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线 与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）         图1                          图2 A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为定值 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若，则平面与平面夹角的余弦值为 10．（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，O，P分别是，的中点，M是棱上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．存在点M，使得平面 C．存在点M，使得直线与所成的角为 D．点M到平面与平面的距离和为定值 11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．不存在点P，使得 B．的最小值为 C．当时， D．当时，上存在点M，使得，则 三、填空题 12．已知三棱锥，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角的大小为______． 13．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角的大小为________. 14．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 15．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为__________． 四、解答题 16．如图，三棱锥中，，点是的中点，平面，底面是边长为的等边三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． (1)求证：； (2)若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 18．如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，是棱的中点，． (1)求证：平面平面． (2)若，点P满足． ①求直线与平面所成角的正切值； ②求二面角的余弦值． 19．如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，侧面底面，，，分别是，的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 20．定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． (1)求证：四面体为对垂四面体； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学选择性必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.4空间向量的应用（二）用空间向量研究距离、夹角问题知识归纳与题型总结 考点01 用空间向量研究空间距离 1．距离问题 (1)点P到直线l的距离：如图，已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形. 设，则向量在直线l上的投影向量， 在Rt△APQ中，由勾股定理，得， 则点P到直线l的距离为． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 2．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 3．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面α的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上某一个点到平面α的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面α的一个法向量为，A是α内任意点，则点P到α的距离为. 考向01 点到平面距离的向量求法 【例1】如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求锐二面角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）作出直线与平面所成角，解直角三角形即可得答案. （2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而得的值． 【详解】（1）作，垂足为E，连接， 因为侧面底面，侧面底面，故底面， 底面，则， 则即为直线与平面所成角， ，故，故， 则, 又，故， 故. （2）因为侧面底面，侧面底面，， 底面，故侧面， 以点A为坐标原点，以分别为轴，以过点A垂直于平面的直线为z轴， 建立空间直角坐标系，如图： 则，则，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 结合题意可知平面的法向量可取作， 设锐二面角为，则， （3）设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 考向02 平行平面距离的向量求法 【例2】如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 考向03 点到直线距离的向量求法 【例3】已知点，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【详解】依题意得，，则， ，，所以， 则点到直线的距离为. 考向04 异面直线距离的向量求法 【例4】如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 考向05 空间线段点的存在性问题 【例5】正方体，，，分别为，，的中点． (1)在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)为线段的中点 (2)． 【分析】（1）根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可得到结果； （2）根据题意，由面面角的定义即可得到为平面与平面夹角，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 取的中点分别为，连接， 连接，而都经过正方体中心，两两相交，所以多边形为平面六边形，且边长相等，故为平面正六边形． 取的中点，记为，取的中点为，连接． ，，四边形为平行四边形，故， 面，面，面，故线段的中点满足题意． （2） 延长相交于，过作，交于，连接， 面，，为平面与平面夹角， 设正方体边长为2，则，，， 故，平面与平面夹角的余弦值为． 【对点1】（多选）已知平面的一个法向量为，，，则（     ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为1 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】A，通过向量共线的性质设求解.B，通过投影向量求解公式求解.C，利用法向量，通过距离公式求解.D，根据线面角的向量求法可求得. 【详解】因为，所以，解得. 对于选项A，若与共线，设，则，，，解得，，，所以，正确. 对于选项B，投影向量为，正确. 对于选项C，，正确. 对于选项D，因为， 所以，错误. 【对点2】两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 【对点3】（多选）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为．若二面角为，则（    ） A． B． C．当时，平面 D．当时， 【答案】ACD 【分析】设分别为在直线上的垂足，设的单位向量为，记，从而得到，且，求出，，，选项A，由的范围得到的范围，从而得到结论；选项B，求出，结合向量的垂直公式得到结论；选项C，由得到，从而求出，计算，得到故，即，结合线面垂直的判定定理得到结论；选项D ，设直线与的夹角为，利用向量的数量积公式求出，求出，结合已知条件得到，从而得到结论. 【详解】设分别为在直线上的垂足，设方向的单位向量为， 并记， 由题意，，且， 则， 因为， 所以， 选项A，因为，所以， 当且仅当时取等号，则选项A正确. 选项B，因为， 所以不一定有，则选项B错误. 选项C，当时，必有，从而， 又，故； 即，直线是平面内两条相交直线， 所以平面，则选项C正确. 选项D ，设直线与的夹角为， 因为， 所以，， 因为，， 所以， 则， 因为，所以，解得，则选项D正确. 【对点4】一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【对点5】如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得即可. 【详解】（1）取的中点O，连接. 由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）略 考点02 用空间向量研究空间角 1．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 2．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 3．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 4．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 考向01 异面直线夹角的向量求法 【例1】如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，，，为棱的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)因为， 所以， ， 所以， 又平面，所以平面． 【分析】（1）利用菱形对角线建系，求出两条异面直线方向向量，套用异面直线夹角向量公式计算余弦值； （2）证明与平面内两条相交直线的向量点积均为0，用线面垂直判定定理完成证明． 【详解】（1）连接，交于点.以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由，得，又，所以 ， ， 设异面直线与所成的角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）略 考向02 已知线线角求其他量 【例2】如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 考向03 线面角的向量求法 【例3】如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接，．     ，分别为，的中点，，，，，     ，，     ∴四边形是平行四边形，．     平面，平面，平面．     (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，    ，，．    设平面的法向量为，则，   取，得，，得．     故直线与平面所成角的正弦值为． 考向04 已知线面角求其他量 【例4】如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面．    (1)证明：； (2)若，直线与平面ABE所成角的正弦值为，求； (3)平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比． 【答案】(1)证明：如图，连结，因为E为矩形两条对角线的交点，所以E为的中点． 取的中点M，连结，则，且， 因为，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以． (2)或 (3) 【分析】（1）应用线面平行性质定理得出，再应用平行四边形计算边长关系； （2）建立空间直角坐标系，结合线面角正弦公式计算求解边长； （3）应用柱体及锥体体积公式计算求解比值. 【详解】（1）略 （2）因为直四棱柱中，且，故以D为原点， 为正交基底建立如图空间直角坐标系． 则，，设，则，，． 所以，，． 设平面的一个法向量，则即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成角为，则， 化简整理得，得或，解得或． 所以或． （3）取的中点N，CD的中点F，连结BF，EF，NF． 由（1）证明过程可知，平面ABE截四棱柱的截面为四边形， 截得下面部分为直三棱柱和四棱锥． 设，，，则． 所以三棱柱的体积 ， 四棱锥的体积， 所以下面部分的体积为． 而四棱柱的体积， 所以上面部分的体积为， 所以上､下两部分的体积之比为． 考向05 面面角的向量求法 【例5】如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，． (1)求证：平面⊥平面． (2)若，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为四边形为矩形，所以． 因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面． 又平面，所以， 又，所以，且平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以平面⊥平面． (2) 【分析】（1）由条件得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为四边形为矩形，四边形为梯形，，所以． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴， 又平面．过点作的平行线为轴，如图： 因为，，，所以， 在梯形中，取的中点，连接， 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以四边形为矩形，则， 所以， 所以点， 则， 设平面的一个法向量为， 则 令，得，所以． 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，所以． 所以， 由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为． 考向06 已知面面角求其他量 【例6】已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：三棱柱中，四边形为平行四边形， 由知，四边形为菱形． 连接，则，又且，平面， 平面， 平面，则． 又，即，而，平面， 平面，而平面， 平面平面． (2)在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 【分析】（1）先证明平面，推出，即可证明平面，结合面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，可求平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【详解】（1）略. （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面上过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，， ，，，． 设在线段上存在一点（异于点，），满足， 使平面与平面夹角的余弦值为，则， ， ． 设平面的法向量为， 由，取，则，， 得， 平面的一个法向量为． 由，解得或． 因为，则， 故在线段上存在点，满足，使平面与平面夹角的余弦值为． 考向07 共面直线夹角的向量求法 【例7】已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 【答案】 【分析】利用向量法求出的夹角，再利用三角形面积公式求解. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：    则，， 设， 所以 所以， 设直线与的夹角为， 则，所以 所以 所以当时，的面积的最小值为， 故答案为： 【对点1】如图，AB是圆的直径，AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点，． (1)求点B到平面ACM的距离； (2)求异面直线CM与AB所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过证明线面垂直可得到点B到平面ACM的距离为BC的长，利用直径所对圆周角为直角可得为直角三角形，根据勾股定理即可求出点到平面的距离BC的长； （2）根据（1）中的线面垂直，建立空间直角坐标系，根据向量角求出异面直线所成角的正弦值． 【详解】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以， 因为是圆的直径，所以． 因为，且平面， 所以平面ACM，因为，所以， 所以点B到平面ACM的距离为BC的长，即． （2）因为是圆的直径，所以． 因为AM与圆所在的平面垂直，C是圆上不同于A，B的一点， 所以作AM的平行线，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，所以点，，，， 则，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故异面直线与所成角的正弦值为． 【对点2】（多选）设a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，该三角形旋转一周形成圆锥，则（    ） A．当时，圆锥的表面积为 B．当时，圆锥的体积为 C．在旋转过程中，当直线与a成角时，与b成角 D．在旋转过程中，当直线与a所成角为最小值时， 【答案】ACD 【分析】首先进行建系转化：利用与、都垂直的条件，建立空间直角坐标系，把几何问题转化为向量坐标问题； 对于A、B选项利用等腰直角三角形的边长关系，求出圆锥的底面半径、高、母线，再代入表面积、体积公式直接计算判断；   对于C选项：用方向向量的夹角公式，结合与的夹角条件，推出参数关系，再验证与的夹角； 对于D选项：先根据线线角的余弦表达式找到最小值的条件，再验证此时与是否垂直. 【详解】根据题意，AC与互相垂直的都垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 设（为等腰直角三角形，为斜边）， 因此，，旋转过程中坐标为，， 得，的方向向量，的方向向量. 对于A，由，得，圆锥底面半径，母线长. 圆锥表面积底面积侧面积，A正确； 对于B，圆锥体积，B错误； 对于C，若与成，则，得，则. 设与夹角为，则，得，C正确； 对于D，与所成角满足，所以， 当取最小值时，由，可得，故得， 此时，，即，D正确. 【对点3】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是棱上一动点. (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为底面是正方形，所以， 底面底面所以， 又平面，所以平面， 平面，所以. (2) 【详解】（1）略. （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由可得，， 因为，所以， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 则. 【对点4】如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，，， 所以，则， 又因为，所以，所以， 又因为平面，而平面，所以平面． (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由相似比与已知比例得，进而根据线面平行的判定即可证明； （2）先依题意建立空间直角坐标系，设，，从而得到， 再求出平面的一个法向量，再根据线面所成角的正弦值等于该直线方向向量与平面法向量夹角的余弦的绝对值求出的值，进而即可求得长度． 【详解】（1）略 （2）依题意可得，，两两垂直， 则以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由，，，且， 则，，，，， 则，， 设，，得，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 所以，，所以线段的长为． 【对点5】如图，在棱长为的正方体 中， 为棱的中点，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)记的中点为，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，， 在正方体中，，， 因为为的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，故平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，分别求出平面与平面的法向量，利用两法向量夹角的余弦公式求两平面所成角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则、、、. 所以，，. 设是平面的一个法向量，则，即， 令，可得. 设是平面的一个法向量，则，即， 取，可得. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【对点6】如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，D是BC的中点，. (1)证明：∥平面； (2)已知到平面的距离为1，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)方法1：如图，连结，交于点E，连结DE. 三棱柱中，平面是平行四边形，则E是的中点. 又D是BC的中点，所以DE∥. 因为平面，平面， 所以∥平面. 方法2：如图，取中点，连结，，. 三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为D，分别为BC，的中点，所以BD∥，BD， 因此四边形是平行四边形，所以∥. 又平面，平面，所以∥平面. 同理可得，四边形为平行四边形，所以∥，. 三棱柱中，因为∥，. 所以∥，. 所以四边形是平行四边形，所以∥AD. 又平面，平面，所以∥平面. 又，平面，所以平面∥平面. 又平面，所以∥平面. (2) 【分析】（1）方法1：连结，交于点E，连结DE.利用棱柱性质及线面平行的判定定理证明∥平面. 方法2：取中点，连结，，.利用棱柱性质及线面平行的判定定理得∥平面，∥平面. 所以利用面面平行的判定定理得平面∥平面，进而利用线面平行的判定定理证明 ∥平面. （2）方法1：建立空间直角坐标系.，求得点的坐标，易得平面的一个法向量为. 求出平面的法向量.利用夹角的向量公式求得. 方法2：结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证得BC⊥平面，由线面距离得，连结PC，交于点E，连结ED，作于F.可得即为二面角的平面角，求得，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，利用相似三角形的性质求得. 【详解】（1）略 （2）方法1：由题干得是等边三角形，且D是BC的中点， 所以. 因为三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为2a， 则，，，此时， 所以. 又，平面，所以BC⊥平面. 所以BD即为到平面的距离，所以，因此三棱柱的棱长均为2. 因为平面平面，平面，， 平面平面，所以平面. 又，故以D为原点，DA，DB，分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设 ()， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即， 取，可得. 设二面角的大小为，则， 又，解得 (舍去)，所以. 方法2：由题干得是等边三角形，且D是BC的中点，所以. 因为三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为2a， 则，，，此时， 所以. 又，平面，所以BC⊥平面. 所以BD即为到平面的距离，所以，因此三棱柱的棱长均为2. 如图，连结PC，交于点E，连结ED，作于F. 因为平面，平面，平面， 所以，， 因此即为二面角的平面角. 于是，所以. 因为平面平面，平面，， 平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，因为，，所以EF∥，且EF＝AF. 又AC∥，所以，因此. 【对点7】如图，在正方体中，点Q是棱上的动点，下列说法中错误的是（    ）． ①存在点Q，使得； ②存在点Q，使得； ③对于任意点Q，Q到的距离为定值； ④存在点Q，是锐角三角形． A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次判断即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，设，其中， 所以，， 若，则存在实数使得， 则，无解，故①错误； 若，则，解得，故②正确； ，点到的距离为， 不是定值，故③错误； ，， 所以， 所以为直角三角形或钝角三角形，故④错误. 故选：D. 一、单选题 1．在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 2．在三棱锥中，点，则点P到平面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为点, 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，所以， 所以点P到平面的距离为． 3．三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由△ABC面积为定值，得体积最大时点P到平面ABC的距离最大，即PC⊥平面ABC，再通过空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】由，，得的面积，为定值 ， 三棱锥体积，其中为点到平面的距离， 已知，故，当且仅当平面时，取最大值1，此时三棱锥体积最大， 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，由平面且，得, 则，, 设异面直线与所成角为，，，，， 所以 ，所以直线与所成角的余弦值为. 4．已知在菱形 中，，将菱形沿对角线翻折，使得二面角为直二面角，则异面直线 与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】设菱形的边长为1，由，可得和均为边长为1的等边三角形. 取中点，连接、，由等边三角形性质得，，故为二面角的平面角， 由题意，该二面角为直二面角，故，即. 以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设异面直线与所成角为，， 则，即异面直线与所成角的余弦值为. 5．已知正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为，所以， 所以， 设面的法向量为， 可知，即， 当时，解得， 所以面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 6．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 7．如图，圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为，点在上，，点在上，在平面的同侧．记二面角，的大小分别为，若，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设点，分别求出平面和平面的法向量，利用公式求出，再结合题意求出即可. 【详解】因为圆柱的轴截面是正方形，且正方形的对角线长为， 所以，，底面圆， 因为点在上，=，所以， 如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 所以点，，， 设点，其中，，且即为点到平面的距离， 设平面的法向量为，，， 由，得，令，则，所以， 设平面的法向量为，，， 由，得，令，则，所以， 依题意，平面的一个法向量为， 记二面角，的大小分别为，为锐角，为钝角， 因为，所以，， 所以， 所以，， ，所以，， 所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以点到平面的距离为． 8．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）        图1                           图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 二、多选题 9．（多选）如图，圆锥的底面圆心为，高，为底面直径，且，点为底面圆周上异于，的动点，为母线的中点，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的外接球的表面积为定值 B．存在点，使得直线平面 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．若，则平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】以底面圆心为原点，建立空间直角坐标系，设，得，对于A，易得即为三棱锥外接球的球心，故表面积定值，故A正确；对于B，由已知得，可得平面，则，在中，由，可知不可能成立，故B错误；对于C，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，利用直线的方向向量为，求出再计算出取得最大值；对于D，平面的一个法向量为，当时，不妨设点的坐标为，求得平面的法向量，再求得平面与平面夹角的余弦值即可. 【详解】以底面圆心为坐标原点， 以直线､底面内垂直于的直线､直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设且，由为的中点，得. 对于A，易知， 即点到三棱锥的四个顶点的距离相等， 故点即为三棱锥外接球的球心，外接球半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积，为定值，故A正确； 对于B，若直线平面，则，易知， 所以平面，则，在中， 由，可知不可能成立， 所以不存在点，使得直线平面，故B错误； 对于C，易知平面的一个法向量为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当，即或时，对应点的坐标为，符合题意， 此时取得最大值，故C正确； 对于D，平面的一个法向量为， 当时，不妨设点的坐标为， 则，； 设平面的法向量为， 则，令，得， 即平面的一个法向量为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为，故D正确. 10．（多选）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，O，P分别是，的中点，M是棱上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．存在点M，使得平面 C．存在点M，使得直线与所成的角为 D．点M到平面与平面的距离和为定值 【答案】BD 【分析】选项A，通过建立空间直角坐标系计算向量与的数量积恒为0，从而证明两直线始终垂直，选项B，利用平面的法向量与向量的数量积为0解出，证明存在满足线面平行的点，选项C，利用向量夹角公式建立关于余弦值的方程，通过判别式小于0得出该方程无实数解，从而判定不存在该点，选项D，借助坐标系直接写出点到两个平面的距离表达式，相加后即可证明距离和为定值. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为，因为，所以， 则有， 由题意得， 因为M是棱上的动点，设， 因为，所以，进而， 对于A，， 则， 即，故A错误， 对于B，，，设平面的法向量为， 则，取，则，即， 若存在点M，使得平面，则且不在平面内， 即，， 即为的中点时，平面，故B正确， 对于C，直线的方向向量为，设直线与所成角为， 则， ， 若，则，即，解得， 代入得，化简为， 该二次函数判别式，方程无实数解， 因此不存在这样的点使得直线与所成的角为，故C错误， 对于D， 平面为平面，平面为平面， 点到平面的距离， 到平面的距离， 则两距离之和为，即为正方形边长定值，故D正确 11．（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．不存在点P，使得 B．的最小值为 C．当时， D．当时，上存在点M，使得，则 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示线段上动点的坐标，将立体几何问题转化为向量坐标运算；对垂直关系选项A、C，通过计算对应向量的点积是否为 0，判断线线垂直是否成立；对选项B向量数量积最值问题，将点积表示为参数的二次函数，利用二次函数对称轴求最小值；对选项D，设出点坐标，代入向量夹角余弦公式列方程，求解并验证选项结论. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，正方体棱长为 1， 则，，，，， 设（），则的坐标为. 选项 A ， ， ， 故，令， 解得，即存在点使得，因此A错误； 选项 B ，， ， 这是开口向上的二次函数，对称轴为， 当时，取得最小值为，因此B正确； 选项 C，当时，， ， 即，故，因此 C正确； 选项 D，设在上，（）， 则，，， 所以， 令，平方化简得，即，因此D错误. 三、填空题 12．已知三棱锥，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角的大小为______． 【答案】或 【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果. 【详解】因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补且， 所以二面角的大小为或. 13．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角的大小为________. 【答案】 【分析】如图建立空间直角坐标系，找到坐标，据此可得答案. 【详解】如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，. 则异面直线与所成的角满足：， 又，则. 14．在四棱锥中，底面为正方形，平面，，N为的中点，在棱上（包括端点）存在点M，使，则____. 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，根据向量垂直的数量积公式计算即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， ，则， ， 设，则，， ， ，，， . 15．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为__________． 【答案】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间两点的距离公式确定截面的形状，可求出周长. 【详解】如图， 将正四面体放入正方体中，因为正四面体的棱长为，所以对应正方体的棱长为4. 以为原点建立如图空间直角坐标系，则，，，. 设动点， 由题意得，， 整理得，. 取，，，分别为棱，，，的中点，则四边形即为动点构成的平面截正四面体所得的截面图形. 因为四边形为菱形，且， 所以所得截面多边形的周长为. 四、解答题 16．如图，三棱锥中，，点是的中点，平面，底面是边长为的等边三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，点是的中点，所以， 又因为平面 ，且平面 ，所以， 因为是边长为的等边三角形，是的中点，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2) 【分析】（1）证垂直平面内两条相交直线，可得出平面，从而得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，用向量夹角公式求线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，， 由勾股定理可得，同理可得， 可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则， 令，得， 设与平面所成的角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M为PB的中点． (1)求证：； (2)若，，，且AM与平面PBC所成角为； ①当时，求三棱锥的体积； ②当BC取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：在平面内作于， 因为平面，且平面，因此； 因为平面平面，且平面平面，平面， 因为，故平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，故平面； 又因为平面，因此． (2)①②． 【分析】（1）根据题干所给线面垂直和面面垂直，利用线面垂直与面面垂直的性质，得到两条直线垂直，通过证明线面垂直，得到异面直线垂直； （2）①由已知线面垂直可得三棱锥的高为，通过作出AM与平面PBC所成角为计算三角形的面积，代入体积公式即可； ②由①中的结论构造三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系，根据向量计算二面角的平面角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，，为等腰直角三角形， 因此， 又因为，平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以． 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以． 所以三棱锥体积为． ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 故，直线的方向向量． 设平面的法向量，故， 即解得， 令，则，所以． 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以，即的最大值为． 此时． 设平面的法向量，则， 即，解得， 令，则，所以． 平面的一个法向量． 设二面角为，则， 所以． 18．如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，是棱的中点，． (1)求证：平面平面． (2)若，点P满足． ①求直线与平面所成角的正切值； ②求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，，． 因为为的中点，为的中点，所以． 在三棱柱中，， 所以四边形是菱形，所以，所以． 因为，，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 因为是等边三角形，为的中点，所以． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． (2)①；②． 【分析】（1）取的中点，连接，，，利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直； （2）①通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求得线面夹角的正弦值，再根据三角函数的同角关系，即可求得线面角的正切值； ②通过建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，根据二面角的向量表示，即可求得二面角的余弦值． 【详解】（1）略 （2）①连接，．因为，，所以是等边三角形． 又因为为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，所以，． 又由（1）知，所以，，两两互相垂直． 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 设．因为，即，所以． 因为，，所以． 易得平面的一个法向量为． 所以． 设直线与平面所成的角为，则， 则，所以． 所以直线与平面所成角的正切值为． ②因为，，，所以，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设二面角的平面角为， 由图可知，为锐角，则， 所以二面角的余弦值为． 19．如图，已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，侧面底面，，，分别是，的中点，点在棱上，且． (1)求证：平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为在四棱锥中，，是的中点，所以． 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面． 以为坐标原点，垂直于的直线为轴，直线，分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为底面是边长为4的正方形，，，分别是，的中点， ，所以，，， 则点，，，，， 所以点，则， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，，所以， 所以即， 又平面，所以平面． (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线面平行； （2）由空间向量法求线面角即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，，所以， 所以，则， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 20．定义：若四面体的三组对棱分别互相垂直，则称该四面体为对垂四面体.如图，在中，为边上的高，，，．将沿折起，得到四面体（点对应点），且满足． (1)求证：四面体为对垂四面体； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设点在棱上，点在棱上，且满足（），记平面与平面所成的锐二面角为，求的最大值及此时的值． 【答案】(1)由折叠的不变性，折叠前，故折叠后有， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，且平面，得平面， 又平面，所以． 又平面，所以平面， 又平面，所以． 综上，三组对棱两两垂直，故四面体为对垂四面体． (2) (3)时，取得最大值 【分析】（1）利用折叠不变性与线面垂直判定定理，证明三组对棱两两垂直，满足对垂四面体定义完成证明； （2）以D为原点建空间直角坐标系，求出平面法向量，套用线面角向量公式计算正弦值； （3）根据比例参数λ写出P、Q坐标，求两平面法向量得到锐二面角余弦表达式，再用基本不等式求最大值与对应λ． 【详解】（1）略 （2）由（1）知两两互相垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由，得，由，得， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，故， 平面的一个法向量为， 锐二面角满足， 分子分母同除以，得， 由基本不等式，得，当且仅当，即时取等号， 因此，，即时，取得最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $