三角形的面积 教学设计-2026-2027学年五年级上册数学西南大学版

看得见的转化，摸得着的 ——“三角形的面积”教学案例 眉山师范学校附属小学 陈琳 李艳 【案例背景】 本课以眉山“东坡宴”为真实情境，借制作宣传彩旗引入，培育学生应用意识。探究中，学生通过拼组、剪拼、折叠法推导公式，理解“÷2”几何意义，发展逻辑推理与空间观念，渗透数学文化。练习融入彩旗、钥匙扣、倾斜生命线、东坡伞、地毯寻位等任务来体会数学建模。培养学生推理意识、模型意识、应用意识和空间观念与几何观的核心素养，整体设计实现理性逻辑与文化情感自然统一，让数学真的可以看得见、摸得着！ 【教学内容】 西师版《义务教育教科书•数学》五年级上册第82页。 【教学目标】 1. 知识与技能：通过动手操作、观察比较，经历三角形面积公式的探索过程，理解并掌握三角形面积的计算公式，并能正确计算三角形面积。 2.过程与方法：通过“剪、拼、折”探究活动，培养学生发散思维与探索精神，发展个性及创新意识，提升空间观念与逻辑推理能力，渗透“转化”数学思想。 3. 情感态度与价值观：在“东坡宴”的真实文化情境中，感受数学与生活的紧密联系，体验探究成功的乐趣，培养合作精神与文化认同感。 【教学重点】 理解并掌握三角形面积计算公式，能用所学的面积计算公式解决生活中简单的实际问题。 【教学难点】 推导面积计算公式。 【教学准备】 课件、学习单、学习袋（不同形状、大小相等的三角形纸片、大小不相等的三角形纸片、剪刀等）。 【教学过程】 一、情景引入，揭示课题。 师：同学们，我们眉山的“东坡宴”开业了！开业期间，印着“东坡宴”的不同大小的彩旗飘扬着，好不热闹！看，彩旗都是什么形状？ 生：三角形。 师：老板想知道这面彩旗的大小，也就是求三角形的什么？ 生：面积。 师：那你会计算它的面积吗？ 生：预设1：不会。 预设2：会。三角形面积=底×高÷2 师：那你知道为什么是底×高÷2呢? 生：不知道。 师：这节课我们就一起来探究《三角形的面积》（板书课题）。 【评析】以眉山“东坡宴”宣传彩旗引入，显数学源于生活，借“知计算不知原理”激探究欲，为培养核心素养铺垫。 二、探究新知，掌握公式。 1、师：我们探究平行四边形面积时，是把平行四边形转化成我们学过的长方形，来推导出平行四边形的面积。那探究三角形面积时，可不可以通过拼、剪、折的方法来将三角形的面积转化为我们学过的图形呢？ 2、小组合作，探究新知。 师：请同学们小组合作，通过“拼、剪、折”等方法来研究三角形面积的计算，并记录在学习单上。请同学们拿出准备好的学习工具袋。 学 习 单 （1）我选择了 三角形。 （2）我的方法： 。 （3）我发现: 。 （4）三角形的面积公式： 。 3、 （1）拼组法。 师:哪个小组上来展示你们组的研究成果？ ①小组1：（课件展示。） 生1：用两个完全相同的锐角三角形可拼成一个平行四边形。平行四边形的底是三角形的底，平行四边形的高是三角形的高，平行四边形的面积=底×高。由于平行四边形的面积是它等底等高的三角形面积的2倍，所以推导出：三角形的面积=底×高÷2。（板书） 生2：两个完全相同的不等边的直角三角形可拼成一个长方形。长方形的长是三角形的底，长方形的宽是三角形的高，长方形的面积=长×宽。由于长方形的面积是它等底等高的三角形面积的2倍，所以推导出：三角形的面积=底×高÷2。 生3：两个完全相同的钝角三角形可拼成一个平行四边形。最后推导出：三角形的面积=底×高÷2。 生4：两个完全相同的等腰直角三角形可拼成一个正方形。正方形的边长是三角形的底（也是三角形的高）。由于正方形的面积是它等底等高的三角形面积的2倍，所以由正方形的面积公式推导出：三角形的面积=底×高÷2。 师：对于1小组同学展示的推导过程，大家有什么疑问吗？ 生1：为什么要用两个完全相同的三角形拼？如果不用两个完全相同的三角形拼行吗？ 生2：哪些组也选了两个完全相同的锐角三角形来拼？和他们结论相同吗？ 师：看来，我们用两个完全相同的三角形，都能拼成我们学过的图形，由此推导出：三角形的面积=底×高÷2。 【评析】小组1拼组法汇报，借学具化抽象为具象，深化直观想象，分析底、高面积关联，练逻辑推理，“操作+展示+表达”让素养落地，也为其他小组提供了可借鉴的思维范式。 （2）剪拼法。 师：还有不同方法推导吗？ ②小组2：（课件展示：动态的锐角三角形展示图。） 生1：取一个锐角三角形任意两边中点连线剪开，得等高的小三角形和梯形；将小三角形绕中点旋转180度，与梯形拼出平行四边形。此平行四边形底等于原三角形底，高是原三角形高的一半，由平行四边形面积公式，推导出：三角形面积=底×高÷2。 生2：取1个钝角三角形的剪拼方法与一个锐角三角形剪拼方法相同，推导出：三角形的面积=底×高÷2。 生3：取一个不等边直角三角形，连斜边中点与直角边中点并剪开，得等高小三角形和梯形；将小三角形旋转180度拼成长方形，其长为原三角形底，宽为原三角形高的一半，由长方形面积公式推导出：三角形面积=底×高÷2。 生4：取一个等腰直角三角形，从斜边上中点到对应直角三角形的顶点，连起来，沿这条线段剪开，再把小三角形绕其中一个中点旋转180度，拼成一个正方形。正方形的面积=边长×边长。而新正方形的边长是原三角形的底的一半（也是原三角形一半的高）。推导出：三角形的面积=底×高÷2。 生5：取一个不等边直角三角形，连两条直角边中点并剪开，得等高小三角形与梯形；将小三角形绕其中一个中点旋转180度，拼成平行四边形，其底与原三角形底相等，高为原三角形高的一半，就由平行四边形面积公式推导出：三角形面积=底×高÷2。 师：对于他们的推导过程，大家还有什么疑问吗？ 生1：那1个等边三角形也能剪拼吗?能拼成什么形？ 生2：刚刚我用不同方式的剪拼，把它转化为平行四边形或长方形，也推导出：三角形面积=底×高÷2。 师：看来，我们用任意一个三角形来剪拼，都能拼成我们学过的图形，由此推导出：三角形的面积=底×高÷2。 【评析】学生通过剪拼推导公式，既锻炼动手实践能力，又在分析图形关系时深化逻辑推理与直观想象素养。课件展示动态演示拆解步骤，让抽象转化过程更具象。 （3） 折叠法。 师：你还有不同方法推导吗？ ③小组3：（课件展示：锐角三角形展示图。） 生1：我们先找到一个锐角三角形纸片，将三角形纸片沿一条高对折，使顶点落在底边上，压出折痕后展开。将顶角的两条边分别向内折叠，使顶角的两个顶点都对齐到刚才高在底边上的落点。此时，三角形被折叠成一个长方形（或两个并列的小长方形）。因为长方形面积= 长 × 宽，所以折叠出的新长方形，其长等于原三角形的底的一半，其宽等于原三角形的高的一半。由此推导出:三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。 师：你们还有疑问吗？ 生：除了锐角三角形，其他形状的三角形也能用折叠的方式推导出三角形面积吗？ 师：由于时间的关系，请孩子利用课余时间，用折叠的方法在其它不同形状的三角形中去依次验证，最后再告诉我三角形面积的推导结果。 【评析】折叠法将一个锐角三角形转化成长方形，强直观想象、练推理，以学生为主具象转化思想，放手课余尝试，发展思维、悟数学美。 （4）归纳优化 师：这些方法真是与众不同，像这样用两个完全相同的三角形来拼的方法称为拼组法；把一个三角形先剪后拼的方法称为剪拼法；把一个三角形沿着一条线进行对折称为折叠法。（板书：拼组法、剪拼法、折叠法）得到: 生：三角形面积=底×高÷2。 师：如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，三角形的面积公式怎么写呢？ 生：用字母表示： s=ah÷2 （板书） 【评析】该环节分类命名探究方法，助学生建方法体系，归纳公式时从文字到字母，深化数学抽象素养。 （4） 感受数学文化。 （PPT出示《九章算术》内容）先秦人已会算三角形面积，方法载于《九章算术》，此书非一人一时完成，是实用算法积累，缺原理论证；魏晋刘徽为其作注，明根源、创新“割圆术”，推数学向理论化，二者成“术”“理”交融里程碑。 师：看完有何感受？请分享。 师：愿大家以古数学家为榜样，探数学奥秘，传智慧、创未来！ 【评析】借《九章算术》与刘徽注，串联古今数学，厚植数学文化素养，深化“公式需论证”认知。寄语激发探索精神，让素养从知识延伸至精神层面。 3、 应用方法，巩固提升。 师：“东坡宴”设计了闯关游戏，闯关成功获得相对应的银票，可兑换奖品。 第一关：“彩旗面积”挑战（银票:50两） 1、印有“东坡宴”的三角形彩旗的底是5.82dm，高是4.5dm。求三角形彩旗的面积。 学生独立完成，集体汇报交流。 生：5.82×4.5÷2 =26.19÷2 =13.095（平方分米） 答：三角形的彩旗的面积是13.095平方分米。 【评析】 练习呼应课前情境，用新知解决“东坡宴”彩旗面积，闭环“从生活中来，到生活中去”，强化数学应用价值。 第二关：“钥匙扣面积”挑战（银票:100两） （2） 在眉山东坡宴里，如果你累计挣得800两银钱，就可以兑换三角形钥匙扣。你能算出这块三角形钥匙扣的面积？ 学生独立完成，集体汇报交流。 生1：8×6.65÷2=26.6（平方厘米） 生2: 9.5×5.6÷2=26.6（平方厘米） 答：这块三角形钥匙扣的面积是26.6平方厘米。 师：同学们，你们觉得我们在解决这道题中，我们需注意什么? 生1：我们注意：找准三角形中对应的“底”和对应的“高”。 生2：我发现：列的算式不同，但面积相等。 【评析】问题紧扣“东坡宴”，将钥匙扣抽象为三角形模型，调用数学建模素养。解题时提取对应的底和高，代入公式计算，既锻炼运算能力，又强化应用意识，让素养落地显数学实用。 第三关：“智慧关卡”守护（银票：200两） 师：“东坡宴”里的“学士”大人说：“昔年苏东坡先生曾以智解困、以谋救人。今日，诸位也需效先贤之智，解一道‘救援之题’”： 地震之后，一堵危墙与地面斜靠，形成了一条三角形的救援通道，人称“倾斜生命线”。已知：通道横截面是一个三角形，其总面积为 4.8 平方米，底边（贴地）长 4 米。 （1）此通道入口处的垂直高度（即三角形的高）为多少米？ （2）一位身高 1.7 米的救援队员，能否不弯腰直接通过？请陈述你的理由。 师：学生独立完成，集体汇报交流。 生1：（1）求三角形的高，把已知三角形面积4.8×2转化成平行四边形面积，再除以底=三角形的高。 列式： 4.8×2÷4 =9.6÷4 =2.4（米） 答：此通道入口处的垂直高度（即三角形的高）为2.4米。 生2：（2）由于我们已算出通道入口垂直高度是2.4米，2.4米＞1.7米，所以救援队员能安全通过。 【评析】该关卡以救援为背景，第（1）题逆用公式求高，锻炼逻辑推理与运算能力；第（2）题结合身高判断，强化应用意识。让学生深刻体会到数学是保障安全、规划生活的有力工具。 第四关：“东坡伞”之美（银票：300两） 一把东坡伞的伞面由24块相同的三角形布拼成，每块三角形布的底是16厘米，高是49厘米。这把东坡伞至少用布多少平方分米？ 师：学生独立完成，集体汇报交流。 生: ① 16×49÷2 =784÷2 =392（平方厘米） ②392平方厘米=3.92平方分米 答：这把东坡伞至少用布3.92平方分米。 师：你做这道题时需要注意什么？ 生1：注意单位换算。 生2：不要漏算24块。 【评析】借东坡伞文化，练习每块布面积再乘24并换算单位，锻炼运算能力，强化应用意识，让核心素养在生活化数学任务中落地。 第三关：“地毯寻位”挑战。（银票：350两） 在东坡宴的雅间内，地面铺着一张面积48平方米的平行四边形地毯。闯关者需精准站到标记为“△ABE”的区域内方可通关，其中E是地毯底边BC的中点。求△ABE的面积。A E C B D 师：学生独立完成，集体汇报交流。 生：因为三角形的底边长是平行四边形的底边长一半，两者的高相等。所以三角形ABE的面积：48÷4=12（平方米） 答：△ABE的面积是12平方米。 【评析】“地毯寻位”以算促用，巩固面积公式练运算能力，观形状辨方位强空间观念，趣味任务激应用意识，紧扣小学核心素养，学用结合。 四、反思总结，课后延伸。 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 师：这节课我们通过剪、拼、折的方法，推导出“三角形的面积=底×高÷2”，更重要的是学会了“转化”这把解题钥匙。希望未来你们能带着它，去探索更多图形面积的秘密！ 【教学反思】 本次教学以“东坡宴”为情境，将生活场景与数学学习结合，有效激活学生兴趣。课堂上，通过引导学生动手拼、剪、折，自主探究三角形面积推导过程，同时融入《九章算术》等数学文化，不仅锻炼了学生的动手能力与逻辑思维，更在知识传授中落实了数学抽象、应用意识等核心素养，达成了“学思结合、知行统一”的教学目标。 【板书设计】 三角形的面积 ①拼组法： ②剪拼法： ③折叠法： 三角形面积=底×高÷2 用字母表示：s = a h÷2 学科网（北京）股份有限公司 $