专题26.1 二次函数的概念『重点难点同步培优讲义』（导图知识卡片+知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2026-2027学年人教版数学九年级上册
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内容正文：
专题26.1 二次函数的概念『重点难点同步培优讲义』
（知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）
【人教版数学新教材•九年级上册（解析版）】
同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
思维导图 2
知识梳理 2
知识点一 二次函数的概念 2
知识点二 二次函数的一般式 2
题型讲练 3
题型一 列二次函数关系式 3
题型二 二次函数的识别 5
题型三 根据二次函数的定义求参数 10
中考真题演练 13
难度分层训练 18
【基础夯实】 18
【培优拔高】 23
知识点一 二次函数的概念
二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解读】
1）二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2；
③二次项系数不能为0.
2）自变量x的取值范围是全体实数.
3）当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数.
知识点二 二次函数的一般式
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
【解读】1）二次函数的一般形式中，等号右边是关于自变量x的二次三项式.
2）二次函数的3种特殊形式：（1)当b＝0时，
（2)当c＝0时，
（3)当b＝0且c＝0时，
题型一 列二次函数关系式
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的两边长各增加，扩充后的绿地面积为，写出y关于x的函数解析式．
【答案】
【思路引导】根据矩形的面积公式进行求解即可．
【规范解答】解：由题意，得．
【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存．如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式．
【答案】
【思路引导】以第一年的本息和为第二年的本金，计算即可得到函数解析式．
【规范解答】解：一年到期后，本息之和为元，
则两年后的本息之和为元，
即
【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，圆柱的表面积为．
(1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式，并判断这个函数是否为二次函数；
(2)当圆柱的底面直径从增加到时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留）？
【答案】(1)圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式为．这个函数是二次函数
(2)圆柱的表面积增加了
【思路引导】（1）根据圆柱的表面积等于两个底面积与圆柱侧面积之和可列出关系式，再根据二次函数的定义判断即可；
（2）分别求出时和时的函数值，即可解答．
【规范解答】（1）解：∵圆柱的底面积为，侧面积为，
∴圆柱的表面积为，
即圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式为，它是二次函数．
（2）解：当时，，
当时，，
∴表面积增加了，
答：圆柱的表面积增加了．
【变式训练3】某商场销售一种小商品，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设每件涨了x元，每天的销售量为y件，销售利润为w元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若每件小商品的利润不超过3元，则每件小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)单价定为8元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元
【思路引导】（1）根据题意，列出关系式即可；
（2）根据题意列出关于利润的关系式，然后根据二次函数的图象和性质进行求解．
【规范解答】（1）解：根据题意得，；
（2）解：根据题意得，
，
∵，
∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵每件小商品的利润不超过3元，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，
此时，
∴单价为（元），
答：单价定为8元时，每天获得的利润最大，最大利润是240元．
题型二 二次函数的识别
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是．
(1)分别写出S与x，V与x之间的关系式；
(2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？
【答案】(1)
(2)S和V都是关于x的二次函数
【思路引导】（1）直接利用长方体的表面积和体积公式分别求解即可；
（2）利用二次函数的定义得出答案．
【规范解答】（1）解：由题意，得
，
；
（2）解：根据二次函数的定义，可知
是S关于x的二次函数，
是V关于x的二次函数，
即S和V都是关于x的二次函数．
【变式训练1】（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【思路引导】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可．
【规范解答】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；
② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；
③∵利润（售价进价）销售量，
∴，
符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③．
【变式训练2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．
(1)线段与有什么数量关系？ ．
①当点M坐标时，点P的坐标是 ；
②当点M坐标时，点P的坐标是 ．
(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ．
(3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？
【答案】(1)；①②
(2)
解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3，
(3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样
【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案；
①根据题意画出对应的图形即可得到答案；
②根据题意画出对应的图形即可得到答案；
（2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案；
（3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论．
【规范解答】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上，
∴，
故答案为：；
①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是；
故答案为：；
②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是，
∴，
∴，
即点P的坐标是，
故答案为：；
（2）略
（3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下：
∵点P的坐标是，轴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴得出的结论与猜想一致．
【变式训练3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这个函数是二次函数吗？为什么？
(3)求自变量的取值范围．
【答案】(1)
(2)是二次函数；理由：
∵一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数，
∴是二次函数；
(3)
【思路引导】本题考查的是二次函数的应用，以及二次函数的定义，熟知一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式；
（2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断；
（3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围．
【规范解答】（1）解：∵矩形的长为，宽为，
∴矩形的面积．
∵矩形的长与宽都增加，
∴增加后矩形的面积，
∴，即，
故y与x之间的函数关系式为．
（2）略
（3）解：∵x为矩形增加的长与宽，
∴自变量x的取值范围为．
题型三 根据二次函数的定义求参数
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）．
(1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？
(2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？
(3)该函数可能是正比例函数吗？
【答案】(1)
(2)
(3)该函数不可能是正比例函数
【思路引导】（1）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围即可；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出m的值即可；
（3）根据正比例函数的定义进行求解即可．
【规范解答】（1）解：∵函数是二次函数，
∴，
解得，
故当时，该函数是二次函数．
（2）解：∵函数是一次函数，
∴且，
解得，
故当时，该函数是一次函数．
（3）解：该函数的常数项是，不可能为0，
∴该函数不可能是正比例函数．
【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为
（1）当__________时，，之间是二次函数关系．
（2）当__________时，，之间是一次函数关系．
【答案】 ，
【思路引导】根据二次函数与一次函数的定义，分别对二次项系数和一次项系数列条件不等式求解，即可得到和的取值．
【规范解答】解：（1）根据二次函数的定义，二次函数的二次项系数不为，
因此 ，
解得．
（2）根据一次函数的定义，一次函数的二次项系数为且一次项系数不为，
因此 ，
解得且．
【变式训练2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）已知：抛物线．
(1)若，求的值；
(2)求证：抛物线与轴总有两个交点；
(3)若点，点是该抛物线上两点，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为5，求的值．
【答案】(1)-7
(2)
对于抛物线，其一般形式为（这里，为一次项系数，为常数项），根据判别式公式，可得：
因为，
所以，即．
所以抛物线与轴总有两个交点．
(3)或3
【思路引导】本题考查了二次函数的求值、与轴交点的判别以及在区间内的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，分情况讨论区间与对称轴的位置关系来确定最值．
（1）将，直接代入抛物线方程，按照运算顺序计算即可求出的值．
（2）通过计算抛物线的判别式，将其变形为完全平方式加正数的形式，利用完全平方式的非负性证明，从而得出抛物线与轴总有两个交点．
（3）首先利用抛物线的对称性求得对称轴为直线，进而求得，即可求得抛物线为，然后分4种情况，当时，即，，解得，当时，，解得，当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，不符合题意．
【规范解答】（1）当，时，
（2）略
（3）点，点是该抛物线上两点，
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
，
，
，
当时，，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：，
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：，
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：，但，所以这两个解都不符合要求，舍去．；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：(舍去)或(舍去)；
综上所述：或．
【变式训练3】下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)是二次函数，
(2)是二次函数，
(3)不是二次函数
【思路引导】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，一般形式，是解题的关键．形如（a、b、c是常数，）的函数，称为二次函数．
（1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数；
（2）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数；
（3）化成一般形式，是一次函数，不是二次函数．
【规范解答】（1）解：∵，
∴是二次函数，．
（2）解：∵，
∴是二次函数，．
（3）解：∵，
∴不是二次函数．
【真题演练1】（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________．
【答案】
【思路引导】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式．
【规范解答】解：如图，连接，
为等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
等边的边长为1，，
，
，
∴，
故答案为：．
【真题演练2】（2025·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】(1)4万元
(2)
(3)当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【思路引导】（1）把代入可得答案；
（2）当时，可得，再解方程可得答案；
（3）设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元， ，而，再利用二次函数的性质可得答案．
【规范解答】（1）解：∵投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，
当时，（万元）；
（2）∵对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，
∴，
整理得：，
解得：，（不符合题意），
∴m的值为8．
（3）
设投入到B项目的资金为万元，则投入到A项目的资金为万元，设总收益为y万元，
∴
，
而，
∴当时，（万元）；
∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．
【考点剖析】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
【真题演练3】（2025·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【思路引导】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分，当时，函数值最小，以及，当时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【规范解答】（1）将代入中，
得，
解得，；
（2）抛物线对称轴为．
若，当时，函数值最小，
，
解得．
，
若，当时，函数值最小，
，
解得（不合题意，舍去）
综上所述．
（3）关于对称轴对称
，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，
此交点关于对称轴的对称点为
且
，解得．
当A，B都在对称轴左边时，
，
解得，
当A，B分别在对称轴两侧时
到对称轴的距离大于A到对称轴的距离
，
解得
综上所述或．
【考点剖析】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
【真题演练4】（2025·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【思路引导】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解．
【规范解答】解：∵是二次函数，
∴ ，
∵ 函数图象与轴有交点，
∴ ，即，解得，
综上，的取值范围是且．
【真题演练5】（2026·辽宁沈阳·中考真题）“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【规范解答】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断．
【思路引导】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大，
当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小，
∵ y等于点M到点C的距离平方，
∴ y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分，
A选项符合题意
【基础夯实】
1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列函数中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引导】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【规范解答】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意；
选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意；
选项C： 中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意；
选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意．
2．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据二次函数定义，二次项系数不为，列不等式求解．
【规范解答】解：∵函数是关于的二次函数，
∴，
解得．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（ ）
A． B．或0 C．1 D．4
【答案】B
【思路引导】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可．
【规范解答】解： 函数是关于的二次函数，
．
且．
4．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若是二次函数，那么的取值范围是______．
【答案】
【思路引导】根据二次函数的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解即可．
【规范解答】解：二次函数的二次项系数不能为0，
，
解得．
5．（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________．
【答案】
【思路引导】因为函数是关于x的二次函数，所以二次项系数需满足不等于0的条件．求解不等式，即可得到m的取值范围．
【规范解答】解：∵ 是关于 的二次函数，
∴，
∴．
6．（2026九年级上·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则m的值为___________．
【答案】
【思路引导】根据二次函数中自变量的最高次项次数为2且二次项系数不能为0来分析即可．
【规范解答】解：∵，计算得，
∴；
又∵，即，
∴．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)二次项系数是，一次项系数是，常数项是
(2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是
(3)二次项系数是，一次项系数是，常数项是
(4)二次项系数是，一次项系数是，常数项是
【规范解答】（1）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是；
（2）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是；
（3）解：二次项系数是，一次项系数是，常数项是；
（4）解：，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
8．（25-26九年级上·浙江·期末）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元．
(1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？
【答案】(1)
(2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元．
【思路引导】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键．
（1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案；
（2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的．
【规范解答】（1）解：由题意得
答∶关于的函数关系式为：．
（2）解：由（1）可得：．
令，即
解得，．
物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元，
定价不能高于（元）．
当时，定价为（元），
，
符合规定；
当时，定价为（元），
，
不符合规定，舍去．
答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元．
9．（26-27九年级上·全国·课后作业）年，我国全年完成造林面积万；年，我国全年完成造林面积比年增长约．
(1)年，我国全年完成造林面积大约是多少（结果精确到1万）?
(2)如果年和年我国全年完成造林面积年均增长率为x，年我国全年完成造林面积为y万，那么y的表达式是什么？
【答案】(1)
万
(2)
【思路引导】（1）年造林面积等于年造林面积加上增长的面积；
（2）年造林面积等于年造林面积乘以．
【规范解答】（1）解：依据题意得：
（万）
万 万
答：2024年，我国全年完成造林面积大约是万；
（2）依题意得：
10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．在x轴上任取一点M，并按以下步骤作图：
(1)①连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线l．
解答如下问题：
(2)对于曲线l上任意一点P，线段与有什么关系？
(3)设点P的坐标是，根据（1）的结论求x，y满足的关系式．你能由此确定曲线l是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含x，y的式子表示线段的长．）
【答案】(1)
(2)
(3)
【思路引导】（1）根据题意画出图象即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质解答即可；
（3）根据，可得，即可．
【规范解答】（1）略
（2）解：∵点P为线段的垂直平分线上的点，
∴；
（3）解：∵点P的坐标是，点A的坐标是，
∴，，
∴，
整理得：．
【培优拔高】
1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据二次函数定义判断即可．
【规范解答】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意；
B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意．
2．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】判断一个函数是不是二次函数，在函数解析式是整式的前提下，如果把解析式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【规范解答】解：A、函数含，它不是整式，故本选项的解析式不是二次函数；
B、函数可化简为，故本选项的解析式不是二次函数；
C、函数是二次函数，本选项符合题意；
D、函数不是二次函数．
3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ）
A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数
B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数
C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
【答案】D
【思路引导】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可．
【规范解答】解：∵的半径为，正方形的边长为，
∴与正方形的周长之和为，
与正方形的面积之积为，
阴影部分的面积为，
∴，，，
∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶ ，为一次函数，选项A不符合题意，
S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意，
若与正方形的面积之积即为定值， y关于x的函数关系为∶ ，为反比例函数，选项C不符合题意
S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意．
4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______．
【答案】
【规范解答】解：由题意，可得 ，
解方程，得，
解得或；
由，得，
故.
5．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）若是关于的二次函数，则_______．
【答案】1
【思路引导】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键．
根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零．
【规范解答】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零．
令，得方程，
因式分解，得 ，
解得，或，
当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义；
当时，二次项系数 ，符合要求．
故答案为：1．
6．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）若二次函数的图象开口向上，则________．
【答案】2
【思路引导】根据二次函数的定义，函数表达式需满足指数为2，且二次项系数大于0以确保开口向上．
本题考查了二次函数的定义和开口方向，熟练掌握定义是解题的关键．
【规范解答】解：∵二次函数 的图象开口向上，
∴ 且，
由 得，
解得 或；
当 时，，满足条件；
当 时，，不符合二次函数定义（二次项系数不能为零），
故．
故答案为：2．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加．
(1)写出y与x之间的关系式；
(2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？
【答案】(1)（）
(2)速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加．
【思路引导】（1）根据增加的动能等于速度增加后的动能减去原来的动能列函数关系式即可；
（2）把，，分别代入（1）中的函数关系式计算即可．
【规范解答】（1）解：设该车行驶速度增加时，它的动能增加，
∴（）．
（2）解：当时，
，
当时，
，
当时，
，
∴速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加；速度增加时，动能增加．
8．（26-27九年级上·全国·单元复习）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
【答案】(1)（且为整数）
(2)增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件
【思路引导】（1）增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， 每天生产总量 = 总台数 × 单台日均产量，根据此关系式列式子即可；
（2）根据二次函数的性质求最大值即可．
【规范解答】（1）解：增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件，
∴（且为整数）；
（2）解：，
当时，有最大值，最大值为3600，
因此增加10台机器时生产总量最大，最大值为3600件．
9．已知二次函数．
(1)求m的值．
(2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？
(3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m的值为2
(2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小
(3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或
【思路引导】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值．
（2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性．
（3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标．
【规范解答】（1）解：根据题意得，且，
解得，
所以的值为 2；
（2）解：∵的值为 2，
∴，
∴二次函数的顶点坐标为，
∵，
∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小；
（3）解：∵，顶点坐标为，
∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度，
平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
设，
则
① 当时，
，解得 或 9，
∴ 点的坐标为或；
②当时，
，解得，
∴点的坐标为；
③ 当时，
，解得或，
∴点的坐标为或．
综上，点的坐标为或或或或．
10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点．
(1)求的值；
(2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围；
(3)若直线与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)当，函数开口向上，时，随的增大而减小；当，函数开口向下，时，随的增大而减小
(3)①；②
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，即可求解；
（2）根据（1）可知，将代入解析式，得到，则二次函数的对称轴为直线，再根据a的正负情况，判断解析式的开口方向，即可求解；
（3）①将和代入解析式，联立函数解析式，根据直线和抛物线有且只有一个交点，则对应的方程有两个相等的实数根，根据，即可求解；②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为，用含的式子将和表示出来，根据，可得，根据二次函数的性质，即可求解．
【规范解答】（1）解：将代入解析式，得，
解得．
（2）解：由（1）可知，则解析式为，
把点代入解析式，得，
化简得，
二次函数的对称轴为直线，
当，函数开口向上，时，随的增大而减小；
当，函数开口向下，时，随的增大而减小．
（3）解：①可知二次函数解析式为，
联立函数解析式，得 ，
∵，
∴，
直线与抛物线有且只有一个交点，
，
解得或（不合题意，舍去）．
②根据题意可知直线解析式为，二次函数解析式为，
当时，，，
则，
，
当时，n有最大值，最大值为．
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专题26.1二次函数的概念『重点难点同步培优讲义』
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2
知识梳理.…
2
知识点一二次函数的概念，，，.
知识点二二次函数的一般式.··
……2
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题型一列二次函数关系式..··
题型二二次函数的识别..
题型三根据二次函数的定义求参数
中考真题演练...
6
难度分层训练.…
⊙
【基础夯实】
………….8
【培优拔高】
……….10
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2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练
恩维导图
人教版九年级上册第26章《二次函数》
第1节二次函数的概念
二次函数，
让世界更有“曲线”之美1。
①定义
2一般形式
3图像与性质（简要）
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0】
二次函数的一般形式：
二次函数的图像是一条抛物线。
的函数，叫做二次函数。
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的
·当a>0时，开口向上；
二次项系数，一次项系数，常数项。
其中
/y■a2+br+e
·当a<0时，开口向下
①a:二次项系数；
(a>0)
幸刷一个变量为x的函数，如果它的解析式是
②b:一次项系数
,顶点坐标：
y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，
③c:常数项。
那么这个函数是二次函数。
④相关概念
二次函数
6知识拓展
二次项ar2(a是二次项系数)
1.由y=ax2+bx+c(a≠0)可知，
小指示
一次项bx(b是一次项系数)
的概念
当：一名时函家得级鱼通小值或最大血
二次函数的解析式
可以是一般式
常数项c(c是常数项)
目
2.二次函数也可以写成顶点式：
(ax2+bx+c),
y=a(x-h)2+k(a≠0)，
也可以是顶点式
⑤几何图形
其中(h,k)是抛物线的顶点坐标
(a(x-h2+k)
如图，长方形的长为30m,宽为xm,
则它的面积y=x(30-x),
A易错点拨
即y=-x2+30x。
30可
①容易把二次函数的系数a误认为可以为0，实际上a≠0。
这是一个二次函数。
②在求二次函数的图像或性质时，常忽略对称轴和顶点的求法。
一30mm
③误认为只有y=ax2的形式才是二次函数，实际形式是y=ar2+bx+c。
(第2题)
生活中处处有二次函数
④在实际问题中，容易忽略自变量的取值范围。
食记住：二次函数的核心是y=ax2+bx+c(a≠0)，
一@心学会用数学的眼光，发现生活中的二次函数！
知识梳理
知识点一二次函数的概念
二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0，其中a,b,c是常数)的函数叫做二次函数.其
中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解读】
1)二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式：②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2；
③二次项系数不能为0.
2)自变量x的取值范围是全体实数.
3)当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数
知识点二二次函数的一般式
二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，其中a,b,c是常数).
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【解读】1)二次函数的一般形式中，等号右边是关于自变量x的二次三项式.
2)二次函数的3种特殊形式：(1)当b=0时，y=ax2+c(a≠0)
(2)当c=0时，y=ax2+bx(a≠0)
(3)当b=0且c=0时，y=ax2(a≠0)
山题型进练
题型一列二次函数关系式
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)如图，矩形绿地的两边长各增加xm,扩充后的绿地面
积为ym2,写出y关于x的函数解析式.
xm
20m
30m
xm
【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)设人民币一年期定期储蓄的年利率是x,一年到期后，
银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存，如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y(单位：元)
关于年利率x的函数解析式.
【变式训练2】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图所示，圆柱的高为10cm,圆柱的底面直径为xcm,
圆柱的表面积为Scm2.
x cm
10cm
(1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式，并判断这个函数是否为二次函数：
(2)当圆柱的底面直径从4cm增加到10cm时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留π）？
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【变式训练3】某商场销售一种小商品，进货价为5元/件.当售价为6元/件时，每天的销售量为100件.在
销售过程中发现：销售单价每上涨0.5元，每天的销售量就减少5件.设每件涨了x元，每天的销售量为y
件，销售利润为w元，
(1)求y与x的函数关系式：
(2)若每件小商品的利润不超过3元，则每件小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大
利润是多少？
题型二二次函数的识别
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)已知长方体的高是6cm,底面是边长为xcm的正方形，
它的表面积是Scm2,体积是Vcm3.
(1)分别写出S与x,V与x之间的关系式：
(2)对于(1)中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？
【变式训练1】(25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试)下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的
是(
①面积为10cm的矩形中，矩形的长y(cm)与宽x(cm)的关系；
②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y(cm2)与圆柱的高x(cm)的关系：
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(200一x)件.利润y(元)与每件售价
x(元)的关系。
A.①
B.②
C.③
D.①③
【变式训练2】(25-26九年级上·广西崇左·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2)，
在x轴上任取一点M.连接AM,作线段AM的垂直平分线L1,过点M作x轴的垂线L2,记L1,L2的交点为P.
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5
3
2A
-5-4-3-2-10
12345x
2
(1)线段PA与PM有什么数量关系？-
①当点M坐标(2,0)时，点P的坐标是_；
②当点M坐标(4,0)时，点P的坐标是_·
(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P,试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来.观察画出的
曲线L,猜想它是我们学过的哪种曲线.一
(3)验证(2)的猜想：对于曲线L上任意一点P,设点P的坐标是(x,y),请根据PA与PM的关系求出x,y
满足的关系式.你得出的结论与先前你的猜想一样吗？
【变式训练3】(25-26九年级上·浙江·课后作业)如图所示，一个矩形的长为4cm,宽为3cm,如果将
这个矩形的长与宽都增加xcm,那么这个矩形的面积增加ycm2
4cm
xcm
3cm
xcm
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)这个函数是二次函数吗？为什么？
(3)求自变量的取值范围。
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题型三根据二次函数的定义求参数
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业)已知函数y=(m-2)x2+mx-3（m为常数)·
(1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？
(2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？
(3)该函数可能是正比例函数吗？
【变式训练1】(26-27九年级上·全国·课后作业)已知两个变量x,y之间的关系式为y=(a-2)x2+(b+
2)x-3.
(1)当
时，x,y之间是二次函数关系.
(2)当
时，x,y之间是一次函数关系，
【变式训练2】（25-26九年级上·云南昆明·期中)己知：抛物线y=x2-bx-(b+2).
(1)若x=2,b=3,求y的值；
(2)求证：抛物线与x轴总有两个交点：
(3)若点A(-2,m),点B(4m)是该抛物线上两点，且当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值与最小值的差
为5，求t的值.
【变式训练3】下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a,b,c的值.
(1)y=3-2x2:
(2)y=x(x-1)+1:
(3)y=2x(1-x)+2x2.
■山中专真题演练
分，，=，==========，，=
【真题演练1】(2024·浙江舟山·中考真题)如图，正三角形ABC的边长为1，D是AC边上的一点，过D
作BC边的垂线，交BC于G,用x表示线段BG的长度，显然线段Rt△CGD的面积y是线段长度x的函数，这个
函数的表达式是
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【真题演练2】(2025·湖南益阳·中考真题)某企业准备对A,B两个生产性项目进行投资，根据其生产
成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益y4(万元)与投入资金x(万元)的函数表
达式为：yA=x,投资8项目一年后的收益y(万元)与投入资金《万元)的函数表达式为：y归=-x2+2x
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A,B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共
计32万元，全部投入到A,B两个项目中，当A,B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和
最大？最大值是多少万元？
【真题演练3】(2025·浙江嘉兴·中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，
(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：
(3)如果A(m-2,a,B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3,求m的取值范围.
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【真题演练4】(2025·山东济宁·中考真题)已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k
的取值范围是(
Ak>子
B.k>-且k≠0
C.k2子
D.k≥-组k≠0
【真题演练5】(2026·辽宁沈阳·中考真题)“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将
直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿A→B→C路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处
停止.已知∠A=30°，∠C=90°，记点M到点C的距离平方为y,运动时间为x,则能准确反映y与x之
间函数关系的图象为(
昌山难度分层训练
【基础夯实】
1.(26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测)下列函数中，一定为二次函数的是(
A.y=2x+1
B.y=2(x+1)(x-4)
C.y=ax2+bx+c
D.y-x+
2.(26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测)如果函数y=(m-2)x2-1是关于x的二次函数，那么m的取
值范围是(
)
A.m≠0
B.m<2
C.m≠2
D.m>2
3.(26-27九年级上·全国·课后作业)若函数y=a(a+1)x2+1是关于x的二次函数，则a的值不可能
是(
A.-2
B.-1或0
C.1
D.4
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4.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测)若y=(m+4)x2+3x是二次函数，那么m的取值范围是
5.(2026九年级上·全国·专题练习)若y=(m2-4④x2+3x-1是关于x的二次函数，则m的取值
范围是
6.(2026九年级上·全国·专题练习)若y=(m-2)xm2-2+3x-1是关于x的二次函数，则m的值为
7.(26-27九年级上·全国·课后作业)写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)y=8x2-16x+8:
(2)y=x2;
3)y=-x2+5x:
(4)y=2x-1)2-5.
8.(25-26九年级上·浙江·期末)某旅游景区一宾馆重新装修后，有50间房可供游客居住.经市场调查
发现，每间房每天的定价为160元，房间会全部住满：当每间房每天的定价每增加10元时，就会有一间房
空闲.如果游客居住房间，每间房每天需支出60元的各项费用，设每天每间房的定价在160元的基础上增
加x元，宾馆获利为y元.
(1)求y关于x的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(②)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可
获利8000元？
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2026-2027学年人教版数学九年级上册同步精编培优讲练
9.(26-27九年级上·全国·课后作业)2023年，我国全年完成造林面积400万m2;2024年，我国全
年完成造林面积比2023年增长约11.3%.
(1)2024年，我国全年完成造林面积大约是多少（结果精确到1万hm2)?
(2)如果2025年和2026年我国全年完成造林面积年均增长率为x,2026年我国全年完成造林面积为y万
hm2,那么y的表达式是什么？
10.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2).在x轴上任取
一点M,并按以下步骤作图：
(1)①连接AM,作线段AM的垂直平分线L1,过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P,再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线1.
解答如下问题：
(2)对于曲线1上任意一点P,线段PA与PM有什么关系？
(3)设点P的坐标是(x,y),根据(1)的结论求x,y满足的关系式.你能由此确定曲线1是哪种曲线吗？（提
示：根据勾股定理，用含x,y的式子表示线段PA的长.)
【培优拔高】
1.(2026九年级上·全国·专题练习)下列函数中，是二次函数的是(
)
A.y=2x+1
By=专
C.y=x2-2
D.y=(x-1)2-x2
2.(2026九年级上·全国·专题练习)下列函数中，是二次函数的是(
A.y=x2+月
B.y=x+1)2-x2C.y=2x2-3x+1
D.y=3x-2
3.(2026甘肃兰州·一模)如图，⊙O的半径为xcm,正方形ABCD的边长为ycm,阴影部分的面积为Scm2.下
列说法中，不正确的是()
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xcm
B
ycm
A.若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则y关于x的函数关系为一次函数
B.若⊙O与正方形ABCD的周长之和为定值，则S关于x的函数关系为二次函数
C.若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则y关于x的函数关系为反比例函数
D.若⊙O与正方形ABCD的面积之积为定值，则S关于x的函数关系为反比例函数
4.(25-26八年级下·黑龙江大庆·期末)如果函数y=(k-3)x27+4x+1是关于x的二次函数，则
k=一一一·
5.(2026九年级上江苏泰州专题练习)若y=(m-4xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数，则m=
6.(25-26九年级上·湖南长沙·期中)若二次函数y=(m+2)xm2-2的图象开口向上，则m=
7.(26-27九年级上·全国·课后作业)物体的动能E(单位：J)与它的质量m(单位：kg)、运动速度
v(单位：m/s)之间的关系可以用公式E=mv2表示.一辆小轿车的质量为1500kg,行驶速度为10m/s.设
该车行驶速度增加xm/s时，它的动能增加y.
(1)写出y与x之间的关系式：
(2)当该车行驶速度分别增加5m/s,10m/s,20m/s时，它的动能各增加多少？
8.(26-27九年级上·全国·单元复习)某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准
备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均
每天将少生产4件产品，
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式：
(②)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
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9.已知二次函数y=(m+2)xm2-2+m+3.
(1)求m的值.
(2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？
(3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的
顶点坐标.在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形
是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
10.(25-26九年级上山东临沂期末)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)经过(0，-c+2)
和(c,-a+1)两点.
(1)求c的值：
(2)求当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围：
(3)若直线y1=2a2x-a2-a+1与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点.
①求a的值：
②若点(x2,y2)在直线y1=2a2x-a2-a+1上，点(x2+m,y2+n)在抛物线y=ax2+bx+c上.当x2=
m-1时，直接写出n的最大值.
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专题26.1 二次函数的概念『重点难点同步培优讲义』
（知识梳理+3个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）
【人教版数学新教材•九年级上册（原卷版）】
同学你好，本套讲义针对2026年人教版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！
思维导图 2
知识梳理 2
知识点一 二次函数的概念 2
知识点二 二次函数的一般式 2
题型讲练 3
题型一 列二次函数关系式 3
题型二 二次函数的识别 4
题型三 根据二次函数的定义求参数 6
中考真题演练 6
难度分层训练 8
【基础夯实】 8
【培优拔高】 10
知识点一 二次函数的概念
二次函数的定义：一般地，形如(a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解读】
1）二次函数必须满足以下三个条件：①解析式是整式；②只含有一个自变量，自变量的最高次数是2；
③二次项系数不能为0.
2）自变量x的取值范围是全体实数.
3）当二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是二次函数.
知识点二 二次函数的一般式
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
【解读】1）二次函数的一般形式中，等号右边是关于自变量x的二次三项式.
2）二次函数的3种特殊形式：（1)当b＝0时，
（2)当c＝0时，
（3)当b＝0且c＝0时，
题型一 列二次函数关系式
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形绿地的两边长各增加，扩充后的绿地面积为，写出y关于x的函数解析式．
【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）设人民币一年期定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年期定期储蓄转存．如果本金是30000元，写出两年后的本息之和y（单位：元）关于年利率x的函数解析式．
【变式训练2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，圆柱的表面积为．
(1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的关系式，并判断这个函数是否为二次函数；
(2)当圆柱的底面直径从增加到时，圆柱的表面积增加了多少（结果保留）？
【变式训练3】某商场销售一种小商品，进货价为5元/件．当售价为6元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨元，每天的销售量就减少5件．设每件涨了x元，每天的销售量为y件，销售利润为w元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若每件小商品的利润不超过3元，则每件小商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
题型二 二次函数的识别
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知长方体的高是，底面是边长为的正方形，它的表面积是，体积是．
(1)分别写出S与x，V与x之间的关系式；
(2)对于（1）中的两个函数，S和V分别是关于x的二次函数吗？
【变式训练1】（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【变式训练2】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．
(1)线段与有什么数量关系？ ．
①当点M坐标时，点P的坐标是 ；
②当点M坐标时，点P的坐标是 ．
(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ．
(3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？
【变式训练3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)这个函数是二次函数吗？为什么？
(3)求自变量的取值范围．
题型三 根据二次函数的定义求参数
【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知函数（m为常数）．
(1)当m满足什么条件时，该函数是二次函数？
(2)当m满足什么条件时，该函数是一次函数？
(3)该函数可能是正比例函数吗？
【变式训练1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知两个变量，之间的关系式为
（1）当__________时，，之间是二次函数关系．
（2）当__________时，，之间是一次函数关系．
【变式训练2】（25-26九年级上·云南昆明·期中）已知：抛物线．
(1)若，求的值；
(2)求证：抛物线与轴总有两个交点；
(3)若点，点是该抛物线上两点，且当时，二次函数的最大值与最小值的差为5，求的值．
【变式训练3】下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【真题演练1】（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________．
【真题演练2】（2025·湖南益阳·中考真题）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：，投资B项目一年后的收益（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：．
(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对A，B两个项目投入相同的资金m（）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？
(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【真题演练3】（2025·浙江嘉兴·中考真题）在二次函数中，
(1)若它的图象过点，则t的值为多少？
(2)当时，y的最小值为，求出t的值：
(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．
【真题演练4】（2025·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【真题演练5】（2026·辽宁沈阳·中考真题）“深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（ ）
A． B． C． D．
【基础夯实】
1．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）下列函数中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27九年级上·重庆渝北·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（ ）
A． B．或0 C．1 D．4
4．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）若是二次函数，那么的取值范围是______．
5．（2026九年级上·全国·专题练习）若 是关于 的二次函数，则 的取值范围是___________．
6．（2026九年级上·全国·专题练习）若是关于x的二次函数，则m的值为___________．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)； (2)；
(3) ； (4)．
8．（25-26九年级上·浙江·期末）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元．
(1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？
9．（26-27九年级上·全国·课后作业）年，我国全年完成造林面积万；年，我国全年完成造林面积比年增长约．
(1)年，我国全年完成造林面积大约是多少（结果精确到1万）?
(2)如果年和年我国全年完成造林面积年均增长率为x，年我国全年完成造林面积为y万，那么y的表达式是什么？
10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是．在x轴上任取一点M，并按以下步骤作图：
(1)①连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记为曲线l．
解答如下问题：
(2)对于曲线l上任意一点P，线段与有什么关系？
(3)设点P的坐标是，根据（1）的结论求x，y满足的关系式．你能由此确定曲线l是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含x，y的式子表示线段的长．）
【培优拔高】
1．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026九年级上·全国·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（ ）
A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数
B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数
C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数
4．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______．
5．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）若是关于的二次函数，则_______．
6．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）若二次函数的图象开口向上，则________．
7．（26-27九年级上·全国·课后作业）物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：）、运动速度v（单位：）之间的关系可以用公式表示．一辆小轿车的质量为，行驶速度为．设该车行驶速度增加时，它的动能增加．
(1)写出y与x之间的关系式；
(2)当该车行驶速度分别增加时，它的动能各增加多少？
8．（26-27九年级上·全国·单元复习）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
9．已知二次函数．
(1)求m的值．
(2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？
(3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线（a，b，c为常数且）经过和两点．
(1)求的值；
(2)求当随的增大而减小时，自变量的取值范围；
(3)若直线与抛物线有且只有一个交点．
①求的值；
②若点在直线上，点在抛物线上．当时，直接写出的最大值．
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