4.1.1三角形的有关概念及三边关系-课件--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册4.1.1 三角形的有关概念及三边关系 专项练习（全文1231字） ## 核心考点 认识三角形及其顶点、边、内角等相关概念；会用符号表示三角形；理解三角形三边关系定理：**三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边**；能判断三条线段能否组成三角形；已知三角形两边长，求第三边取值范围；解决简单的三角形边长实际问题。 答题要求：判断三边能否构成三角形，简便方法：较短两条线段之和＞最长线段；第三边取值范围：两边之差＜第三边＜两边之和；注意边长为正数，部分题目要结合整数条件。 ## 一、知识梳理 1. 三角形定义：由**不在同一直线上**的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的组成：三条边、三个顶点、三个内角。三角形用符号“$\triangle$”表示，顶点为$(A,B,C)$的三角形记作$\triangle ABC$。 2. 三角形三边关系定理 ① 三角形任意两边之和大于第三边； ② 三角形任意两边之差小于第三边。 推论：已知两边长$(a,b(a>b))$，则第三边$c$满足：$\boldsymbol{a-b<c<a+b}$。 3. 判定三条线段能否构成三角形：不需要验证三组不等式，只需验证**较短两边之和大于最长边**即可。 4. 三角形分类（按边）：不等边三角形；等腰三角形（底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）。 5. 重要提醒：必须满足“不在同一直线上”，三条线段在一条直线上不能组成三角形；等腰三角形题目，没有指明腰和底边时，要分类讨论，并且最后检验三边关系，舍去不符合条件的解。 ## 二、选择题（每题5分，共30分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（） A.$(1,2,3)$ B.$(2,3,4)$ C.$(2,2,5)$ D.$(3,4,7)$ 2. 已知三角形两边长为$3$和$5$，则第三边不可能是（） A.$3$ B.$4$ C.$6$ D.$8$ 3. 如图，以$BC$为一边的三角形共有（） A.$1$个 B.$2$个 C.$3$个 D.$4$个 4. 一个等腰三角形两边长是$4$和$9$，则周长为（） A.$17$ B.$22$ C.$17$或$22$ D.$13$ 5. 三角形两边为$2$和$7$，第三边为整数，则第三边可以是（） A.$4$ B.$5$ C.$7$ D.$9$ 6. 下列说法正确的是（） A. 三条线段首尾相连一定构成三角形 B. 三角形任意两边之差大于第三边 C. 若$(a+b>c)$，则线段$(a,b,c)$可以组成三角形 D. 三角形任意两边之和大于第三边 ## 三、填空题（每题6分，共30分） 1. 已知三角形两边长$4$和$6$，第三边$x$的取值范围__________。 2. 长度为$(5,7,a)$的线段可构成三角形，则$a$的最大整数值为__________。 3. 等腰三角形一边长$5$，一边长$8$，周长为__________。 4. 以$(3,5,x)$为三边组成三角形，$x$是偶数，则$x$可以是__________（写一个即可）。 5. 三角形三边为$(3,4,m)$，则$|m-7|+|m-1|=$__________。 ## 四、解答题（每题10分，共40分） 1. 判断下列各组线段能否构成三角形，说明理由： （1）$((6,8),10)$　（2）$(5,6,11)$ 2. 已知三角形两边长分别为$5\ \text{cm}$和$8\ \text{cm}$，求第三边的取值范围；若第三边为奇数，求第三边所有可能值。 3. 等腰三角形周长为$20$，一边长为$6$，求另外两边长。 4. 应用题：一个三角形菜园，已有两段篱笆长$4$米、$7$米，准备再买一段篱笆围成三角形，篱笆长度为整数米，求第三段篱笆最长多少米，最短多少米。 ## 五、参考答案与解析 选择题： 1.B；$(2+3>4)$；A$(1+2=3)$，C$(2+2<5)$，D$(3+4=7)$，均不能构成；2.D；第三边范围$(2<c<8)$，$8$不满足；3.C；$\triangle ABC,\triangle DBC,\triangle EBC$；4.B；分类讨论，若腰为$4$，$(4+4<9)$舍去；腰为$9$，周长$(9+9+4=22)$；5.C；$(5<c<9)$，整数可取$(6,7,8)$；6.D；A需要不在同一直线；B两边之差小于第三边；C必须验证较短两边之和大于最长边。 填空题： 1.$(2<x<10)$；2.$11$；3.$18$或$21$；4.$4$（或$6$）；5.$6$；由三边关系得$(1<m<7)$，去绝对值化简。 解答题： 1.（1）能。较短两边$(6+8>10)$；（2）不能。$(5+6=11)$，不满足大于。 2.解：设第三边长为$x$，$8-5<x<8+5$，即$(3<x<13)$。奇数可取：$(5,7,9,11)$。 3.解：①若$6$是底边，腰长$=(20-6)\div2=7$，三边$(6,(7,7))$，满足三边关系；②若$6$是腰，底边长$=20-6-6=8$，三边$(6,(6,8))$，满足三边关系。综上另两边：$(7,7)$或$(6,8)$。 4.解：设第三段长$x$米，$7-4<x<7+4$，$(3<x<11)$。$x$取整数，最短$4$米，最长$10$米。答：最短4米，最长10米。 ## 六、易错点总结 三角形三边关系四类高频丢分点。第一，判断三边时，只看一组$(a+b>c)$，不判断是不是较短两边相加，错误认为只要有一组和大于就可以组成三角形。第二，等腰三角形不分类讨论，或者分类后忘记检验三边关系，例如两边$(4,9)$，直接写出两种周长，忽略$4,(4,9)$不能构成三角形。第三，求第三边范围，把不等号方向写反，写成$(a+b<c)$；边界值容易错，等于的时候三点共线，不能构成三角形，不能取等号。第四，绝对值化简题目，不会先用三边关系确定字母取值范围，直接去掉绝对值符号导致符号出错。本节是三角形章节的入门基础，后面三角形内角、全等三角形都建立在本节基础上。做题固定流程：判断三边，取较短两边求和与最长边比较；已知两边求第三边，写出两边之差＜第三边＜两边之和；等腰三角形先分类，再检验三边；最后看清题目是否要求边长为整数。 （全文：1231字） 下一节：**4.1.2三角形的高、中线、角平分线**，同样1231字专项练习吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 4.1.1三角形的有关概念及三边关系 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/26 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第4章 三角形 学习目标 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形及其相关元 素，了解三角形分类； 2.掌握三角形的三边关系；（难点） 3.运用三角形三边关系解决有关的问题.（重点） 学习目标 02 新知导入 不在同一直线上 议一议 观察下图，在图中找出几个三角形. 构成这些三角形的三条线段在同一条直线上吗？这三条线段是怎样连接的？ 首尾相接 3 03 新知探究 探究一 三角形的概念及表示方法 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 三角形可用符号“”来表示，如图中的三角形可记作“ABC ”，读作“三角形 ABC ”. 03 新知探究 A，B，C 叫作ABC 的顶点； ∠A，∠B，∠C叫作ABC 的内角（简称ABC 的角）； 线段AB，BC，CA叫作ABC 的边. 通常∠A，∠B，∠C 的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示. 03 新知探究 两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 03 新知探究 三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）. 等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 注意 03 新知探究 探究二 三角形三边之间的关系 思考 在小学阶段，通过画三角形等操作过程，探索得知：三角形中任意两边的长度之和大于第三边的长度 . 这一结论对任何三角形都成立吗？为什么？ 基本事实：两点之间，线段最短 AB+AC >BC, AB+BC >AC, AC+BC >AB. 8 03 新知探究 三角形三边之间的关系:三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差有什么关系？ 三角形的任意两边之差小于第三边. 03 新知探究 由于AB+AC >BC, 根据不等式的基本性质1可得AB>BCAC, 即BCAC< AB, 同理可得ACAB< BC, ABC< AC. 三角形三边之间的关系: 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边. 03 新知探究 如图，D是ABC的边AC上一点，且AD=BD，试判断AC与BC的大小关系. 例1 解：因为AC=AD+DC， 又AD=BD， 则AC=BD+DC. 在BDC 中，BD+DC >BC（三角形的任意两边之和大于第三边）， 所以AC >BC. 03 新知探究 探究三 三角形的高、角平分线、中线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是ABC 的边BC上的高. 12 03 新知探究 做一做 如图，试用三角板或量角器分别画出图中ABC三条边上的高线. 13 03 新知探究 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，AD平分∠BAC，交BC于点D，则线段AD是ABC 的一条角平分线，此时∠BAD=∠CAD=∠BAC. 几何语言 ∵ AD是ABC 的角平分线， ∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC. 14 03 新知探究 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，E是线段BC的中点，则线段AE是ABC的边BC上的中线，此时BE=EC=BC. 几何语言 ∵AE是ABC的中线， ∴BE=EC. 15 03 新知探究 说一说 任意画一个三角形，画出三条边上的中线. 你发现了什么？ 它们相交于一点. 16 03 新知探究 三角形的三条中线相交于一点. 这三条中线的交点叫作三角形的重心. 如图， ABC的三条中线AD，BE，CF 相交于点G，则点G为ABC的重心. 三角形的重心一定在三角形的内部. 注意 17 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 18 返回 2. 如图所示，以A为顶点的三角形有______个，以∠C为内角的三角形有________________________．在△ACE中，AC所对的角是________，∠C所对的边是________，以线段AD为边的三角形有____________________． 6 ，， △ABD，△ADE，△ADC 举一反三 返回 3．如图表示的是三角形的分类，下列说法正确的是(　　) A．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形 B．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形 C．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形 D．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形 D 举一反三 20 03 新知探究 例2 解： 图中有6个三角形，它们分别是： ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC. 如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 . （1） 图中共有几个三角形？请分别列举出来. （2） 图中哪些三角形的面积相等？ 03 新知探究 例2 解： 因为AD是ABC的中线， 所以BD=DC. 因为AE是ABC的高线，也是ABD和ADC的高线， 所以= BD⋅AE， = DC⋅AE， 因此=. 如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高线 . （2） 图中哪些三角形的面积相等？ 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是(　　) A．5 　　　　B．6 　　　　C．11 　　　　D．16 2.如图，在中，边上的高为（　　） A． B． C． D． C B 23 04 课堂练习 3.如图，在锐角中，为边上的中线，则（　　） A． B． C． D． B 24 新知应用 基础巩固题 1.下列图形属于三角形的是( ) . B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 2.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 3，4，8 （ ） （2） 2，5，6 （ ） （3） 5，6，10 （ ） （4） 3，5，8 （ ） 不能 能 能 不能 不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形. 三角形的任意两边之和大于第三边 3+48 3+58 新知应用 基础巩固题 3. 五条线段的长分别为1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，以其中三条线段为边长可以构成____个三角形. 3 4.如图所示的三角形中，是等腰三角形的有________.（填序号） ①②④ 三角形的任意两边之和大于第三边 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形. 新知应用 基础巩固题 5.如图. （1）图中共有___个三角形，它们分别__________ ________________________________________； （2）以AD为边的三角形有_______________________； （3）∠AED是的______，______内角. 6 △ABD、 △ADE、 △AEC、 △ABE、 △ADC、 △ABC △ABD、 △ADE △ABE △ADE、 △ADC 返回 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足 a2－6a＋b2－4b＋13＝0，c为奇数，则△ABC按边分类 为___________三角形． 等腰 举一反三 28 返回 5. 满足下列条件的三条线段，， ，能组成三角形的有 ( ) C ，，；，， ； ；， ， . A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 举一反三 返回 6. 若使用如图所示的①②两根铁丝做成一 个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成 两段的铁丝是( ) A A. 只有①可以 B. 只有②可以 C. ①②都可以 D. ①②都不可以 举一反三 30 7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是______________． 3b－a－c 返回 举一反三 31 返回 8. 定义：一个三角形的一边长是另一边长 的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是“倍长三角形”，底边的长为4，则腰 的长为___. 8 【点拨】因为是等腰三角形， 为底边， 所以.①当时， ; ②当时， ,此时不符合三角形 的三边关系，所以不能构成三角形，故不符合题意. 所以腰 的长为8. 举一反三 32 05 课堂小结 认识三角形 三角形的概念及表示方法 三角形的概念 三角形的表示方法 等腰三角形 等边三角形 三角形三边之间的关系 三角形的高、角平分线、中线 谢谢观看 THANKS $