3.2.1 单调性与最大（小）值 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1　单调性与最大（小）值 一、教学内容解析 1．课标要求：能用数学符号语言精确刻画函数的单调性，会根据定义证明简单函数在给定区间上的单调性，能利用单调性求函数的最大值和最小值，体会数形结合与化归思想。 2．教材分析：本课位于人教版必修一第三章第二节，承接函数的定义与表示法，是函数性质研究的起点。单调性是函数最重要的整体性质之一，其定义从图象直观到符号刻画的过渡，蕴含了数形结合与化归思想，为后续学习指数函数、对数函数等具体函数的性质奠定了方法论基础。 3．本课核心内容是函数单调性的形式化定义及其在求最大（小）值中的应用，几何背景是函数图象的升降趋势。 从代数角度看，单调性的本质是对函数值随自变量变化而变化的趋势进行精确的符号刻画。设函数的定义域为，区间，若，当时都有，则称函数在区间上单调递增；若当时都有，则称函数在区间上单调递减。最大值则要求存在实数使都有且使。 从几何角度看，单调递增对应图象从左到右上升，单调递减对应图象从左到右下降。单调性将图象的直观升降趋势与严格的代数不等式联系起来，是代数与几何之间的重要桥梁。研究思路上，先从具体函数图象观察升降趋势，再抽象出一般定义，最后通过定义证明和单调性应用完成从直观到严谨的过渡。教学重点在于理解单调性定义中任意性的含义及掌握用定义证明单调性的步骤。 因此，本节课的教学重点为：理解函数单调性的形式化定义，掌握用定义证明函数单调性的基本步骤，能利用单调性求函数在闭区间上的最大值和最小值，体会数形结合与化归思想。 二、教学目标解析 1．经历从函数图象直观特征到单调性形式化定义的抽象过程，理解单调递增、单调递减、单调区间等概念； 体会数形结合； 2．掌握用定义法证明函数单调性的基本步骤——取值、作差、变形、定号、结论，能完成形如的差式符号判定，提升逻辑推理素养； 3．能借助函数图象直观理解单调性的几何意义，建立图象升降趋势与代数不等式之间的联系，发展直观想象素养； 4．能运用单调性解决求最大（小）值等实际问题，体会函数模型的应用价值，提升数学运算素养。 三、学情分析 1．知识储备：学生在初中已学习过一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质，对“随增大而增大（或减小）”有直观认识，并已掌握函数的定义、定义域、图象表示等前置知识。 2．能力储备：学生已具备从函数图象中读取信息的基本能力，能进行简单的代数变形与不等式推理，初步具有数形结合的意识。 3．有待发展：学生对“任意性”这一关键要素理解不够深入，容易将“图象上升”等同于“单调递增”而忽略严格的形式化定义；在作差比较时，变形方向不明确，因式分解能力不足；面对分式型函数的证明时存在畏难情绪，书写格式不够规范。 4．能力突破：借助动态演示软件直观呈现图象升降与不等式的关系，通过典型例题分解作差变形步骤，引导学生从特殊到一般、从直观到抽象逐步突破思维瓶颈。 因此，本节课的教学难点为：理解单调性定义中“任意”二字的含义，掌握作差比较法中变形定号的技巧。 四、教学过程 1.复习引入，温故知新 导入语：前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数描述了变量之间的对应关系。但仅知道对应关系还不够，我们还需要研究函数的变化规律——随着自变量的增大，函数值是增大还是减小？有没有最大值或最小值？这些就是函数的基本性质，也是认识客观规律的重要方法。 复习：在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性。 追问1：初中所说的“随的增大而增大”，能否用精确的数学符号语言来描述？ 追问2：以二次函数为例，如何刻画其在上的单调性？ 师生活动：教师引导学生回顾二次函数的图象，任取，当时有，由此引出单调递增的符号化描述。 设计意图：通过回顾初中所学单调性的直观描述，引发学生对“如何用符号语言精确刻画”的思考，为发现单调性的形式化定义奠定基础。 2.公式代换，发现新知 问题：由二次函数在上“随增大而增大”的观察，能否推广得到一般函数单调递增的定义？ 师生活动：学生尝试将具体例子中的替换为一般的，教师板书变形过程。 追问1：定义中为什么要强调”任意取”，能否只取两个特殊值验证？ 追问2：单调性是针对整个定义域还是某个区间而言的？ 师生活动：师生共同总结：设函数的定义域为，区间，若，当时都有，则称函数在区间上单调递增；若当时都有，则称函数在区间上单调递减。当函数在定义域上单调递增（递减）时，称其为增（减）函数。区间叫做函数的单调区间。 问题：能否用文字语言表述上述定义的含义？即“在区间上单调递增”意味着什么？ 设计意图：通过从具体到一般的抽象过程，让学生体会转化与化归思想，经历从图象直观到符号刻画的数学化过程，发展逻辑推理素养；通过追问“任意性”和“区间”两个关键要素，帮助学生深入理解定义的严谨性；通过让学生用文字语言复述定义，锻炼数学语言表达能力，加深对单调性本质的理解。同时，引导学生认识到单调性是函数在局部区间上的性质，与定义域整体性质既有联系又有区别，为后续学习函数最值做好概念铺垫。 3.课堂探究，公式证明 问题：有了单调性的形式化定义，能否利用定义直接证明函数（）的单调性？请尝试写出完整的证明过程。 师生活动：学生尝试用定义证明。任取且，计算。由得，当时即，函数为增函数；当时同理可得函数为减函数。教师肯定后指出，作差比较法是证明单调性的核心方法。 追问1：上述证明中，从取值到定号的每一步推理分别依据了什么？为什么需要讨论的符号？ 追问2：能否归纳出用定义证明函数单调性的一般步骤？在“取值、作差、变形、定号、结论”这五个环节中，变形和定号环节的关键技巧是什么？ 设计意图：通过具体函数的单调性证明，帮助学生明确“取值—作差—变形—定号—结论”的推理逻辑顺序，让学生在实践中掌握作差比较法这一核心证明策略，丰富证明手段，提升逻辑推理能力。同时通过对证明步骤的归纳，培养学生从特殊到一般的概括能力，为后续证明更复杂函数的单调性做好方法储备。 4.几何解释，加深理解 如图1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，在横轴正半轴上标出、两个自变量的位置（其中），并过它们作横轴的垂线交抛物线于两点，纵坐标分别标注为和，直观展示函数值的大小关系。 问题：利用图1，能否从几何角度解释单调递增和单调递减的含义？ 追问1：图中当时，点相对于点在什么位置？ 追问2：当动点从左向右移动时，若图象上升，函数值如何变化？若图象下降呢？ 追问3：能否用图象的升降趋势来表述单调性的几何意义？ 师生活动：教师用动态演示软件展示函数图象上动点从左向右移动的过程，在区间上动点逐渐下降，在区间上动点逐渐上升，学生观察并记录函数值的变化趋势。 师生活动：学生小组探究，结合图象得出：单调递增对应图象从左到右上升，即；单调递减对应图象从左到右下降，即。 师生共同总结：单调性的几何解释是——函数在区间上单调递增，当且仅当其图象在该区间上从左到右上升，即对任意，；函数在区间上单调递减，当且仅当其图象在该区间上从左到右下降，即对任意，。这一几何解释将图象的直观升降趋势与严格的代数不等式建立了等价关系，使得我们既可以通过图象直观判断单调性，又可以通过代数证明严格确认。 设计意图：通过给出函数图象并标注关键要素，帮助学生建立自变量大小关系与函数值大小关系之间的直观联系；借助动态演示软件展示动点移动过程，让学生在运动变化中感受图象升降与函数值增减的对应关系，加深对单调性定义的理解；通过小组探究和共同总结，培养学生的合作交流能力和归纳概括能力，提升直观想象素养，同时让学生体会数形结合思想在理解数学概念中的重要作用，为后续利用单调性解决最值问题奠定直观基础。 5.学以致用，迁移内化 例1．已知函数（），求函数的最大值和最小值。 追问：要利用单调性求最大值和最小值，首先需要判断函数在区间上的单调性。分析：用定义法判断函数单调性，任取区间内两点作差比较符号。解：任取且，则。由得且，故，函数单调递减，最大值在左端点取得，最小值在右端点取得。 答案： 例2．根据定义证明下列关于函数单调性的结论： （1）函数是减函数。分析：需证对任意有。解：任取且，则。由得，故。 答案： （2）函数在区间上单调递增。分析：需证对任意有。解：任取且，则。由且得，即；又且，故。 答案： 师生活动：对于例2第（1）问，学生口述证明思路，教师板书完整过程并强调作差后因式分解的方向。对于第（2）问，学生独立完成作差变形，教师巡视指导并总结：关键在于将差式因式分解为，再由区间条件确定各因式符号。教师归纳用定义证明单调性的五个步骤：取值、作差、变形、定号、结论，强调变形时要注意因式分解和通分的灵活运用。 设计意图：通过例1让学生明确利用单调性求最大值和最小值的前提是先判断单调性，掌握“先证单调性、再求端点值”的解题策略；通过例2的两道证明题，让学生分别练习一次函数和分式型函数的单调性证明，巩固作差比较法的五个步骤，明确结论适用的条件——单调性必须在指定区间上成立，提升逻辑推理与数学运算素养。 6.巩固运用，深化理解 判断下列结论是否正确： ①若函数在区间上单调递增，则对任意，当时都有。 答案： ②若存在且时，则函数在区间上单调递增。 答案： 练习1：画出函数的图象，写出其单调区间。分析：函数的图象为以原点为顶点的折线，左侧从左到右下降，右侧从左到右上升。解：当时，任取且，有，故在上单调递减；当时，同理可证在上单调递增。 答案： 练习2：已知函数，求该函数的单调区间和最大值。分析：将函数配方得，图象为开口向下的抛物线，顶点为。解：任取且，计算，由得且，故，函数在上单调递增；同理可证在上单调递减。最大值在顶点处取得。 答案： 设计意图：通过两道判断题帮助学生辨析单调性定义中“任意性”这一核心要素，防止将特殊值验证等同于严格证明；通过两道应用练习题，让学生分别运用图象法和定义法确定函数的单调区间与最值，深化对单调性适用条件的理解，巩固作差比较法的操作步骤。 7.回顾反思，提高升华 回顾本节课的学习，回答以下问题： （1）本节课学习了哪些知识？ （2）运用单调性的定义证明和求最值时，需要注意什么？ （3）本节课运用了哪些数学思想方法？ 设计意图：从知识、方法、思想三个层面引导学生归纳学习收获，帮助学生构建系统的知识框架，加深对单调性概念和证明方法的理解，培养反思总结的学习习惯。 学科网（北京）股份有限公司 $