15.3.2等边三角形课件2026-2027学年数学人教版八年级上册

第15.3.2等边三角形 人教版（2024）数学八年级上册 学习目标 1、掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用. 2、探索并证明含有30°角的直角三角形性质的过程，并用以解决实际问题. 请同学们观察并测量，含30°角的三角尺，直角边BC与斜边AB的长度？ BC=10cm, 量一量 AB=20cm B A C 20 cm 10 cm 1．等腰三角形有哪些特殊的性质呢？ 从边的角度：两腰相等； 从角的角度：两个底角相等； 从对称性的角度：是轴对称图形、三线合一． 新课导入 新课导入 满足什么条件的三角形是等边三角形？ 　 三条边都相等的三角形是等边三角形． A B C 2．请分别画出一个等腰三角形和等边三角形， 说出它们有什么联系？ 等边三角形是特殊的等腰三角形. 新课导入 图形 等腰三角形 　性 质 每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角平分线重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 针对训练 下列关于等边三角形的说法中,不正确的是(　 　) A.等边三角形是轴对称图形,三条高所在的直线都是它的对称轴 B.等边三角形是特殊的等腰三角形 C.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 D.等边三角形的三条角平分线的长度相等 C 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 含30°角的直角三角形的性质 符号语言： ∵在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°， ∴BC＝AB． 9 例1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4ｍ，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD． ∴BC＝×7.4＝3.7（ｍ）． 又∵AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（ｍ）． 答：立柱BC的长是3.7ｍ，DE的长是1.85ｍ． 等腰三角形 等边三角形 边 角 “三线合一” 对称轴 每条边上的中线、高及这条边所对角的平分线重合 三个角都相等，且都是60º 3条对称轴 1条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线重合 两条边相等 三条边都相等 等腰三角形和等边三角形的性质归纳总结 例1 如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA延长线上的点，且CD=AE，连接AD，BE，求证：AD=BE. 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB， ∴∠EAB=∠ACD=180°-60°=120°. 在△ABE和△CAD中， ∴△ABE≌△CAD(SAS)， ∴AD =BE. 含30°角的Rt△ 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？ 产生了一个特殊的直角三角形 其中一个锐角=30° 含30°角的直角 △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么 数量关系？ D A B C 30°   如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 5 如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则的长为_____． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形. 符号语言： 在△ABC 中， ∵　∠A=∠B =∠C ， ∴　△ABC 是等边三角形． 等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． C A B 等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． C A B 符号语言： 在△ABC 中， ∵　BC =AC，∠A =60°， ∴　△ABC 是等边三角形． 18 例题 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA， ∴∠AOP＝∠CPO， ∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°. 又∵PC＝3， ∴PE＝1.5. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA， ∴PD＝PE＝1.5. E 归纳总结 含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． （1）本节课学习了等边三角形的性质和判定； （2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？ 共有几种判定等边三角形的方法？ （3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法． 课堂小结 $