第二章 有理数及其运算计算专题讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册·有理数运算计算专题 核心知识点回顾： 1. 有理数的运算法则 （1）加法：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 （3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。 （4）除法：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （5）乘方：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。 2. 运算律（简化运算的核心工具） （1）加法交换律： （2）加法结合律： （3）乘法交换律： （4）乘法结合律： （5）乘法分配律：（可逆用：ab + ac = a(b + c)） 3. 混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的；同级运算从左到右依次进行。 4. 易错警示 （1）−a² 与 (−a)² 不同：−a² 表示 a² 的相反数，(−a)² 表示 (−a)×(−a)。 （2）减法化加法、除法化乘法时，务必先确定符号再计算绝对值。 （3）化简含绝对值的式子时，先判断绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号。 1. 基础混合运算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2. 运算律专项运算（加法运算律、乘法分配律） （1） （2） （3） （4） （5） （6） 3. 综合混合运算 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 拔高压轴题 1. 化简求值题 已知 ，求下列代数式的值： （1） 　（2） 2. 含参数有理数化简 若 1 < x < 3，化简： 3. 复杂混合运算 4. 新定义运算 定义新运算：，求 (−2)⊕3 的值。 5. 规律探究题 观察下列各式： 　1/(1×2) = 1 − 1/2，　1/(2×3) = 1/2 − 1/3，　1/(3×4) = 1/3 − 1/4，…… 利用上述规律计算： 6. 绝对值与数轴综合 已知 |a| = 3，|b| = 2，且 a < b，求下列各式的值： 　 7. 相反数、倒数与绝对值综合 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，|m| = 2，求下列各式的值： 　 参考答案与解析 1.（1）原式 = 　（2）原式 = 　（3）原式 = 9 × [−6/9 − 5/9] = 9 × (−11/9) = −11 　（4）原式 = −8 × (9/4) × (4/9) = −8 　（5）原式 = 9 − (−8) ÷ (−4) × (−1) = 9 − 2 × (−1) = 11 　（6）原式 = 1/4 + (−1/2) − 3/4 = 1/4 − 2/4 − 3/4 = −1 2.（1）原式 = 6 − 4 + 3 − 2 = 3 　（2）原式 = 　（3）原式 = 　（4）原式 = (−3(6/7)) × [(−5) + (−7) + 12] = (−3(6/7)) × 0 = 0 　（5）原式 = (−125) × (−3/5) × (−5/3) × (3/2) = −375/2 = −187(1/2) 　（6）原式 = −36×7/9 − (−36)×5/6 + (−36)×3/4 = −28 + 30 − 27 = −25 3.（1）原式 = −4 + 3 + (−8) × 　（2）原式 = −1 − 　（3）原式 = 9 − (27/8) × (2/9) − 6 × (3/2) = 9 − 3/4 − 9 = −3/4 　（4）原式 = −9 × (1/9) + (−18 + 4 + 9) = −1 − 5 = −6 　（5）原式 = −8 × 0.5 − 2.56 ÷ 4 = −4 − 0.64 = −4.64 　（6）原式 = −4 ÷ (1/4) × 1 = −4 × 4 = −16 拔高压轴题 1.（1）当 a = −2，b = 1/2 时， 　（2） 2. ∵ 1 < x < 3，∴ x − 1 > 0，x − 3 < 0 　 原式 = 3. 原式 = 　　　 = −1 + 4. 5. 原式 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/99 − 1/100) 　　 = 1 − 1/100 = 99/100 6. ∵ |a| = 3，∴ a = ±3；∵ |b| = 2，∴ b = ±2。 　 又 a < b，∴ a = −3，b = 2 或 a = −3，b = −2。 　 当 a = −3，b = 2 时，a + b = −1； 　 当 a = −3，b = −2 时，a + b = −5。 　 综上，a + b = −1 或 −5。 7. ∵ a、b 互为相反数，∴ a + b = 0； 　 ∵ c、d 互为倒数，∴ cd = 1； 　 ∵ |m| = 2，∴ m = 2 或 m = −2。 　 原式 = 0 + 1 − m = 1 − m。 　 当 m = 2 时，原式 = 1 − 2 = −1； 　 当 m = −2 时，原式 = 1 − (−2) = 3。 　 综上，原式 = −1 或 3。 学科网（北京）股份有限公司 $