2.3 尺规作图课时作业2026-2027学年青岛版数学八年级上册

青岛版八年级上册 第2章 全等三角形　2.3 尺规作图 课时作业 青岛版数学八年级上册 · 第2章 全等三角形 2.3 尺规作图 课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　用时：______分钟 一、学习目标 1．了解尺规作图的意义，知道尺规作图只能使用没有刻度的直尺和圆规。 2．会作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、作已知线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线。 3．会利用基本作图作三角形（已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边），能写出已知、求作和作法。 4．能用三角形全等的知识说明作图的道理。 课前预习 1．只用________的直尺和________作图的方法叫做尺规作图。 2．作一个角等于已知角，其依据是三角形全等判定中的“________”。 3．作已知角的平分线时，所作的射线把这个角分成两个________的角。 4．尺规作图题的一般步骤是：写出已知、________，写出________，并保留作图痕迹。 二、知识梳理 知识点1　尺规作图的意义 在几何里，把只用没有刻度的直尺和圆规作图的方法叫做尺规作图。直尺只能用来画直线、射线、线段；圆规用来画圆或圆弧（截取等长线段）。 作图时要保留作图痕迹，作图题一般要写出已知、求作、作法，最后写结论（“……就是所求作的……”）。 知识点2　基本作图（一）：作一条线段等于已知线段 已知：线段a。求作：线段AB，使AB=a。 作法：①作射线AM；②以点A为圆心、a的长为半径作弧，交AM于点B。线段AB就是所求作的线段。 知识点3　基本作图（二）：作一个角等于已知角 已知：∠AOB。求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB。 作法：①以点O为圆心、任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D；②作射线O′A′，以点O′为圆心、OC的长为半径作弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心、CD的长为半径作弧，与前弧交于点D′；④过点D′作射线O′B′。∠A′O′B′就是所求作的角。 道理：连接CD，C′D′，则OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，由SSS得△COD≌△C′O′D′，所以∠A′O′B′=∠AOB。 知识点4　基本作图（三）：作已知角的平分线 已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线。 作法：①以点O为圆心、适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P；③作射线OP。射线OP就是∠AOB的平分线。 道理：连接PM，PN，则OM=ON，PM=PN，OP=OP，由SSS得△OMP≌△ONP，所以∠MOP=∠NOP。 知识点5　基本作图（四）：作线段的垂直平分线 已知：线段AB。求作：线段AB的垂直平分线。 作法：①分别以点A，B为圆心、大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；②作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线（CD与AB的交点O是线段AB的中点）。 道理：连接AC，BC，AD，BD，由SSS得△ACD≌△BCD，∴∠ACO=∠BCO；再由SAS得△ACO≌△BCO，∴AO=BO，∠AOC=∠BOC=90°。 知识点6　基本作图（五）：过一点作已知直线的垂线 （1）点P在直线l上：以P为圆心作弧交l于A，B两点，再作线段AB的垂直平分线即可。 （2）点P在直线l外：①以点P为圆心、适当长为半径作弧，交直线l于A，B两点；②分别以A，B为圆心、大于AB的长为半径作弧，两弧交于点Q（与P在l的两侧）；③作直线PQ。直线PQ就是所求作的垂线。 知识点7　利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形（依据SSS）；（2）已知两边及其夹角作三角形（依据SAS）；（3）已知两角及其夹边作三角形（依据ASA）。 由于满足上述条件的三角形都是全等的，所以作出的三角形是唯一确定的。 三、典例精析 例1　已知：线段a，b，c（如图）。求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c。 作法：①作线段BC=a；②分别以点B，C为圆心、c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；③连接AB，AC。△ABC就是所求作的三角形。 【点评】作图的依据是SSS。注意所给三条线段必须满足“任意两边之和大于第三边”，否则无法作出三角形。 例2　已知：∠α和线段a（如图）。求作：△ABC，使∠B=∠C=∠α，BC=a。 作法：①作线段BC=a；②在BC的同侧分别作∠MBC=∠α，∠NCB=∠α，射线BM与CN交于点A。△ABC就是所求作的三角形。 【点评】这是已知两角及其夹边作三角形，依据是ASA。 例3　如图，已知△ABC，用尺规作图作出BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不写作法）。 【分析】作BC边上的中线，关键是找到BC的中点，可以作线段BC的垂直平分线。 【解答】如图，作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，连接AD。AD就是BC边上的中线。 四、易错警示 易错点1：使用有刻度的直尺量取长度，或用量角器量角，不符合尺规作图的要求。 易错点2：作角平分线、垂直平分线时，第二步所取的半径没有“大于MN（或AB）”，导致两弧不相交。 易错点3：不保留作图痕迹，或不写结论。 易错点4：作角等于已知角时，第二次截取的弧的半径与第一次不相等。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．尺规作图是指（　　） A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 2．下列作图语句中，正确的是（　　） A．画直线AB=3 cm B．延长射线OA C．以点O为圆心作弧 D．以点O为圆心、OA的长为半径作弧 3．用尺规作一个角等于已知角，其依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 4．作∠AOB的平分线时，以点O为圆心作弧交OA，OB于M，N，再分别以M，N为圆心作弧，这两个弧的半径应（　　） A．等于MN B．小于MN C．大于MN D．任意长 5．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作角的平分线 C．作线段的垂直平分线 D．作一条线段等于已知线段 6．下列条件中，用尺规作出的三角形不唯一的是（　　） A．已知三边 B．已知两边及其夹角 C．已知两角及其夹边 D．已知两边及其中一边的对角 7．如图是用尺规作∠AOB的平分线的示意图，其中说明△OMP≌△ONP的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 8．过直线l外一点P作l的垂线，可以作（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 二、填空题 9．尺规作图中，直尺的作用是画________、________和________。 10．已知线段a，b（a>b），用尺规作线段AB=a+b的方法：先作射线AM，在AM上依次截取AC=________，CB=________，则AB=a+b。 11．用尺规作线段AB的垂直平分线，所作直线与AB的交点O是线段AB的________点。 12．已知∠α=50°，用尺规作∠AOB=2∠α，则∠AOB=________°；再作∠AOB的平分线OC，则∠AOC=________°。 13．作△ABC的边BC上的高时，应过点________作直线________的垂线。 三、解答题（尺规作图，保留作图痕迹） 14．已知：线段a，b（如图）。求作：线段AB，使AB=2a-b。 15．已知：∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线OC，并在OC上任取一点P，过点P作OA的垂线。 16．已知：线段a和∠α（如图）。求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α。 B组　能力提升 一、选择题 17．已知线段a=3 cm，b=4 cm，c=8 cm，能否用这三条线段作出一个三角形？（　　） A．能，且唯一 B．能，但不唯一 C．不能 D．无法判断 18．在△ABC中，用尺规作图作出∠B的平分线交AC于点D，若∠A=70°，∠C=50°，则∠ADB的度数为（　　） A．80° B．85° C．95° D．100° 二、填空题 19．如图（知识点5图），用尺规作线段AB的垂直平分线CD，若AB=6，AC=5，则BC=________，AO=________。 20．用尺规作图作一个三角形，使它的两个内角分别为45°和60°，其第三个内角为________°。先作________°的角，再作它的平分线就可以得到45°的角。 三、解答题（尺规作图，保留作图痕迹） 21．已知：线段a，h。求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高AD=h，且AB=AC。（提示：先作BC的垂直平分线） 22．用尺规作一个45°的角，并说明作图的依据。 C组　拓展探究 解答题 23．如图，A，B是两个村庄，直线l是一条公路。现要在公路上修建一个车站P，使车站到两个村庄的距离相等。请用尺规作图确定车站P的位置，并说明理由。 24．小明说：“已知两边和其中一边的对角，也能用尺规作出唯一的三角形。”你认为对吗？请以AB=4 cm，AC=3 cm，∠B=40°为例作图说明。 六、参考答案与解析 课前预习 1．没有刻度；圆规　　2．SSS　　3．相等　　4．求作；作法 A组　基础巩固 1．【答案】C 【解析】尺规作图只能使用没有刻度的直尺和圆规。 2．【答案】D 【解析】直线不能度量长度，A错；射线只能反向延长，B错；作弧必须说明圆心和半径，C错。 3．【答案】D 【解析】作图时截取的三条线段分别相等，依据SSS得两个三角形全等，从而对应角相等。 4．【答案】C 【解析】半径必须大于MN，两弧才能相交。 5．【答案】D 【解析】已知三边作三角形，需要多次作线段等于已知线段（用圆规截取）。 6．【答案】D 【解析】“SSA”不能确定唯一的三角形，可能作出两个不同的三角形。 7．【答案】B 【解析】OM=ON，PM=PN，OP=OP，依据SSS。 8．【答案】A 【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 9．【答案】直线；射线；线段 【解析】没有刻度的直尺只能画线，不能度量长度。 10．【答案】a；b 【解析】用圆规依次截取即可。 11．【答案】中 【解析】垂直平分线把线段平分，交点是中点。 12．【答案】100；50 【解析】先作一个角等于∠α，再以它的一边为边在外侧再作一个角等于∠α，得到2∠α。 13．【答案】A；BC 【解析】三角形的高是从顶点向对边所在直线作垂线段。 14．【答案】如图，AB就是所求作的线段。 【解析】作法：①作射线AM；②在射线AM上依次截取AC=CD=a；③在线段DA上截取DB=b。则AB=AD-DB=2a-b。 15．【答案】如图（作法见解析）： 【解析】作法：①按角平分线的作法作出射线OC；②在OC上取一点P，以P为圆心、适当长为半径作弧，交OA于E，F两点；③分别以E，F为圆心、大于EF的长为半径作弧，两弧交于点Q；④作直线PQ，PQ就是所求作的OA的垂线。 16．【答案】如图，△ABC就是所求作的三角形。 【解析】作法：①作∠MAN=∠α；②在射线AM上截取AB=a，在射线AN上截取AC=a；③连接BC。△ABC就是所求作的三角形（依据SAS）。 B组　能力提升 17．【答案】C 【解析】3+4=7<8，不满足三角形两边之和大于第三边，无法作出三角形。 18．【答案】A 【解析】∠ABC=180°-70°-50°=60°，BD平分∠ABC，∠ABD=30°。在△ABD中，∠ADB=180°-70°-30°=80°。 19．【答案】5；3 【解析】作图时以A，B为圆心的弧半径相同，所以AC=BC=5；O是AB的中点，AO=3。 20．【答案】75；90 【解析】180°-45°-60°=75°；90°的角可以通过作垂线得到，再平分得45°。 21．【答案】如图（作法见解析）： 【解析】作法：①作线段BC=a；②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；③在l上截取DA=h；④连接AB，AC。△ABC就是所求作的三角形。（由SAS可证△ABD≌△ACD，所以AB=AC。） 22．【答案】如图，∠AOC=45°。 【解析】作法：①作直线l，在l上取一点O，过点O作l的垂线OB，得∠AOB=90°（OA在l上）；②作∠AOB的平分线OC，则∠AOC=45°。依据：过直线上一点作垂线、作角平分线（SSS）。 C组　拓展探究 23．【答案】如图，作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P，点P就是车站的位置。 【解析】理由：设AB的垂直平分线与AB交于点O，则AO=BO，∠AOP=∠BOP=90°，又PO=PO，由SAS得△AOP≌△BOP，所以PA=PB。 24．【答案】不对。如图，以A为圆心、3 cm为半径作弧，与∠B的另一边可能有两个交点C1，C2，得到两个不全等的三角形△ABC1和△ABC2。 【解析】这说明“SSA”不能唯一确定一个三角形，所以不能作为三角形全等的判定方法。 七、课后反思 五种基本作图分别是什么？它们的道理分别依据哪一种三角形全等的判定方法？ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $