2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟（一）（山东青岛适用）

山东省青岛市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟卷1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若全集，集合，．则等于（    ） A．{1，3，5} B．{2，5} C．{2，4，5} D．{2，4，6} 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（    ） A．1 B．3 C． D． 5．集合的非空子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．若函数的定义域为，且，，，，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．已知函数有且只有一个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．若不等式的解集为，则 10．已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．若，则 D．若，则 11．已知,若对任意的,不等式恒成立.则（   ） A． B． C．的最小值为12 D．的最小值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为___________. 13．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 14．已知函数，则不等式的解集为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（13分）．求下列各式的值（写出化简步骤） (1)； (2) 16（15分）．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)画出的图象并写出单调区间． 17（15分）．已知函数. (1)讨论函数的奇偶性； (2)判断函数在的单调性并用定义证明. 18（17分）．某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） (1)求出k的值，并将y表示为x的函数； (2)求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 19（17分）．已知函数f(x)＝． (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)判断并证明函数f(x)的单调性; (3)解不等式：f(x2－2x)＋f(3x－2)<0； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 山东省青岛市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟卷1 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D D B D D C ACD BCD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】求出交点坐标，利用交集的定义求解即可. 【详解】由,解得：,所以， 故选：C 2．D 【分析】根据集合的交集与补集求解即可 【详解】由题意，，故 故选：D 3．D 【分析】解出集合，利用交集含义即可得到答案. 【详解】，， 所以， 故选：D. 4．D 【分析】利用两函数的奇偶性，根据已知等式，构造另一个等式，联立求出函数解析式，代入自变量的值计算即得. 【详解】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：， 由①，将其中的取为，则可化简得：②， 由①②联立可求得：，于是. 故选：D. 5．B 【分析】由题可得为4的倍数且满足，据此可得答案. 【详解】由题可得，因为，所以为4的倍数且满足，故，此时对应的，满足题意，故，非空子集为，共7个. 故选：B 6．D 【分析】根据已知条件可知为定义在上的增函数，依次判断各个选项中的函数的定义域和单调性即可得到结果. 【详解】由题意可知：为定义在上的增函数， 对于A，的定义域为，A错误； 对于B，在上单调递减，B错误； 对于C，与均为上的增函数，则为上的减函数，C错误； 对于D，为上的增函数，为上的减函数，则为上的增函数，D正确. 故选：D. 7．D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 8．C 【分析】由绝对值的几何意义可得. 【详解】或， 由绝对值几何意义知，无解， 由，解得， 综上可得不等式的解集是. 故选：C. 9．ACD 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】先由幂函数的定义求出. 对于A：直接求出进行判断； 对于B：利用偶函数的定义进行判断； 对于C：直接解不等式即可判断； 对于D：利用作差法，整理后利用基本不等式进行证明. 【详解】因为为幂函数，所以，解得：，所以，定义域为. 对于A：.故A错误； 对于B：因为，所以为偶函数.故B正确； 对于C：由，即，所以，可得：.故C正确； 对于D：任取， 则 因为，所以， 所以，所以. 故D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】先对进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得,即,可得选项A,B正误;将中的用代替,再用基本不等式即可得出正误;先将代入中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D的正误. 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需, 故当时,,即, 所以且,故选项A正确,选项B错误; 所以, 当且仅当时,即时取等,故选项C正确; 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 故选:ACD 【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有: (1),; (2)柯西不等式:; (3)变换后再用基本不等式:. 12． 【分析】根据偶次根式有意义及分母不为零计算求解即可. 【详解】因为函数， 满足，即， 函数的定义域为. 故答案为：. 13． 【分析】首先设全班同学组成集合，喜欢篮球运动的组成集合，喜欢乒乓球运动的组成集合，由题知：集合有人，集合有人，集合的补集有人，再利用集合运算求解即可. 【详解】设全班同学组成集合，喜欢篮球运动的组成集合，喜欢乒乓球运动的组成集合， 由题知：集合有人，集合有人，集合的补集有人， 所以有人，有人， 所以爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为人. 故答案为： 14． 【分析】令，根据指数函数的单调性得出的单调性.进而判断的奇偶性.将不等式变形可得， 即.结合的性质即可得出不等式，求解不等式，即可得出答案. 【详解】令， 因为函数在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减. 又， 所以是奇函数． 由，可得， 所以. 又在上单调递减， 所以． 整理可得，，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 15．(1) (2)1 【分析】（1）根据对数的运算性质, 化简即可得解； （2）根据换底公式化简即可得解. 【详解】（1）原式. （2）原式. 16．(1) (2)作图见解析，函数的减区间为，增区间为， 【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，由已知时，，求时函数解析式即可； （2）直接利用函数解析式画分段函数图象，结合图象即可判断单调区间. 【详解】（1）解：当时，，设，则， ， 又是定义在上的奇函数，， ， （2）解：由得函数图象如下图： 根据图象得出函数的减区间为，增区间为，． 17．(1)奇函数 (2) 在上单调递增，证明如下： 在上任取，，且， ∵，∴，，∴， ∴，即， 故在上是增函数. 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即可； （2）利用函数的单调性判断方法推理计算即得. 【详解】（1）∵，∴的定义域为 ∵，都有 且 ∴为奇函数. （2）略 18．(1)， (2)所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2）， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 19．(1)奇函数 (2)单调增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）按照奇函数的定义判断即可； （2）按照单调性的定义判断证明即可； （3）由单调递增解不等式即可. 【详解】（1）易知函数定义域为R，所以函数为奇函数. （2）设任意x1，x2∈R且x1<x2， f(x1)－f(x2)＝＝ ∵x1<x2，∴，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)是在(－∞，＋∞)上是单调增函数． （3）∵f(x2－2x)＋f(3x－2)<0， 又∵f(x)是定义在R上的奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f(x2－2x)<f(2－3x)，∴x2－2x<2－3x，∴－2<x<1.不等式的解集是 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $