04 单元素养测评卷（四）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

单元素养测评卷(四)  第五章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,如果规定每位同学必须报名,则不同的报名方法共有 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.10种 B.20种 C.25种 D.32种 2.某市的汽车牌照号码(共5个)可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有 (　　) A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 3.在的展开式中,含x3的项的系数为 (　　) A.5 B.-5 C.10 D.-10 4.象棋是一种极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示,若不考虑这部分以外棋子的影响,且“马”和“炮”不动,“兵”只能往前或往左或往右走,每次只能走一格,从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线,则能顺带吃掉“炮”的可能路线有 (　　) A.10条 B.8条 C.6条 D.4条 5.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只能去1个小区,且每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法种数为 (　　) A.6 B. 12 C. 24 D. 36 6.下列等式不一定成立的是 (　　) A.= B.=+ C.=m D.= 7.(x+y+3)5的展开式中不含y的各项系数之和为 (　　) A.25 B.35 C.45 D.(x+3)5 8.某企业放假4天,安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人只值班一天.已知甲不安排在第一天,乙不安排在最后一天,则不同的安排方法种数为 (　　) A.6 B.8 C.14 D.48 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列问题是排列问题的是 (　　) A.某班选2名班干部去学校礼堂听团课 B.某班40名同学在假期互发信息 C.从1,2,3,4,5中任取两个数字相除 D.10个车站中站与站间的车票 10.下列关于(a+b)10的说法中正确的是 (　　) A.展开式中各二项式系数之和为1024 B.展开式中第6项的二项式系数最大 C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 11.用0,1,2,4,6,7组成无重复数字的四位数,则 (　　) A.个位是0的四位数共有60个 B.2与4相邻的四位数共有60个 C.不含6的四位数共有100个 D.比6701大的四位数共有71个 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若的展开式中的常数项为-160,则实数a=　　　　.  13.街道上有编号分别为1,2,3,…,10的十盏路灯,为节省用电又能看清路面,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,满足条件的关灯方法有　　　　种.  14.有一道路网如图所示(每个小四边形均为正方形),通过此道路网从A点出发不经过C,D点到达B点的最短路径有　　　　条.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)求(1+2x)7的展开式中第4项的系数; (2)求的展开式中x2的系数. 16.(15分)从0~9这10个数字中取出3个数字,试问: (1)有多少个没有重复数字的排列方法? (2)能组成多少个没有重复数字的三位数? 17.(15分)设(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,求下列各式的值: (1)a0+a1+a2+a3+a4; (2)a1+a2+a3+a4; (3)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2. 18.(17分)将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组. (1)要求有3人分到甲组,2人分到乙组,1人分到丙组,共有多少种不同的分法? (2)要求三个组的人数分别为3,2,1,共有多少种不同的分法? 19.(17分)已知(4+x)(7-2x)6=a0+a1x+…+a7x7.在以下三问中任选两问作答,若三问都分别作答,则按前两问作答计分,作答时,请标明所选两问的题号. (1)求a5; (2)求log5(a0+a1+…+a7); (3)设m=76,证明:4a1+42a2+…+47a7=8-4m. 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(四) 1.D　[解析] 每位同学必须报名,且每位同学限报其中的一个小组,则每位同学都有2种选择,根据分步乘法计数原理知,不同的报名方法共有25=32(种),故选D. 2.D　[解析] 按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法,因此该车主车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).故选D. 3.D　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=x5-r=(-2)rx5-2r,令5-2r=3,则r=1,∴含x3的项为T2=(-2)1x3=-10x3,其系数为-10.故选D. 4.C　[解析] 由题意可知,“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步,竖走两步,其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步:第一步,横走两步,竖走一步,有=3(种)走法;第二步,横走一步,竖走一步,有=2(种)走法.∴能顺带吃掉“炮”的可能路线共有3×2=6(条).故选C. 5.D　[解析] 将4名同学分为3组,每组的人数分别为2,1,1,则不同的安排方法有=6×6=36(种).故选D. 6.C　[解析] =,==,故A一定成立;+=+=+==,故B一定成立;=,而m=,故C不一定成立,D一定成立.故选C. 7.C　[解析] 由(x+y+3)5=[(x+3)+y]5可知展开式的通项为Tr+1=(x+3)5-ryr.当r=0时,可得不含y的项,即T1=(x+3)5=(x+3)5,令x=1,可得不含y的各项系数之和为45.故选C. 8.C　[解析] ①若甲安排在最后一天,则不同的安排方法种数为=6;②若甲不安排在最后一天,则不同的安排方法种数为=8.综上,不同的安排方法种数为14.故选C. 9.BCD　[解析] 对于A,不存在顺序问题,不是排列问题;对于B,存在顺序问题,是排列问题;对于C,两个数相除与这两个数的顺序有关,是排列问题;对于D,车票使用时有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题.故选BCD. 10.AB　[解析] 根据二项式系数的性质知(a+b)10的展开式中各二项式系数之和为210=1024,故A正确;(a+b)10的展开式中共11项,二项式系数最大的项是中间一项,即第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;易知展开式中各项的系数与对应的二项式系数相等,则第6项的系数最大,故D错误.故选AB. 11.ABD　[解析] 个位是0的四位数共有=60(个),A正确.若不含0,则2与4相邻的四位数有=36(个);若含0,则2与4相邻的四位数有=24(个),故2与4相邻的四位数共有36+24=60(个),B正确.不含6的四位数共有=96(个),C错误.比6701大的四位数共有+-1=71(个),D正确.故选ABD. 12.-1　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-r·arx6-2r,所以当r=3时,可得常数项为T4=23·a3=160a3=-160,可得a=-1. 13.20　[解析] 十盏路灯关掉三盏,实际上还亮着七盏路灯,而又要求不能关掉两端的灯和相邻的灯,此问题可以转化为在七盏亮着的路灯之间形成的六个间隙中放入三盏熄灭的路灯,故有=20(种)关灯方法. 14.24　[解析] 如图,由已知可得,应从A点出发,先到E点,再到F点,最后经过点G到B点即可.第一步:由A点到E点,最短路径为4步,最短路径条数为·=4;第二步:由E点到F点,最短路径为3步,最短路径条数为·=3;第三步:由F点经点G到B点,最短路径为3步,最短路径条数为··=2.根据分步乘法计数原理可得,最短路径有4×3×2=24(条). 15.解:(1)(1+2x)7的展开式的第4项是T3+1=×17-3×(2x)3=×23x3=35×8x3=280x3.因此,展开式中第4项的系数是280. (2)的展开式的通项为Tk+1=(2)6-k=(-1)k26-kx3-k.令3-k=2,得k=1. 因此,展开式中x2的系数是(-1)×25×=-192. 16.解:(1)从0~9这10个数字中取出3个数字排成一列,没有重复数字的排列方法有=720(种). (2)第一类:每一位数字都不是0的三位数有=504(个); 第二类:个位数字是0的三位数有=72(个); 第三类:十位数字是0的三位数有=72(个).根据分类加法计数原理知,能组成++=648(个)没有重复数字的三位数. 17.解:(1)因为(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4, 所以令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4=97+56. (2)令x=0,可得a0=9, 所以a1+a2+a3+a4=(a0+a1+a2+a3+a4)-a0=88+56. (3)令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=[(2+)(-2+)]4=1. 18.解:(1)根据题意,分三步进行. ①在6人中选出3人,将其分到甲组,有种分法; ②在剩余3人中选出2人,将其分到乙组,有种分法; ③将剩下的1人分到丙组,有种分法. 所以共有=60(种)不同的分法. (2)根据题意,分两步进行:①将6人分成3组,人数依次为3,2,1,有=60(种)分法;②将分好的三组全排列,对应甲、乙、丙3个不同的公益小组,有=6(种)分法.所以共有=360(种)不同的分法. 19.解:选(1),a5=4××7×(-2)5+×72×(-2)4=6384. 选(2),令x=1,得a0+a1+…+a7=(4+1)×(7-2)6=57,则log5(a0+a1+…+a7)=7. 选(3),证明:令x=0,得a0=4×76=4m;令x=4,得a0+4a1+…+47a7=(4+4)×(-1)6=8.故4a1+42a2+…+47a7=8-4m.(答出以上任意两条均可) 学科网（北京）股份有限公司 $