7.1.1 直线拟合&7.1.2 一元线性回归方程(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第七章　统计案例 §1　一元线性回归 1.1　直线拟合1.2　一元线性回归方程 【学习目标】 　　1.结合具体实例,了解一元线性回归模型的含义,了解模型参数的统计意义,了解最小二乘原理,掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 　　2.针对实际问题,会用一元线性回归模型进行预测. ◆ 知识点一　直线拟合 1.散点图:在平面直角坐标系中,每个点对应的一对数据(xi,yi),称为　　　　　　,这些点构成的图称为散点图.  2.曲线拟合:如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个　　　　　　,这种趋势通常可以用一条　　　　　　来近似地描述,这样近似描述的过程称为曲线拟合.  3.直线拟合:在两个变量X和Y的散点图中,所有点看上去都在　　　　　　附近波动,此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系,称之为直线拟合.  【诊断分析】 下面的变量之间可用直线拟合的是 (　 ) A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.人的身高与体重 D.实心铁球的半径与质量 ◆ 知识点二　一元线性回归方程 1.最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重),可以把其成对的观测值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示为平面直角坐标系中的n个点. 现在希望找到一条直线Y=a+bX,使得对每一个xi(i=1,2, …,n),由这个直线方程计算出来的值a+bxi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…+[yn-(a+bxn)]2达到最小.换句话说,我们希望a,b的取值能使上式达到最小.这个方法称为最小二乘法. 2.线性回归方程 对于n对数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),由最小二乘法得==,=-. 将直线方程Y=+X称作Y关于X的线性回归方程,相应的直线称作Y关于X的回归直线(如图),,是这个线性回归方程的系数. 【诊断分析】 某农田小麦的产量Y(单位:kg)关于施肥量X(单位:kg)的线性回归方程是Y=4X+250,则当施肥量为50 kg时,可以预测小麦的产量为　　　　kg.  ◆ 探究点一　直线拟合 例1 某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品种棉花进行施肥量X(单位:kg)对产量Y(单位:kg)影响的试验,得到如下表所示的数据. X 15 20 25 30 35 40 45 Y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图; (2)判断施肥量X与产量Y是否具有近似的线性关系. 变式 (多选题)下列散点图中,变量X,Y有近似的线性关系的是 (　 ) A B C D [素养小结] 绘制散点图后,如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量具有近似的线性关系.注意不要受个别点的位置的影响. ◆ 探究点二　一元线性回归方程 例2 患感冒与昼夜温差大小具有近似的线性关系,某居民小区诊所的张医生记录了四月份四个周一的温差情况与因患感冒到诊所看病的人数如下表: 昼夜温差X(℃) 11 13 12 8 感冒就诊人数Y 25 29 26 16 用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程为　　　　　　　　.  变式 [2024·浙江嘉兴高二期末] 某学生在对50位同学的身高Y(单位:厘米)与鞋码X(单位:欧码)的数据进行分析后发现两者线性相关,整理得到线性回归方程Y=3X+.若50位同学的身高与鞋码的均值分别为=170,=40,则=　　　　.  [素养小结] 当两个变量已明显具有近似的线性关系时,无需作出散点图就可直接利用数据求相关统计量,进而求线性回归方程. ◆ 探究点三　回归分析在实际生活中的应用 例3 某研究机构对高三年级学生的记忆力X和判断力Y进行统计分析,得到数据如下表: X 6 8 10 12 Y 2 3 5 6 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程 Y=X+; (3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为7的同学的判断力. 变式 某型号机床的使用年数X和维护费Y有下表所示的关系: X/年 2 3 4 5 6 Y/万元 2.0 3.5 6.0 6.5 7.0 (1)求Y关于X的线性回归方程; (2)某厂该型号的一台机床已经使用了8年,现决定当维护费达到15万元时,更换机床,请估计到第11年结束,是否需要更换机床? 附:在线性回归方程Y=+X中,=,=- . [素养小结] 利用回归分析求解实际生活中的应用问题的基本步骤: (1)读懂题意,根据所给数据作出散点图,从直观上分析变量间是否存在近似的线性关系; (2)计算:,,,xiyi; (3)代入公式求出Y=X+中,的值,进而得到线性回归方程; (4)利用线性回归方程对实际问题作出估计. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章　统计案例 §1　一元线性回归 1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 【课前预习】 知识点一 1.成对数据　2.大致趋势　光滑的曲线　3.一条直线 诊断分析 C 知识点二 诊断分析 450 【课中探究】 例1　解:(1)散点图如图所示: (2)由散点图知,各组数据对应的点大致在一条直线附近,所以施肥量X与产量Y具有近似的线性关系. 变式　AB 例2　Y=X-　[解析] 由数据得==11,==24,由最小二乘法得= = ,=24-×11=-.所以Y关于X的线性回归方程为Y=X-. 变式　50　[解析] 因为线性回归方程为Y=3X+,=170,=40,所以=-3=170-3×40=50. 例3　解:(1)作出散点图如图所示. (2)==9,==4, =故所求线性回归方程为Y=0.7X-2.3. (3)由(2)中线性回归方程可知,记忆力为7的同学的判断力估计为0.7×7-2.3=2.6. 变式　解:(1)由题意得==4,==5.0, 1.3, ∴=5-1.3×4=-0.2,∴Y=1.3X-0.2. (2)由(1)得Y=1.3X-0.2,当X=11时,Y=1.3×11-0.2=14.1<15,故不需要更换机床. 学科网（北京）股份有限公司 $