6.3.1 离散型随机变量的均值(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 【课前预习】 知识点一 1.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn　2.(2)aEX+b 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)× 知识点二 p 【课中探究】 例1　解:依题意得X的所有可能取值为0,1,2,3,4. 当X=0时,取到2个黑球,则P(X=0)==;当X=1时,取到1个黑球1个白球,则P(X=1)==;当X=2时,取到2个白球或1个红球1个黑球,则P(X=2)=+=;当X=3 时,取到1个白球1个红球,则P(X=3)==;当X=4时,取到2个红球,则P(X=4)==.∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故EX=0×+1×+2×+3×+4×=. 变式　B　[解析] 由题意可知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,因此EX=0×+1×+2×=.故选B. 例2　-2　[解析] 由题意可得+a+=1,解得a=. 方法一:EX=-2×-1×+1×=-,故E(2X-1)=2EX-1=2×-1=-2. 方法二:设Y=2X-1,则Y=2X-1的分布列为 Y -5 -3 1 P 故E(2X-1)=EY=-5×+(-3)×+1×=-2. 变式　C　[解析] 因为P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.2,所以EX=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1,所以E(2X-3)=2EX-3=2×1-3=-1.故选C. 例3　解:(1)设Ai(i=1,2)表示“第i次抽到的是优等品”,因为是不放回抽样,所以P()=P(|A1)P(A1)+P(|)P()=×+×=. (2)设X表示已销售的3件产品中不合格产品的件数,由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==. 设方案一产生的总费用为Y1,则Y1= 所以Y1的分布列为 Y1 0 280 480 P 所以EY1=0×+280×+480×=≈162.7(元). 设方案二损失的成本为Y2, 则Y2=300X,易知EX=0×+1×+2×=, 所以EY2=300×=180(元). 由于EY2>EY1,故应该将不合格产品返厂再加工, 因此应该选择方案一. 变式　投资房地产　[解析] 设购买股票的盈利为X万元,投资房地产的盈利为Y万元,则购买股票的盈利的均值EX=10×0.3+3×0.5+(-5)×0.2=3+1.5-1=3.5,投资房地产的盈利的均值EY=8×0.3+4×0.5+(-4)×0.2=2.4+2-0.8=3.6.因为EY>EX,所以应选择投资房地产. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 【学习目标】 　　通过具体实例,理解离散型随机变量的均值. ◆ 知识点一　离散型随机变量的均值 1.概念 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX=　　　　　　　　　　　为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).   2.性质 若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则 (1)Y也是随机变量; (2)E(aX+b)=　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　 ) (2)若随机变量X的数学期望EX=2,则E(2X)=4. (　 ) (3)若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,则随机变量X的均值EX=. (　 ) ◆ 知识点二　两点分布的均值 一般地,如果随机变量X服从参数为p的两点分布,那么EX=0·(1-p)+1·p=　　　　.   ◆ 探究点一　离散型随机变量的均值 例1 袋中有除颜色外完全相同的4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,取到一个黑球得0分,取到一个白球得1分,取到一个红球得2分,用X表示所得分数,求X的均值. 变式 [2024·天津新四区高二期末] 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者,若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望EX= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. [素养小结] 求离散型随机变量的均值的一般步骤: (1)确定取值:理解离散型随机变量X的意义,写出离散型随机变量X的所有可能的取值x1,x2,…,xn,…; (2)求概率:计算出P(X=xi)(i=1,2,…,n,…); (3)写分布列:写出X的分布列; (4)求均值:利用均值的计算公式计算EX. 其中写出离散型随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在. ◆ 探究点二　均值的性质 例2 随机变量X的分布列如下表所示,则E(2X-1)=　　　　.  X -2 -1 1 P a 变式 已知X为离散型随机变量,且P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.6,P(X=2)=0.2,则E(2X-3)= (　 ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 [素养小结] 若给出的离散型随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数,则求Eξ有两种思路: (1)先求出EX,再利用公式E(aX+b)=aEX+b求Eξ; (2)利用X的分布列得到ξ的分布列,关键是由X的取值计算ξ的取值,对应的概率相等,再由定义法求得Eξ. ◆ 探究点三　均值的实际应用 例3 某工厂生产的10件产品中有8件优等产品,2件不合格产品. (1)若从这10件产品中不放回地抽取两次,每次随机抽取一件,求第二次抽到的是不合格产品的概率. (2)某工作人员在不知情的情况下,从这10件产品中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商,现该工厂针对3件已销售产品中的不合格产品提出以下两种处理方案: 方案一:将不合格产品返厂再加工,不合格产品的再加工费用为每件200元,所有返厂产品的运输费用总计80元; 方案二:将不合格产品就地销毁,每件不合格产品损失成本300元. 若以返厂再加工费用与运输费用之和的均值以及就地销毁损失成本的均值为决策依据,要使损失最小,应选择哪种方案处理不合格产品? 变式 某人有10万元准备用于投资房地产或购买股票,可能的盈利情况如下表.如果以盈利的均值为决策依据,那么应选择的投资方案是　　　　　.  盈利状况 方　案 盈利(万元) 概率　　　　　　　 购买股票 投资 房地产 巨大成功 0.3 10 8 中等成功 0.5 3 4 失败 0.2 -5 -4 [素养小结] 1.实际问题中的均值问题 均值在实际问题中有着广泛的应用,如在成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测等问题中,都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 (1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型以及所用的公式; (2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值; (3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $