7.2.1 相关系数&7.2.2 成对数据的线性相关性分析(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 成对数据的线性相关性 1 2.1 相关系数 2.2 成对数据的线性相关性分析 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 相关系数 探究点二 成对数据的线性相关性分析 探究点三 非线性回归模型的应用 3 【学习目标】 1.结合实例,了解样本相关系数的统计含义,了解样本相关系数与标准化数据 向量夹角的关系. 2.结合实例,会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 4 知识点 相关系数 1.定义:一般地，设随机变量，的组观测值分别为,, , , 其中,, ,和,, ,的均值分别为和 ,记 ,则称为随机变量和 的样本 （线性）相关系数,其中,当时,称两个随机变量正相关,当 时,称两个随 机变量负相关. 2.样本相关系数与成对数据线性相关性强弱的关系: _______,值越接近1,随机变量之间的线性相关程度______; 值越接近0, 随机变量之间的线性相关程度______. 越强 越弱 课 前 预 习 5 【诊断分析】（1） 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） ①样本相关系数 的符号反映了相关关系的正负性.( ) √ ②一般地,样本容量越大,用样本相关系数估计两个随机变量的线性相关性的效果 越好.( ) √ ③ 表明两个随机变量不存在相关关系.( ) × 课 前 预 习 6 （2）5名学生的数学和物理成绩（单位：分）如下表： 学生 成绩 学科 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，并判断它们是否具有相关关系.如果具有相关关系，是正相关，还 是负相关？ 解：把数学成绩作为横坐标，相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描 点 ，作出散点图（图略）. 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且数学成绩和物理 成绩正相关. 课 前 预 习 7 探究点一 相关系数 例1 某统计部门对四组数据进行统计 分析后,获得如图所示的散点图,下列关 于样本相关系数的比较正确的是( ) C A. B. C. D. 课 中 探 究 8 变式 在如图所示的散点图中，若去掉点 ，则下列说法正确的是( ) D A.样本相关系数 变大 B.变量与变量 的线性相关程度变弱 C.变量与变量 正相关 D.变量与变量 的线性相关程度变强 [解析] 由散点图知，变量与变量负相关，即，故C错误； 去掉点 后，进一步接近1，所以变小，故A错误； 去掉点后，与 的线性相关程度变强，故B错误，D正确. 故选D. 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 利用样本相关系数 判断两个随机变量之间线性相关程度的步骤: （1）利用公式计算样本相关系数 ; （2）用样本相关系数 的绝对值的大小判断两个随机变量之间的线性相关程度. 课 中 探 究 10 探究点二 成对数据的线性相关性分析 例2 某校高三（1）班的学生每周的数学学习时间单位:与数学平均成绩 （单位:分）的数据如下表所示. 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 （1）画出散点图; 课 中 探 究 11 解:根据表中的数据画出散点图,如图. 课 中 探 究 12 （2）请判断数学学习时间与数学平均成绩之间的相关关系的类型、相关程度和 变化趋势的特征. 解：从（1）中散点图可知,数学学习时间与数学平均成绩之间线性相关. 由已知数据求得,,, , ,所以样本相关系数 . 由样本相关系数知,数学学习时间与数学平均成绩之间正相关,因为 与1 接近,所以数学学习时间与数学平均成绩之间的线性相关程度很强,且随着数学学 习时间的增加,相应的学习成绩升高. 课 中 探 究 13 变式 通过随机抽样得到的7名幼儿的智力测验成绩和阅读能力测验成绩 的 一组数据如下: 智力测验成绩 110 120 90 100 140 95 105 阅读能力测验成绩 80 85 75 80 90 85 78 则7名幼儿的智力测验成绩与阅读能力测验成绩的样本相关系数约为_____. （计算结果保留两位小数） 0.78 课 中 探 究 14 [解析] 由题得 , , ， ， , , 名幼儿的智力测验成绩与阅读能力测验成绩的样本相关系数约为0.78. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 判断变量的相关性通常有两种方式:一是散点图;二是样本相关系数 .前者只能粗 略地说明变量间具有相关性,而后者能从定量的角度分析变量相关性的强弱. 课 中 探 究 16 探究点三 非线性回归模型的应用 例3 [2024·广东东莞高二期末] 某公司近5年的产品研发年投资额 （单位：百 万元）与年销售量 （单位：千件）的数据统计表如下： 年投资额 1 2 3 4 5 年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5 （1）根据上表数据画出年投资额与年销售量 的散点图； 课 中 探 究 17 解：散点图如下： 课 中 探 究 18 （2）该公司计划用作为年销售量关于年投资额 的回归方程类型， 并对年销售量取自然对数，得到如下数据表 年销售量 0.5 1 1.5 3 5.5 0 0.4 1.1 1.7 请根据表中数据，建立关于 的非线性回归方程. 课 中 探 究 19 解：由得，令，得 . 由已知得， ， ， ， 则 ， ， 所以，即， 故年销售量关于年投资额 的非线性回归方程为 . 课 中 探 究 20 变式 若某公司要确定下一年度投 入某种产品的宣传费,需了解年宣传 费（单位:千元）对年销售量 （单位:吨）和年利润 （单位:千元） 的影响.对近8年的年宣传费 和年销 售量 的数据进行初步 处理,得到如图所示的散点图及下表所示的一些统计量的值. 课 中 探 究 21 46.6 563 6. 8 289.8 1.6 1469 108.8 表中, . （1）根据散点图判断，与 哪一个模型更适宜作为年销售 量关于年宣传费 的回归方程类型?（给出判断即可,不必说明理由） 解:由题中所给散点图可以判断,更适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类型. 课 中 探 究 22 （2）根据（1）的判断结果及表中数据,建立关于 的回归方程. 解：令,则可转化为，则与 之间为线性相关 关系. 则 , , 所以,因此 . 课 中 探 究 23 （3）已知这种产品的年利润与,的关系为 .根据（2）的结果回 答下列问题: （ⅰ）当 时,预测年销售量及年利润分别是多少? 解： 由（2）知,当时, （千元）, （千元）. （ⅱ）年宣传费为多少时,年利润的预测值最大? 解： 由（2）知, , 所以当 ,即时, 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时,年利润的预测值最大. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 求解非线性回归方程的一般步骤: （1）画散点图:通过观察散点图并与学过的函数（幂函数、指数函数、对数函 数、二次函数）图象进行比较,选取拟合效果好的函数模型; （2）变量置换:通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题; （3）求解线性回归方程，进而得原变量的非线性回归方程. 课 中 探 究 25 $