专题 02 空间向量破解立体几何综合问题（高效培优专项训练）数学北师大版高二选择性必修第一册

专题 02 空间向量破解立体几何综合问题 题型一：空间向量基础与逻辑命题辨析 题型二：几何体小题（平行、垂直判定） 题型三：空间几何度量小题（截面、体积、外接球） 题型四：向量法解答证明大题 题型一：空间向量基础与逻辑命题辨析 1．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 若与相交，说明既不平行于，也不在内，因此不垂直于，可得，充分性成立. 若，说明不垂直于，因此既不平行于，也不在内，故一定与相交，必要性成立. 因此“与相交”是“”的充要条件. 2．直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】选项，若直线，直线的方向向量平行于平面，而平面的法向量，因此，故正确. 选项，若直线方向向量，则直线，不是，故错误. 选项，若平面，则两个平面的法向量，故错误. 选项，若直线，则直线的方向向量与平面的法向量平行，不是垂直，故错误. 故选：. 3．下列结论正确的是（   ） A．已知向量，，则向量在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 【答案】AC 【分析】应用投影向量定义计算求解判断A，应用系数间关系判断四点共面判断B，应用基底的定义判断C，根据空间向量证明线面关系判断D. 【详解】A，向量在上的投影向量，故A正确； B，由，则四点不共面，故B不正确； C，是空间的一组基底，不共面，且， 令，显然无解，也是空间的一组基底，故C正确； D，由题设，而直线与平面的位置关系不定，则或，故D不正确. 4．给出下列命题，其中是真命题的是（   ） A．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B．若3个空间向量满足且，则 C．若空间向量满足，则是钝角． D．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 【答案】AD 【分析】根据空间中基底的性质，分析可判断A的正误；根据空间中向量的位置关系，分析可判断B的正误；根据数量积公式，分析可判断C的正误；根据四点共面的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：假设共面，则存在实数，使得， 整理得， 因为是空间的一个基底，所以不共面， 则，不成立，故假设错误，即不共面， 所以也是空间的一个基底，故A正确； 选项B：因为为空间向量，且满足，， 所以与可能平行，也可能相交，无法确定，故B错误； 选项C：若夹角为，，满足，但不是钝角，故C错误； 选项D：因为，且， 所以P，A，B，C四点共面，故D正确. 5．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③ 【分析】由三棱锥体积公式可判断①正确，由空间直角坐标系面面垂直定理可判断②错误，由余弦定理判断③正确，由立体几何证明可判断④正确. 【详解】对于①：三棱锥的底面积为， 所以三棱锥的体积，为定值；结论①正确. 对于②：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，因为，， 设平面的法向量为，则， 取得； 因为，，平面的法向量为， 则，取得； 因为两平面垂直等价于法向量垂直，所以，可得， 判别式，无实根， 所以不存在点，使得平面平面，结论②错误； 对于③：计算三边长度的平方，， ， ， 所以，所以中最大， 因为， 所以最大角为锐角，因此为锐角三角形，结论③正确； 对于④：记，连接， 平面，平面，所以， 所以点到的中点距离等于，为定值，所以点的轨迹不可能是线段，结论④错误. 6．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量法可解. 【详解】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 7．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据条件可得，即可判断出结论. 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 故选：A 8．在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．AD∥平面 B．ED∥ C．BC⊥平面 D．ED⊥ 【答案】AC 【分析】对 A，利用正三棱台上下底面平行的性质，结合线面平行判定证明 ；对 B，由与异面可判断与为异面直线；对C，由线面垂直判定定理可证⊥ 平面 ，用基底表示，由数量积判断D. 【详解】对于选项A：正三棱台的上下底面互相平行，即平面平面，又平面，平面， 根据面面平行的性质，可得平面，A正确； 对于选项B：在侧棱上，在上，因为是异面直线，所以与是异面直线，B错误； 对于选项C：是正三角形，是中点，故； 因为正三棱台是由正三棱锥利用平行于底面的截面截去小三棱锥得到，所以, 因为、都在平面内， 且垂直于平面内两条相交直线、，故平面，C正确； 对于选项D：，设， 则 ，因为、都是锐角，所以，D错误. 【点睛】 本题围绕正三棱台的结构特征，综合考查面面平行→线面平行的判定、异面直线的位置关系、线面垂直的判定定理，以及向量法判断线线垂直，是立体几何中 “平行与垂直” 核心考点的典型应用. 9．如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 10．如图，在棱长为2的正方体中，点G为线段上（含端点）的一个动点，则下列说法正确的有（   ） A．直线与异面 B． C．三棱锥的体积是定值 D．不可能是 【答案】ACD 【分析】对于A，根据异面直线的判定定理判断即可；对于BD，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量判断即可；对于C，先证明平面，再结合棱锥的体积公式判断即可. 【详解】对于A，平面平面，平面，， 由异面直线的判定定理可知直线与异面，故A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 则，故不垂直，故B错误； 对于C，在正方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 而点G为线段上（含端点）的一个动点， 则点G到平面的距离即为到平面的距离，为定值，而的面积为定值， 结合三棱锥的体积公式可知，三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，设，则， 所以， 则不可能垂直，即不可能是，故D正确. 题型二：几何体小题（平行、垂直判定） 1．在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A、B和C，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，利用直线与平面位置关系的向量法，即可求解；对D，利用面面平行的性质，即可求解. 【详解】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以 设平面的一个法向量为， 则，取，则，所以， 又易知，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误， 对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误， 对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为， ，则， 又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误， 对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，则直线平面，所以D正确， 2．如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图建立空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，所以MN与平面ABC不平行，故A错误； 对于B，如图连接交于点，连接， 根据正方形的性质可知是的中点 又是的中点，所以，又平面，平面， 所以平面ABC，故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系： 则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，所以MN与平面ABC不平行，故C错误； 对于D，如图建立空间直角坐标系： 则， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 所以，又平面， 所以平面ABC，故D正确. 3．在长方体中，，，动点在棱上，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．三棱锥的体积是定值 D．若，则的长为1 【答案】BCD 【详解】对于 A，因为 ，，所以 与 不平行，故 A 错误； 对于 B，以 为原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 如图所示： 设 ，则 ，，，，， 所以 ，故 ，B 正确； 对于 C，点 到平面 的距离为 ，三棱锥 的体积 ，是定值，故 C 正确； 对于 D，，，则 ，解得 ， 所以的长为1，故 D 正确. 4．在棱长为2的正方体中，是的中点，是线段上的动点，且，则（   ） A．当时， B．的最小值为 C．的最小值为 D．当四点共面时， 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直、空间中两点间的距离公式以及二次函数性质和空间向量基本定理逐项分析即可. 【详解】由题意知，以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，， 因为在上，且，所以， 所以，即， 对于A，当时，，此时， 由，所以， 即，故A正确； 对于B，由, ， 当时，， 所以的最小值为，故B错误； 选项C，由， , 所以，所以， 由， 当时，， 所以的最小值为，所以的最小值为，故C正确； 对于D，由， 若四点共面，则可以由线性表示， 即存在有序实数对，使得， 即， 所以有，故D错误. 5．在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】设，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面的法向量，根据数量积公式，可判断A、C的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误. 【详解】取AC中点O，中点，连接，设， 因为正三棱柱，所以两两垂直， 以O为原点，为轴正方向建系，如图所示， 则 ， 所以 ， 选项A：设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 则，所以与平面不平行，故A错误； 选项B：连接，因为正三角形ABC，所以， 又正三棱柱，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故B正确； 选项C：，所以，则，故C正确； 选项D：因为，所以与不平行， 所以与平面不垂直，故D错误. 6．已知正三棱柱的各棱长均为2，分别为棱，的中点，为上底面内一动点（包括边界），则（   ） A． B．平面 C．平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【分析】利用面面垂直和线面垂直性质定理判断A选项；建立空间直角坐标系利用向量法判断B、C选项，最后利用锥体体积公式判断D选项. 【详解】对于A，如图所示： 在正三棱柱中， 平面平面，且平面平面， 在等边中，是棱的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，取的中点连接，在正三棱柱中， 由四边形为正方形，且是棱的中点， 所以，又平面，所以平面， 又，所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：      由正三棱柱的各棱长均为2， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，所以， 由， 所以，所以平面，故B正确； 对于C，由B选项知， 此时， 所以不平行于平面，故C错误； 对于D，因为为上底面内一动点（包括边界）， 所以点到平面的距离为即为三棱锥的高， 所以为定值，故D正确. 7．如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 【答案】BC 【分析】利用基底来表示空间向量，结合向量的线性运算和空间向量共面定理，即可作出推断. 【详解】 设， 则， 所以， 要使得P在直线上，则， 则满足，解得， 这与已知条件相矛盾，故A错误； 当时，，则， 要使得P在平面内，则满足， 因为则， 所以，解得，即存在满足，故B正确； 当时，， 所以共面，且它们有公共点，即可得平面， 又因为平面平面，所以平面，故C正确； 要使得平面，则只需要证明平面， 即假设存在使得：， 又因为，所以， 因为，即不存在x，y，使得平面，故D错误. 8．在所有棱长都相等的直四棱柱中，，分别是，的中点，且，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】AB 【分析】通过三角形全等确定，可判断A，通过可判断B，通过可判断C，通过可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，所以. 又因为为的中点，所以，故A正确； 对于B：因为，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C：由题可知，，所以与不平行，故C错误； 对于D：因为，，， 所以. 设，则，， 所以 ， 所以与不垂直.又因为平面， 所以与平面不垂直，故D错误. 9．已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（   ） A．当为棱的中点时， B． C．若直线平面，则 D．若，则球的表面积为 【答案】ACD 【分析】对A：借助空间向量线性运算法则计算即可得；对B：设该三棱台高为，建立适当空间直角坐标系后可表示出、，再利用向量坐标运算即可得；对C：求出平面的法向量及向量后计算即可得解；对D：可计算出，从而得到、坐标，再设出球心坐标，利用外接球性质计算可得球心及该球半径，再利用球的表面积公式计算即可得. 【详解】对A：当为棱的中点时，， 则，故A正确； 对B：以为原点，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设该三棱台高为，则、、， 设该三棱台上下底面中心为、，作底面于点， 则，，， 则，，故， 则，， 则，故B错误； 对C：、， 设平面的法向量为， 则有， 取，则，，即， 、、， 则， 则， 由直线平面，则， 即， 故，故C正确； 对D：若，则， 则，， 由正三棱台性质，可设球心坐标， 则，即有， 解得，则， 故球的表面积为，故D正确. 10．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 【答案】AC 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，求出平面的一个法向量，利用求解即可； 对于B，利用求解即可； 对于C，若与相交，则存在唯一使得即可求解； 对于D，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 对于A，当时，，在上，则， 则，， 设平面的一个法向量，则 取，则，即， ，若平面，则， 即，故存在，故A正确； 对于B，当时，，，， 若，则， 即， 不满足，故B 错误； 对于C，当时，，， 若与相交，则存在唯一使得， 即：， 解得，故 C 正确； 对于D， 因为底面是直角三角形，外接圆半径​​， 因为平面，设外接球半径为，则： ， 三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为​，故D错误， 题型三：空间几何度量小题（截面、体积、外接球） 1．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】A 【分析】以为原点建系，设平面α交侧棱PD于点M，根据共面定理得出，再根据坐标计算得出点的坐标，再根据对角线互相垂直求出面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面α交侧棱PD于点M， 令，则，则， 由，，则， 所以，， 由题意，M，E，B，F四点共面， 所以存在实数，使得 ， 则，解得， 所以. 则，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为. 2．在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系并标出点，分别求平面、平面、平面的法向量，根据线面关系求点的坐标，再结合台体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为，则， 设的重心分别为， 可知为正三棱台的高，即， 则三棱台的体积. 取的中点，过点与平行的直线与交于点， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 可得，，， 因为分别为侧棱，的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设，则，， 由题意可得：，解得， 即，则三棱锥的体积； 所以三棱台与三棱锥的体积之差为. 3．已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过空间直角坐标系法求解，利用坐标定位各顶点，再根据外接球心到各顶点距离相等的性质列方程求解. 【详解】由为等腰直角三角形（，），得， 由为等腰三角形（，），用余弦定理： 验证ABBD：，故， 又，，得平面； 建立空间直角坐标系，，（在轴，在轴），点：由几何关系，可以得，过点作轴的垂线，依据勾股定理自然可得； 设外接球心为，则， 由：， 由：， 由：， 化简得； 因此，球心，半径：， 故选：B 4．已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则下列说法正确的是（   ） A．二面角的大小为时，平面平面 B．在折起的过程中，存在某个位置使 C．时，三棱锥的体积为 D．三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，设，则可表示出各点坐标；对A：由二面角定义可得，则可求出平面与平面的法向量，再利用数量积公式判断其数量积是否为即可得；对B：表示出、后，通过数量积公式判断其数量积能否为即可得；对C：表示出、后，利用可得点坐标，再利用体积公式计算即可得解；对D：表示出体积后即可得三棱锥的体积最大时的点坐标，再设出三棱锥外接球的球心，借助外接球定义计算即可得外接球球心坐标及其半径，再利用球体表面积公式计算即可得解. 【详解】由，四边形为菱形， 则、、均为等边三角形， 取中点，以为原点，建立如下图所示空间直角坐标系，设， 则、、、、； 对A：由、均为等边三角形，则、， 由平面平面，故即为二面角的平面角， 即，故， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 取，则，，， 故、， 则，故与不垂直， 故平面与平面不垂直，故A错误； 对B：，， 令，则， 故在折起的过程中，存在某个位置使，故B正确； 对C：，， 时，有，则， 则，即， 则三棱锥的体积为，故C正确； 对D：三棱锥的体积为， 则当时，三棱锥的体积最大，此时， 设其外接球的球心为，半径为， 则有，解得， 故其外接球的表面积为，故D正确. 5．如图，在正四棱柱中，，，P为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．若Q为的中点，则 D．三棱锥外接球的体积为 【答案】AD 【分析】ABC选项，建立空间直角坐标系，利用向量判断线面平行和线线垂直；D选项，三棱锥外接球转化为正四棱柱的外接球，可求体积. 【详解】以为原点，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，则有， ， A选项，，有，平面，平面， 所以平面， ，同理可得平面， ，平面，所以平面平面， 直线平面，所以直线平面，A选项正确； B选项，，，直线与直线不垂直 所以直线不垂直于平面，B选项错误； C选项，Q为的中点，则，， P为线段上一动点，设， 则， ，不恒为0，与不恒垂直，C选项错误； D选项，三棱锥的外接球就是正四棱柱的外接球， 正四棱柱的体对角线就是外接球的直径，，， 所以三棱锥外接球的体积，D选项正确. 6．在长方体中，，为的中点，为线段上的动点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A． B．三棱锥的体积是定值 C．球与该长方体的公共部分的体积为 D．的周长的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，根据条件建系，设，利用向量的坐标运算求得，由求出即可判断；对于B，通过证明平面，推得点到平面的距离为定值，结合为定值，即可判断；对于C，取的中点，证明，即得为经过 四点的球面的球心，结合点的位置可得该球与长方体公共部分的体积为球体积的，计算即可判断；对于D，根据，且，可得点与点关于平面对称，故有 ，要使的周长最小，只需使取最小值，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可判断结论. 【详解】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知，则，. 可得， 设，则. 因为平面过点与直线垂直并交于点，所以， 又，则， 化简得：，解得，即，可得，故A错误； 对于B，在长方体中，易得，因，则平面， 又因，则点到平面的距离为定值，而点的位置固定，即的面积为定值，故三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，由，则，又在平面上的射影为， 在正方形中，，故，即点为的交点， 下面证明的中点即经过 四点的球的球心. 如图，因是的中点，则，由上分析已得， 又，则，即， 故的中点即经过 四点的球面的球心， 由图知，该球与长方体公共部分的体积为球体积的，即，故C正确； 对于D，因的周长为，因为的中点，则， 于是，依题意，只需求的最小值. 由上分析知点与点关于平面对称，为平面内的动点，则，， 因点与点在平面的两侧，故当且仅当三点共线时，取得最小值为， 此时，的周长取得最小值.故D正确. 故选：BCD 7．已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B． C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】画出图形，连接交于点，连接交于点，连接，结合图形分析得出为四棱台的高，然后过点作交于，通过已知条件结合勾股定理计算即可得出选项A，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断B，结合题意计算四棱台上下底面面积和侧面积即可得出选项C，设出球的方程，代入坐标解方程可得球的半径，再利用球的表面积公式判断D即可. 【详解】对于A，如图，连接交于点，连接交于点，连接， 则在正四棱台中有， 可得平面，故为四棱台的高， 由平面，所以， 过点作交于，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 在正四棱台中，由， 所以，则， 则， 在直角三角形中，， 得到四棱台的高为，故A正确； 对于B，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 而，得到不成立，故B错误， 对于C，由题意得该四棱台的表面积拆分如下， ①正四棱台的上下两个正方形的面积： 设上下两个面的面积分别为，则， ②正四棱台的侧面积，在等腰梯形中，如图所示： 过分别作垂直于交于点， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 则， 所以等腰梯形的面积如下， 为， 所以正四棱台的侧面积为， 得到四棱台的表面积为，故C正确， 对于D，设外接球的方程， 将代入方程，得到， 将代入方程，得到， 两式相减得，解得， 此时变为， 将代入方程，得到， 两式相减可得，解得， 此时变为， 将代入方程，得到， 两式相减得，解得，则， 由球的表面积公式得表面积为，故D正确. 故选：ACD 8．在正四棱柱中，，P是正四棱柱内（含表面）的一个动点，且，则点P的轨迹将四棱柱分成的两部分中，较小部分与较大部分的体积比为_________． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设，由条件求点的轨迹方程，再结合体积公式求两部分的体积即可. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，，则， 由，则，设，由题意可知，， 则，由， 则，即， 故P的轨迹为矩形，令，得，令，得， 即矩形顶点为， 如图所示，易得所形成的图形将四棱柱分成一个三棱柱 和一个四棱柱， 三棱柱的体积为， 正四棱柱的体积为， 则． 9．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明如下： 正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． (2)证明如下： 由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）略 （2）略 10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 【答案】因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 则，可得， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形，有， 平面，，所以平面， 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 【分析】建系并标点，可证平面，所以为面的法向量，利用空间向量证明线面平行. 【详解】略 题型四：向量法解答证明大题 1．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为平面底面，为等边三角形， 所以底面． 以的中点为坐标原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则，． 所以，，，． 所以，． 因为， 所以，所以． (2)取的中点，连接， 则． 因为，， 所以， 所以，即． 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． 【分析】第（1）问先建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用向量数量积为零证明线线垂直； 第（2）问取中点构造向量，证明该向量与平面内两条相交直线垂直，从而得到线面垂直，再推出面面垂直. 【详解】（1）略 （2）略 2．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】略 3．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 【答案】证明:因为平面，平面， 所以，又， 故可以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为， 所以， 又因为是的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则有，取，则， 所以，所以， 所以直线平面. 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，写出相关点的坐标，求出向量和平面的一个法向量，利用即可证明； 【详解】略. 4．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 【答案】(1) 证明：在正方体中，以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. (2) 证明：设，，，则.则. ∴. ∴，即. 同理.∵，平面， ∴平面. (3) 证明：在正方体中，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1， 则，，，，， 设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，，设平面的一个法向量为， 由令，则，，即. ，即， 所以平面平面． 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答. （2）设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可. （3）建立坐标系，结合空间向量分别求出法向量，再根据面面垂直空间向量证法可证结论； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】 证明：由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】略 6．如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 【答案】 证明：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 由已知：，得． 在上且，故，. 为中点，则．计算向量：． ， . 又，平面，故平面． 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证，进而利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】略 7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】略 8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明:依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． 【详解】略. 9．已知正三棱柱的底面边长为为中点． (1)若，证明：平面； (2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 【答案】(1)证明： 连接，，且，连接， 因为在正三棱柱中， 底面边长为2，， 所以侧面都是边长为2的正方形， 所以在正方形中，， 又因为，为中点， 所以为等腰三角形，是底边中线， 所以， 又因为，面，且， 所以面. (2) 【分析】（1）利用正方形和等腰三角形性质证明垂直于平面内两条相交直线，. （2）法一：通过几何平行关系，将所求线面角转化为棱与底面夹角，再在三角形中解出侧棱长，进一步求解体积；法二：通过建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦公式列方程求侧棱长，进一步求解体积. 【详解】（1）略； （2）法一：几何法 连接，由可得：， 记与平面所成角为，由于平面， 是在平面上的投影，则， 根据线面角的定义，， 在中，由且，则， 由勾股定理得：， 所以. 法二．向量法 以为坐标原点，为轴，为轴，过作轴垂直，建立空间直角坐标系， 设，结合图形对称性可知：，， 则，由题可知平面的法向量， 记与平面所成角为， 则， 由题意可知， 即，解得：（取正）， 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 02 空间向量破解立体几何综合问题 题型一：空间向量基础与逻辑命题辨析 题型二：几何体小题（平行、垂直判定） 题型三：空间几何度量小题（截面、体积、外接球） 题型四：向量法解答证明大题 题型一：空间向量基础与逻辑命题辨析 1．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列结论正确的是（   ） A．已知向量，，则向量在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则直线 4．给出下列命题，其中是真命题的是（   ） A．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底． B．若3个空间向量满足且，则 C．若空间向量满足，则是钝角． D．若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面． 5．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点（不含端点），给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面平面； ③为锐角三角形； ④若点在平面上的投影为点，则点的轨迹为一条线段（不含端点）. 其中所有正确结论的序号是________. 6．如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 7．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 8．在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．AD∥平面 B．ED∥ C．BC⊥平面 D．ED⊥ 9．如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 10．如图，在棱长为2的正方体中，点G为线段上（含端点）的一个动点，则下列说法正确的有（   ） A．直线与异面 B． C．三棱锥的体积是定值 D．不可能是 题型二：几何体小题（平行、垂直判定） 1．在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线平面ABC的是（  ） A． B． C． D． 3．在长方体中，，，动点在棱上，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．三棱锥的体积是定值 D．若，则的长为1 4．在棱长为2的正方体中，是的中点，是线段上的动点，且，则（   ） A．当时， B．的最小值为 C．的最小值为 D．当四点共面时， 5．在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 6．已知正三棱柱的各棱长均为2，分别为棱，的中点，为上底面内一动点（包括边界），则（   ） A． B．平面 C．平面 D．三棱锥的体积为定值 7．如图，已知平行六面体，若空间中一点P满足，其中，则（   ） A．存在x，y，使得P在直线上 B．当时，P在平面内 C．当时，平面 D．存在x，y，使得平面 8．在所有棱长都相等的直四棱柱中，，分别是，的中点，且，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 9．已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（   ） A．当为棱的中点时， B． C．若直线平面，则 D．若，则球的表面积为 10．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（    ） A．当时，存在，使得平面 B．当时，存在，使得 C．当，且与相交时， D．三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 题型三：空间几何度量小题（截面、体积、外接球） 1．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 2．在高为5的正三棱台中，，分别为侧棱，的中点，记平面、平面、平面交于点，则三棱台与三棱锥的体积之差为（    ） A． B． C． D． 3．已知四面体满足均为等腰三角形，若，则该四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则下列说法正确的是（   ） A．二面角的大小为时，平面平面 B．在折起的过程中，存在某个位置使 C．时，三棱锥的体积为 D．三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 5．如图，在正四棱柱中，，，P为线段上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．若Q为的中点，则 D．三棱锥外接球的体积为 6．在长方体中，，为的中点，为线段上的动点，过点且与直线垂直的平面交于点，交于点为内的动点，四点均在球的表面上，则（） A． B．三棱锥的体积是定值 C．球与该长方体的公共部分的体积为 D．的周长的最小值为 7．已知正四棱台中，，则下述正确的是（    ） A．该四棱台的高为 B． C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 8．在正四棱柱中，，P是正四棱柱内（含表面）的一个动点，且，则点P的轨迹将四棱柱分成的两部分中，较小部分与较大部分的体积比为_________． 9．如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．当时，证明：平面． 题型四：向量法解答证明大题 1．如图所示，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． (1)证明：； (2)证明：平面平面． 2．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 3．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点，求证：直线平面； 4．在正方体中，，，M分别是，，的中点，求证： (1)． (2)平面. (3)平面平面． 令正方体棱长为1，则， 于是， 有， 因此，所以. 5．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 6．如图，在三棱锥中，平面，，，，是棱上一点，且，为棱的中点．证明：平面； 7．如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 8．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 39．已知正三棱柱的底面边长为为中点． (1)若，证明：平面； (2)若与交于点与交于点，直线与平面夹角的余弦值为，求三棱柱的体积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $