4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册配套课件（人教A版）

4.1 数列的概念 1 第2课时 数列的递推公式与前 项和 2 探究点一 递推公式 探究点二 数列的前项和 探究点三 利用数列的前项和求通项 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.会用递推公式表示数列,能根据数列的递推公式写出数列的前几项. 2.了解数列的前项和,并能利用与 的关系解决一些简单问题. 4 知识点一 数列的递推公式 概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个式子叫作这个数列的__________. 作用：知道了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项. 递推公式 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）所有的数列都有递推公式.( ) × [解析] 不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1，， ， ， 的近似值组成的数列为1，，，， ，该数 列没有递推公式. 课 前 预 习 6 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）数列的递推公式是关于 的函数关系式.( ) × [解析] 由递推公式的定义知，递推公式就是表示数列的相邻两项或 多项之间的关系式.数列的递推公式不是关于 的函数关系式. （3）已知数列满足，，则 .( ) √ [解析] 由条件可得 . 课 前 预 习 7 2.仅由数列的递推公式 能否确定这个 数列?若再已知 呢? 解：仅由数列的递推公式 只能知道 ,无法确定这个数列. 若再已知,则可以确定这个数列为1,3,9,27, ,, . 课 前 预 习 8 知识点二 数列的前 项和 1.概念及表示 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列 的 前项和，记作，即 ________________. 2.数列的前 项和公式 如果数列的前项和与它的序号 之间的对应关系可以用一个 ______来表示，那么这个______叫作这个数列的前 项和公式. 式子 式子 课 前 预 习 9 3. 数列的通项公式与前项和的关系在数列中，为其前 项和，显然，而,于是 ___， , __________， 课 前 预 习 10 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若数列的前项和，则, .( ) √ [解析] . （2）若数列的前项和，则 .( ) × [解析] 当时，，当 时， ，则 课 前 预 习 11 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）若数列的前项和为，则 . ( ) √ [解析] . 课 前 预 习 12 探究点一 递推公式 例1 已知数列满足, ,写出它的前5项,并归纳出 数列 的一个通项公式. 解:,,, , , , 数列的前5项依次是1,,,, . 数列的前5项可写成,,,,,故数列 的一个通项公 式为 ，经检验，满足题意. 课 中 探 究 13 变式 试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项. (1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*; 解:因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*, 所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16, 因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16. (2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*. 解:因为a1=2,an+1=2-,其中n∈N*,所以a2=2-=2-=,a3=2-=2-=, a4=2-=2-=,a5=2-=2-=,因此,数列{an}的前5项依次为2,,,,. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ （1）递推公式的作用：已知数列的某一项，利用递推公式可以写出 数列的每一项.对于具有周期性的数列，一般利用递推公式写出几项 就能发现其周期变化规律. （2）递推公式与通项公式的区别：递推公式揭示了数列的相邻项之 间的关系，已知前面的项可以递推出后面的项；通项公式揭示了项 与其序号之间的关系，把序号代入通项公式可以直接求出该项. 课 中 探 究 15 （3）某些用递推公式给出的数列，写出数列的前几项后，由前几项 分析其特点、规律，即可归纳总结出数列的一个通项公式. （4）形如或 的递推关系，可以利用累 加法或累乘法求出通项公式. 课 中 探 究 16 拓展（1）已知数列满足，且，则 ( ) A.1 B.3 C.9 D. [解析] 方法一： . 方法二：由，可得, .故选B. √ 课 中 探 究 17 （2）[2026·云南昭通高二质检] 数列{an}中,a1=,an+1=, 则a2026=　　　　.  [解析]因为a1=,an+1=,所以a2==7,a3==-,a4==-, a5==,…,所以数列{an}是周期为4的数列,所以a2026=a506×4+2=a2=7. 7 课 中 探 究 18 探究点二 数列的前 项和 例2（1）［2025·蚌埠高二联考］设数列的前项和 ， 则 的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 [解析] 由数列的前项和 ，得 .故选A. √ 课 中 探 究 19 （2）已知数列的通项公式为，则数列 的前3项和 ____. 10 [解析] 因为，所以，， ， 所以 . 课 中 探 究 20 变式（1）数列{an}满足3a1+32a2+…+3nan=4n2,则a4=　　　　.  [解析]由3a1+32a2+…+3nan=4n2,可得当n=3时,3a1+32a2+33a3=4×32=36, 当n=4时,3a1+32a2+33a3+34a4=4×42=64,两式相减得34a4=64-36=28, 解得a4=. 课 中 探 究 21 （2）已知数列的前项和为,且,若 ，则 ______. [解析] 由，，得，解得，故 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 对于已知数列的前<m></m>项和公式求数列的某一项问题，主要利用定义解决. 课 中 探 究 23 探究点三 利用数列的前 项和求通项 例3 下面给出了数列的前项和，求 的通项公式. （1） ； 解：当时，. 当 时， . 也适合上式， . 课 中 探 究 24 例3 下面给出了数列的前项和，求 的通项公式. （2） . 解：, . 当时， . 当时，, 课 中 探 究 25 变式（1）［2025·榆林高二调研］已知数列的前项和为 ，若 ，则数列 的通项公式是( ) A. B. C. D. [解析] ，当 时， ， 当时，，满足上式，所以 .故选B. √ 课 中 探 究 26 （2）已知数列的前项和为正整数 ，则此数列的 通项公式为 _ ______________. [解析] 因为数列的前项和为正整数 ， 所以当时，， 当 时，， 又 不满足上式，所以 课 中 探 究 27 ［素养小结］ 已知数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>求解通项公式时，一般先根据<m></m>求出 <m></m>，再根据<m></m>计算出当<m></m>时的通项公式，然 后验证<m></m>是否满足上式，由此决定数列<m></m>的通项公式是否需要分 段书写. 课 中 探 究 28 课后习题 29 1.符合递推公式 的数列是( ) A. B. C. D. [解析] B中数列从第2项起，后一项是前一项的 倍，符合递推公式 ，其他选项均不符合．故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 2.[2026·广西崇左高二期末]若数列的前项和 ，则 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [解析] 由，得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 3.[2026·湖北黄冈高二期末]已知数列满足 ， 则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 [解析] 因为所以 ，则 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 4.[2025·河池高二期末]已知数列满足 ， ，则数列的前5项和 ( ) A.31 B.45 C.57 D.63 [解析] 因为，且 ，所以 ，， ， ， .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递 推公式可以是( ) A.， B.,， C.,， D.,, √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 [解析] 结合题中图形易知，， ， ， ，故选B. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 6.（多选题）已知数列的前项和满足 ，则下列说 法正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 因为， 所以当 时，； 当 时，， 当时， 不符合上式. 故故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 7.已知数列的前项和为，则 ____. 66 [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 8.已知数列满足，，，则 ____. [解析] 由，得，且 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 9.（13分）已知数列中，， . （1）写出数列 的前5项； 解：由,，可得 ， ， ， . （2）猜想数列 的通项公式. 解：由前5项可猜想数列的通项公式为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 10.已知数列的前项和为，则使得最小的 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 当时，，且随 的增大而减 小，当时，，所以当时 最小.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 11.（多选题）在数列中，，， ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 由题意得， ， ，， ， ． 对于A， ，A正确； 对于B， ，B正确； 对于C， ，C错误； 对于D，由递推公式知 ， ，D正确．故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 12.已知数列中，，则 _ __. [解析] 当时，有，当 时，有 ，两式相除得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 13.已知数列中，， ，那么 ______. 2025 [解析] 由，得当 时， ， 又，故，且 ， 故，即，故 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 14.（15分）已知是数列的前项和，且 . （1）求数列 的通项公式； 解：当 时， ， 当 时，，满足上式，所以， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 14.（15分）已知是数列的前项和，且 . （2）若，求数列 中的最小项. 解： ，则 . 当时，，即，所以 ; 当时，，即，所以 . 故数列中的最小项为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 15.[2026·杭州二中高二期末]任取一个正整数，若是奇数，就将该数 乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经 过有限次步骤后，必进入循环圈 .这就是数学史上著名 的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6，根据上述运算法则 得出 ，共需经过8个步骤变成 1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数 列满足，且则 ( ) A.1 B.2 C.4 D.5 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 [解析] 因为，所以， ， ，，， ， ，， 从 开始，数列进入周期循环 ， 又 ，，所以 . 故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 16.数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现这样一个数列 ： ，它从第3项起，每一项都等于前面两项之和， 即， .若 ，则 _____. 128 [解析] ，， ， ，， . 设数列的前项和为 ，则 ，即，，得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 $