2.4 一元二次方程的应用 基础夯实练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 基础夯实练2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．有一人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（    ） A． B． C． D． 4．有一个两位数，它的数字和等于8，交换数字位置后新的两位数与原两位数之积为1612，则原来的两位数为（　　） A．26 B．62 C．26或62 D．以上均不对 5．某超市销售一种商品，其进价为每千克30元，按每千克45元出售，每天可售出300千克，为让利于民，超市采取降价措施，当售价每千克降低1元时，每天销量可增加50千克，若每天的利润要达到5500元，则实际售价应定为多少元？设售价每千克降低元，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 7．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动．设，两点移动的时间为．在，两点移动的过程中，当的长度为时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．3或4 二、填空题 9．某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为______． 10．思考：设原价为，连续增长两次，价格变为，每次增长的百分率为，那么： 第一次增长后的价格为； 第二次增长在上一次价格的基础上再乘_________，即__________________； 根据最终价格为可得方程_________． 11．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 12．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．    13．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”．如图中，于E，，若点D是边上的“豫点”，则线段的长为________． 三、解答题 14．某中学团委爱心社组织学生为高三学生进行献爱心捐款活动．初三年级第一天收到捐款1000元，第三天收到1440元． (1)求这两天收到捐款的平均增长率． (2)按照（1）中的增长速度，第四天初三年级能收到多少捐款？ 15．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    16．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 17．阅读材料，解决问题． 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数． 则第n个三角数可以用（且为整数）来表示． (1)若三角数是55，则______； (2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和； (3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由． 18．如图，正方形的边长为1，点是边上一点，过点作． (1)设以线段，为邻边的矩形的面积为，以为边的正方形的面积为，且，求的长； (2)连结，，若是的中点，交于点，连结，求证：． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C A D A C 1．【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据经过两轮传染后共有144个人患了流行性感冒，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程解题的关键． 2．【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．首先设原两位数个位数字为，则十位数字为，则原来的两位数是，交换数字位置后得到的新的两位数是，再根据新的两位数与原两位数之积为1612列出方程，再解即可． 【详解】解：设原两位数个位数字为，则十位数字为，由题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，， 则原来的两位数为62或26， 故选：C 5．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据利润公式：利润（售价进价）销量，结合降价后售价为元和销量千克，列出方程，即可作答． 【详解】解：∵售价每千克降低x元， ∴实际售价为元，每千克利润为元，每天销量为千克， 依题意，， 即， 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 设培训班共有x名同学，则每个人和人进行了合影，共次，因为甲与乙合影和乙与甲合影是同一张照片，所以每张照片被重复计算了一次，故总的合影次数为，据此列出方程即可． 【详解】解：设培训班共有x名同学， 依题意，可列出的方程， 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 8．【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键． 在中求出对角线的长度，过点作于点，用含的代数式表示出、的长度，然后在中利用勾股定理得出，根据的长度等于列方程求解． 【详解】解：在正方形中，， ． 由题意，得，， ，． 如图，过点作于点， 则由勾股定理可得，， ， ． 在中， ， ， 即， 解得，． 故在，两点移动的过程中，当的长度为时， 的值为2或4． 故选：C ． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据在1个主干上的主干为1、枝干为和小分支的数量之和是个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用代数式先表示出第一次增长后的价格，再在第一次的基础上表示出第二次增长后的价格，整理后即可得出结论． 【详解】解：第一次增长后的价格为：元， 则第二次增长后的价格为：元， 根据最终价格为可得方程：， 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，利用已知条件表示出第一次增长后价格是解题的关键． 11．【答案】11 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 12．【答案】30 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 13．【答案】或2 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“豫点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“豫点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“豫点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或2． 14．【答案】(1) (2)1728元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意把不合题意的解舍去． （1）设捐款的增长率为x，则第三天的捐款数量为元，根据第三天的捐款数量为1440元建立方程求出其解即可． （2）根据（1）求出的增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）． 答：捐款的平均增长率为． （2）根据题意得：（元）． 答：第四天初三年级能收到的捐款是元． 15．【答案】最小数为8，最大数为18 【知识点】图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 16．【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【知识点】列代数式、配方法的应用、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 17．【答案】(1)10 (2) (3) 不能，理由如下： 假设能为120，则，即 解得：， ∵n为正整数， ∴前n行的点数和不能为120． 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）直接根据题意建立方程进行求解即可； （2）根据题意得到前n行所有点数的和为，然后提取公因数2即可得到答案； （3）根据题意建立方程，求出n不是正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，即， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：10； （2）解：由题意得：前n行所有点数的和为 ； （3）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 18．【答案】(1) (2)证明：如图，连接， ∵H是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴（）， ∴， ∴． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据题意，设，则，然后根据面积公式和，列出方程求解即可得到答案； （2）连接，由线段垂直平分线的判定和性质可得，易证，可得，继而可证． 【详解】（1）解：设， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍）， ∴． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $