7.2.2 圆锥的体积（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第七章 简单几何体 7.2.2 圆锥——体积与应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在圆柱的体积之后，用等底等高的圆柱和圆锥容器装水（细沙）的实验得到圆锥的体积公式，再借助轴截面是等腰三角形这一性质，把已知的母线、高或底面周长转化为体积公式所需要的底面半径与高，最后在粮囤、量杯等实际问题中把圆柱与圆锥的体积组合使用。几个结论都以底面半径和高为共同要素，按实验结论、体积公式、条件转化、实际应用的顺序前后依赖，其中三分之一系数只在圆柱与圆锥等底等高时才成立。 本课承接圆柱的体积公式以及圆锥的底面、母线、高的定义与轴截面性质，把棱柱与棱锥的等底等高体积关系迁移到旋转体，并为球的体积、组合体体积以及后续容积与材料用量的计算奠定基础。 学情分析 学生已经掌握圆的周长与面积公式和勾股定理，也学习了圆柱的体积公式以及圆锥的底面、母线、高的定义，但容易把母线当作高代入体积公式，容易在由母线和高求半径时找错直角三角形，在容积问题中也容易把圆柱与圆锥的体积公式用反。课堂通过实验观察、公式对照、条件转化和分层练习，帮助学生先求准底面半径与高，再按公式计算并检查单位。 教学目标 1．理解等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，掌握圆锥的体积公式及其适用条件。 2．能由底面半径、直径、周长、母线和高正确求出圆锥的体积，能解决量杯、粮囤等简单的容积与材料计算问题。 3．经历由等底等高实验得到体积公式、由轴截面把已知条件转化为底面半径与高的过程，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养，形成先求准半径与高再计算的意识。 教学重难点 教学重点：圆锥的体积公式及等底等高的圆柱与圆锥的体积关系。 教学难点：在已知母线、高或底面周长时正确求出底面半径与高，并在实际情境中判断所求的量。 教学方法 实验探究法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察与思考：教师取一个装满水（细沙）的圆锥形容器，把水（细沙）全部倒入与它等底等高的圆柱形容器，并重复两次。 问题：两次倒完之后，圆柱形容器里的水（细沙）有多少？等底等高的圆锥与圆柱，它们的体积之间有什么关系？ 学生观察后猜想：圆锥的体积比圆柱小，可能正好是圆柱体积的几分之一。 教师追问：如果圆锥的底面半径是，高是，它的体积应该怎样用和表示？ 教师归纳：等底等高时圆柱与圆锥的体积关系可以由实验发现。本课先得出圆锥的体积公式，再解决容器、粮囤等实际问题。 用等底等高容器的倒水实验形成认知冲突，自然引出圆锥体积公式的研究问题。 新知讲授 一、圆锥体积的实验探究与体积公式 实验 圆锥的体积：实验用具是等底等高的圆柱和圆锥容器各一个，如图所示，水或细沙。实验步骤：（1）在圆锥容器中装满水或细沙；（2）将圆锥容器中的水或细沙全部倒入圆柱容器中；（3）重复步骤（1）（2）两次。 实验结果：水或细沙刚好注满圆柱容器。 实验结论：圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍。 可以证明，圆锥的体积为 。 其中，为圆锥的底面半径，为圆锥的高。 对照辨析：圆锥的体积公式与圆柱的体积公式只相差一个三分之一系数，这个系数只在圆柱与圆锥等底等高时才成立；公式中的高是顶点到底面圆心的距离，垂直于底面，不能用母线代替。 强化记忆（合书复述）：请说出圆锥的体积公式，并说明公式中和的含义。 【答案】圆锥的体积等于它的底面积与高的乘积的三分之一，即，其中为圆锥的底面半径，为圆锥的高。 【解析】底面积用计算，所以只要知道底面半径和高，就能求出圆锥的体积。 基础练习1（练习7.2.2第3题）已知圆锥的底面直径为4 cm，高为6 cm，求该圆锥的体积。 【答案】该圆锥的体积为8π 。 【解析】底面直径是4 cm，所以底面半径（cm），底面积（），体积（）。 二、由母线和高求底面半径与高 圆锥的轴截面是等腰三角形，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径，高是圆锥的高。在轴截面的一半所构成的直角三角形中，由勾股定理得，所以已知母线和高可以求底面半径；已知底面周长时，可由求底面半径。 对照辨析：求体积必须用底面半径与高。题目给出的是母线时，不能把母线当作高代入公式，要先用勾股定理把母线和高转化为底面半径。 基础练习2（练习7.2.2第4题）已知圆锥的母线长为3 cm，高为2 cm，求该圆锥的体积。 【答案】该圆锥的体积为（）。 【解析】底面半径（cm），底面积（），体积（）。 提高练习（练习7.2.2第5题）已知圆锥的轴截面是一个底边长为8 cm，腰长为5 cm的等腰三角形，求圆锥的体积。 【答案】该圆锥的体积为16π 。 【解析】轴截面的底边长8 cm是底面圆的直径，所以底面半径（cm）；轴截面的腰长5 cm是母线，在轴截面的一半所构成的直角三角形中，高（cm）。底面积（），体积（）。 三、教材例题 例2（教材原例）圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形，求圆锥的表面积和体积。 【答案】该圆锥的体积为（）。 【解析】因为等边三角形的底边和腰分别是圆锥的底面直径和母线，所以圆锥的底面半径 cm，母线 cm，高（cm）。底面积（），所以体积（）。 知识检测（习题7.2知识巩固第1题第(2)问）圆锥的底面圆周长为 4π cm，母线长为 5 cm，则该圆锥的体积为______。 【答案】 。 【解析】由底面周长得底面半径（cm）；由母线 cm 与半径 cm 得高（cm）。底面积（），体积（）。 按实验结论、体积公式、条件转化、教材例题的顺序展开，通过公式对照和三类基础练习突破母线、高与半径的区分。 课堂背诵 1．补全：把与圆柱等底等高的圆锥形容器装满水（细沙），全部倒入圆柱形容器，重复三次后圆柱形容器刚好注满。这说明圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的______倍，即。 【答案】3。 【解析】三次倒完刚好注满，说明圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，反过来圆柱的体积就是圆锥体积的3倍。 2．写出圆锥的体积公式，并说明公式中、的含义。 【答案】，其中为圆锥的底面半径，为圆锥的高。 【解析】底面积，高是顶点到底面圆心的距离，垂直于底面，不能换成母线。 3．判断：已知圆锥的母线长为、底面半径为，求它的体积时可以直接把母线当作高代入公式。 【答案】错误。体积公式中的高是圆锥的高，不是母线；应先在轴截面的一半所构成的直角三角形中求高，。 【解析】母线是轴截面的腰，高是轴截面的高，把母线当作高会把体积算大，所以必须先求准底面半径与高。 用实验结论补全、体积公式复述和母线误用判断，整体回收本课必须会说、会写、会辨析的内容。 师生互动 任务1（习题7.2知识巩固第3题）将一个半径为12 cm、圆心角为120°的扇形卷成圆锥，求这个圆锥的体积。 【答案】该圆锥的体积为（）。 【解析】扇形的半径12 cm就是卷成圆锥的母线，所以（cm）；扇形的弧长就是圆锥的底面周长，（cm），由得底面半径（cm）。高（cm），底面积（），体积（）。 任务2（习题7.2 B能力提升第2题第(2)问）将一个底面直径为5 cm、深为6 cm的圆柱形量杯A装满溶液，如果倒进底面直径为6 cm、深度为15 cm的圆锥形量杯C内，溶液是否会溢出？说明理由。 【答案】溶液不会溢出。 【解析】量杯A是圆柱，底面半径（cm），容积（）；量杯C是圆锥，底面半径（cm），容积（）。因为，溶液全部倒入后还没有装满量杯C，所以溶液不会溢出。 任务3（习题7.2 C学以致用第1题）粮囤由圆柱形的底部和圆锥形的顶部组成，已知圆柱的底面直径为7 、高为4 ，圆锥的母线与轴的夹角为60°，求这个粮囤的容积；稻谷的密度为575 ³，这个粮囤最多能装多少千克稻谷？ 【答案】这个粮囤的容积为（），约179.9 ；最多能装稻谷约 kg。 【解析】底面半径（m）。圆柱部分的容积（）。圆锥部分中，母线与轴的夹角为60°，在高、底面半径与母线构成的直角三角形中（m），所以圆锥部分的容积（）。粮囤的容积（），所以最多能装稻谷（kg）。 教师归纳：组合体的容积要分体求出各部分体积再相加；求圆锥的高时先在轴截面的一半所构成的直角三角形中用已知角求出高，最后用密度公式把容积换算成质量，单位要统一。 任务4（复习题7 二、填空题第9题）把一个高12 cm的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是多少？ 【答案】此时水的高度是4 cm。 【解析】两个容器等底等高，所以；倒水过程中水的体积不变，水在圆柱形容器中正好占圆柱容积的三分之一，所以水的高度是圆柱（也就是圆锥）高的三分之一，即（cm）。 让学生在展开图卷圆锥、量杯容积比较、粮囤组合体和等积变形中说明依据，诊断由已知量求半径与高的转化能力。 课堂练习 1．已知圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，求它的体积。 【答案】体积为8π 。 【解析】底面积（），体积（）。 2．已知圆锥的底面直径为6 cm，高为4 cm，求它的体积。 【答案】体积为12π 。 【解析】底面直径是6 cm，所以底面半径（cm），底面积（），体积（）。 3．已知圆锥的母线长为5 cm，底面半径为4 cm，求它的体积。 【答案】体积为16π 。 【解析】母线是轴截面的腰，在高、底面半径与母线构成的直角三角形中求高，（cm）；底面积（），体积（）。 4．已知圆锥的底面周长为4π cm，母线长为 cm，求它的体积。 【答案】体积为 。 【解析】由底面周长得底面半径（cm）；再由母线（cm）与半径2 cm求高，（cm）。底面积（），体积（）。 5．一个圆锥形沙堆，底面周长为12.56 ，高为1.5 。把这堆沙在宽4 的公路上铺2 cm厚，能铺多长？（π取3.14） 【答案】能铺78.5 。 【解析】由底面周长得底面半径（m），沙堆的体积（）。铺成路面后体积不变，路面厚2 cm即0.02 m，设能铺 m，则，解得（m）。 用半径、直径、母线、底面周长四种已知条件求体积并加一道铺路应用题分层检测，覆盖本课的核心换算路径。 课堂小结 1．把与圆柱等底等高的圆锥形容器装满水（细沙）倒入圆柱形容器，重复三次刚好注满，说明圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍，即。 2．圆锥的体积，其中为底面半径、为高；三分之一系数只在圆柱与圆锥等底等高时才成立，它也是圆锥体积公式与圆柱体积公式的唯一差别。 3．圆锥的轴截面是等腰三角形，腰是母线、底边是底面直径、高是圆锥的高，在轴截面的一半所构成的直角三角形中；由母线和高求半径，由底面周长求半径。 4．计算体积前必须先求准底面半径与高，再按先写公式、代入数据、写出单位的顺序书写；已知的是母线或底面周长时，不能直接代入体积公式。 5．实际应用中先判断所求量是容积还是质量：组合体分体求体积再相加，单位要统一；等底等高时圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，容器倒水时水的体积不变。 以实验结论、体积公式、半径与高的转化和实际应用条件为线索分点整理，帮助学生形成可迁移的圆锥体积计算路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生是否把母线当作高代入体积公式，这是本课最典型的错误。课堂可压缩教师演算，把时间留给由母线、高、底面周长求半径与高的转化训练，并要求学生用完整句子说明三分之一系数只在圆柱与圆锥等底等高时才成立。例2的教学可让学生先独立指出轴截面中哪条线段是母线、哪条是高，再动手计算；粮囤与量杯任务应先画图标注已知量再列式，最后坚持用单位检验结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公司 $