7.2.2 圆锥的结构与表面积（练习）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第七章 简单几何体 7.2.2 圆锥的结构与表面积 一、选择题 1. 将一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周，得到的几何体是（　　）。 A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 正方体 2. 圆锥的侧面展开图是一个扇形。下列对应关系正确的是（　　）。 A. 扇形的半径等于圆锥的高 B. 扇形的半径等于圆锥的母线长 C. 扇形的弧长等于圆锥的高 D. 扇形的弧长等于底面圆的直径 3. 已知圆锥的侧面积为 cm²、底面半径为 3 cm，则它的母线长为（　　）cm。 A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 4. 已知圆锥的底面积为 cm²、侧面积为 cm²，则它的表面积为（　　）cm²。 A. B. C. D. 二、填空题 5. 已知圆锥的母线长为 10 cm、底面半径为 6 cm，则它的高为______cm。 6. 已知圆锥的表面积为 cm²、底面积为 cm²，则它的侧面积为______cm²。 7. 已知圆锥的底面半径为 2 cm、母线长为 8 cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角为______度。 8. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。若圆锥的底面半径是 3 cm，则它的侧面展开图中扇形的弧长是______cm（结果保留 π）。 一、选择题 9. 两个圆锥的母线长相等。若其中一个圆锥的底面半径是另一个的 2 倍，则它的侧面积与另一个圆锥的侧面积之比为（　　）。 A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 10. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 90°、半径为 8 cm 的扇形，则这个圆锥的侧面积为（　　）cm²。 A. B. C. D. 11. 已知圆锥的母线长为 、高为 ，则下列说法正确的是（　　）。 A. 母线长一定大于高 B. 母线长一定小于高 C. 母线长一定等于高 D. 母线长与高的大小不确定 二、填空题 12. 已知圆锥的底面周长是 cm、高是 12 cm，则它的母线长是______cm，表面积是______cm²。 13. 已知圆锥的表面积为 cm²、侧面积为 cm²，则它的底面半径为______cm。 14. 一个圆锥形烟囱帽，它的底面直径是 40 cm、母线长是 50 cm。制作这个烟囱帽至少需要铁皮______cm²（不计损耗，结果保留 π）。 三、解答题 15. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且这个三角形的底边长为 8 cm。求这个圆锥的底面半径、母线长、高、侧面积和表面积。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第七章 简单几何体 7.2.2 圆锥的结构与表面积 一、选择题 1. 将一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周，得到的几何体是（　　）。 A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 正方体 【答案】C 【解析】旋转轴是直角三角形的一条直角边所在的直线，旋转的对象是整个直角三角形。旋转一周时，另一条直角边扫出一个圆面，斜边扫出一个曲面，两者围成的封闭几何体就是圆锥。圆柱由矩形旋转生成，球由半圆或圆旋转生成，正方体不是旋转体，所以 A、B、D 都不符合。故选 C。 2. 圆锥的侧面展开图是一个扇形。下列对应关系正确的是（　　）。 A. 扇形的半径等于圆锥的高 B. 扇形的半径等于圆锥的母线长 C. 扇形的弧长等于圆锥的高 D. 扇形的弧长等于底面圆的直径 【答案】B 【解析】沿一条母线把圆锥的侧面展开，扇形的半径是圆锥的母线 ，扇形的弧长 是底面圆的周长。把扇形的半径说成高、把弧长说成直径都不符合展开过程。故选 B。 3. 已知圆锥的侧面积为 cm²、底面半径为 3 cm，则它的母线长为（　　）cm。 A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 【答案】B 【解析】由侧面积公式 得 。把 、 代入，得 ，所以母线长为 5 cm。故选 B。选项 C 是把侧面积的数值 15 直接当成了母线长。 4. 已知圆锥的底面积为 cm²、侧面积为 cm²，则它的表面积为（　　）cm²。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆锥只有一个底面，表面积等于侧面积与一个底面积之和。由 得 ，所以表面积为 cm²。故选 B。选项 A 只写了侧面积，选项 C 把底面积加了两次，与圆柱的表面积公式混淆了。 二、填空题 5. 已知圆锥的母线长为 10 cm、底面半径为 6 cm，则它的高为______cm。 【答案】8 【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，取它的一半得到一个直角三角形，母线 是斜边，底面半径 与高 是两条直角边，所以 。由 得 ，所以高为 8 cm。 6. 已知圆锥的表面积为 cm²、底面积为 cm²，则它的侧面积为______cm²。 【答案】 【解析】由表面积等于侧面积与一个底面积之和，得 ，所以 ，即侧面积为 cm²。 7. 已知圆锥的底面半径为 2 cm、母线长为 8 cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角为______度。 【答案】90 【解析】侧面展开图中扇形的半径等于母线 ，弧长等于底面圆的周长 。设圆心角为 度，则弧长 。把 、 代入，得 ，所以 ，即圆心角为 90 度。 8. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。若圆锥的底面半径是 3 cm，则它的侧面展开图中扇形的弧长是______cm（结果保留 π）。 【答案】 【解析】底面圆的周长 ，而侧面展开图中扇形的弧长就等于底面圆的周长，所以弧长为 cm。 一、选择题 9. 两个圆锥的母线长相等。若其中一个圆锥的底面半径是另一个的 2 倍，则它的侧面积与另一个圆锥的侧面积之比为（　　）。 A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 【答案】B 【解析】圆锥的侧面积 。两个圆锥的母线长 相等，设底面半径较小的那个为 ，则另一个的底面半径为 。它们的侧面积之比为 ，所以底面半径是 2 倍的那个圆锥，它的侧面积是另一个的 2 倍，即侧面积之比为 2:1。故选 B。 10. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 90°、半径为 8 cm 的扇形，则这个圆锥的侧面积为（　　）cm²。 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】圆锥的侧面积就是侧面展开图这个扇形的面积。圆心角为 90° 的扇形是整个圆的 ，所以扇形面积 ，即侧面积为 cm²。故选 C。也可以用弧长验证：展开图的弧长 ，由它等于底面周长得底面半径 ，再算 ，结果相同。 11. 已知圆锥的母线长为 、高为 ，则下列说法正确的是（　　）。 A. 母线长一定大于高 B. 母线长一定小于高 C. 母线长一定等于高 D. 母线长与高的大小不确定 【答案】A 【解析】在轴截面的一半中，母线 是直角三角形的斜边，底面半径 与高 是两条直角边，满足 。因为圆锥的底面半径 ，所以 ，而长度都为正，故 ，母线长一定大于高。故选 A。只有当底面半径等于 0 时两者才相等，而圆锥的底面半径始终大于 0。 二、填空题 12. 已知圆锥的底面周长是 cm、高是 12 cm，则它的母线长是______cm，表面积是______cm²。 【答案】13； 【解析】由底面周长 得底面半径 。在轴截面的一半中，母线 是斜边，由 得 ，所以母线长为 13 cm。底面积 ，侧面积 ，表面积 ，即 cm²。 13. 已知圆锥的表面积为 cm²、侧面积为 cm²，则它的底面半径为______cm。 【答案】4 【解析】由 得底面积 。又 ，所以 ，长度取正值得 ，底面半径为 4 cm。 14. 一个圆锥形烟囱帽，它的底面直径是 40 cm、母线长是 50 cm。制作这个烟囱帽至少需要铁皮______cm²（不计损耗，结果保留 π）。 【答案】 【解析】烟囱帽只有侧面，需要的铁皮就是圆锥的侧面积。底面直径是 40 cm，所以底面半径 cm。由侧面积公式 ，所以至少需要 cm² 的铁皮。 三、解答题 15. 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且这个三角形的底边长为 8 cm。求这个圆锥的底面半径、母线长、高、侧面积和表面积。 【答案】底面半径为 4 cm，母线长为 cm，高为 4 cm，侧面积为 cm²，表面积为 cm²。 【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，它的底边是底面圆的直径，两腰都是母线。轴截面是等腰直角三角形，直角在圆锥的顶点处，底边就是斜边，所以 ，得底面半径 cm。由 得 ，所以母线长 cm。在轴截面的一半中，由 得 ，所以高 cm。侧面积 cm²，底面积 cm²，所以表面积 cm²。 学科网（北京）股份有限公司 $