7.2.2 圆锥的结构与表面积（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第七章 简单几何体 7.2.2 圆锥的结构与表面积 学习目标 1．理解旋转体与圆锥的定义，掌握圆锥的轴、底面、侧面、母线、顶点和高六个要素，理解圆锥的三条性质及轴截面中的直角三角形。 2．掌握圆锥的侧面积公式和表面积公式，能由底面半径、母线、高正确计算圆锥的侧面积与表面积，并能解决由展开图或轴截面反求量的简单问题。 3．经历由旋转生成圆锥、由侧面展开图得到侧面积公式的过程，提升直观想象、数学运算和逻辑推理素养，形成先辨清母线与高再计算的意识。 教学导入：从天坛、漏斗和交通锥看圆锥 回顾：圆柱是由矩形绕它的一条边所在直线旋转一周生成的旋转体，把它的侧面展开得到一个矩形，侧面积等于底面周长与高的乘积。 问题：天坛祈年殿、漏斗和交通锥的外形有什么共同特征？它们可以看成由什么平面图形旋转生成？ 教学导入：从天坛、漏斗和交通锥看圆锥 【答案】这些实物的外形都可以看成由直角三角形绕一条直角边旋转而成，都有一个圆形底面和一个尖顶。 追问：圆锥由直角三角形旋转生成时，哪条边扫出底面、哪条边扫出侧面？它的侧面积又该怎样计算？ 教师归纳：研究圆锥要先弄清它的结构和要素，再把侧面展开成扇形求侧面积，本课就沿着这两条线索展开。 旋转体与圆锥的结构 一般地，由一平面图形绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周生成的几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴。 圆柱、圆锥、球都是旋转体，本课研究的圆锥就是由直角三角形旋转生成的旋转体。 由旋转体的定义，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥。 即时训练1：旋转生成圆锥 即时训练1（口答）：圆锥是由什么平面图形绕哪条直线旋转生成的？旋转时哪条边扫出底面、哪条边扫出侧面？ 【答案】圆锥是由直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转生成的；另一条直角边扫出底面，斜边扫出侧面。 【解析】定义中的旋转轴是直角三角形的一条直角边所在的直线，旋转的对象是整个直角三角形，两条非轴边分别扫出底面圆面和侧面曲面。 圆锥的六个要素与对照辨析 这条轴称为圆锥的轴，另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，这条斜边称为圆锥的母线，母线与轴的交点称为顶点，顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高。 对照辨析：母线是侧面上连接顶点与底面圆周上一点的线段，高是顶点到底面圆心的垂线段，两者所在的线段不同，长度一般不相等，只有轴截面为等腰直角三角形时才相等。 即时训练2：区分母线与高 即时训练2：在圆锥中，母线是连接哪两点的线段？高是连接哪两点的线段？它们一定相等吗？ 【答案】母线是连接顶点与底面圆周上一点的线段，高是连接顶点与底面圆心的线段；两者长度一般不相等。 【解析】母线在侧面上，高在圆锥内部且垂直于底面，只有轴截面为等腰直角三角形时母线才与高相等。 圆锥的三条性质与轴截面 圆锥具有下列性质：1．平行于底面的截面都是圆；2．高垂直于底面圆，且过圆心；3．轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径。 由第3条性质，过轴的截面是一个等腰三角形，它的底边是底面圆的直径、两腰是母线，底边上的高就是圆锥的高。取它的一半得到一个直角三角形，圆锥的高、底面半径和母线满足： 。 由此可由其中两个量求出第三个量，例如已知底面半径和高，先由 求出母线。 即时训练3 即时训练3：已知圆锥的底面半径是3 cm、高是4 cm，求它的母线长。 【答案】母线长（cm）。 【解析】在轴截面的一半中，母线、底面半径和高构成直角三角形，已知两条直角边求斜边，用勾股定理即可。 圆锥的侧面展开图 沿圆锥体的一条母线将圆锥侧面展开在一个平面上所得的图形称为圆锥的侧面展开图，它是一个扇形，这个扇形的面积就是圆锥的侧面积。因为扇形的弧长是底面圆的周长，扇形的半径是圆锥母线的长。 由展开图得到侧面积公式 对照展开图落实两个对应关系：展开后扇形的半径等于母线，扇形的弧长等于底面周长，于是求圆锥的侧面积就转化为求半径为、弧长为的扇形面积。 由扇形面积等于弧长与半径乘积的一半，把弧长换成底面周长、半径换成母线，得到圆锥的侧面积公式： 。 由展开图得到侧面积公式 。 其中，是圆锥底面周长，为底面圆的半径，为圆锥母线长。 强调：公式中的必须是母线长而不是高；若题目给出的是高，要先用 求出母线再代入。 即时训练4 即时训练4：已知圆锥的底面半径是2 cm、母线长是5 cm，求它的侧面积。 【答案】侧面积（）。 【解析】题目直接给出底面半径和母线，代入侧面积公式即可，注意不要把母线换成高。 圆锥的表面积 侧面积与底面积之和称为表面积。圆锥只有一个底面，因此圆锥的表面积等于侧面积与一个底面积之和： 。 对照辨析：圆锥的表面积只加一个底面积、不乘2，与圆柱的表面积不同，这是本课最容易出错的地方。 即时训练5：求圆锥的表面积 即时训练5：已知圆锥的底面半径是3 cm、母线长是5 cm，求它的表面积。 【答案】表面积（）。 【解析】先算底面积，再算侧面积，两者相加；圆锥只有一个底面，不要加两个底面积。 课堂背诵（一）：定义补全 1．补全：由一平面图形绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周生成的几何体称为______，这条定直线称为______；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为______。 【答案】旋转体；旋转体的轴；圆锥。 【解析】圆锥的定义直接以旋转体为属概念，抓住“平面图形”“绕同平面内的定直线旋转一周”“封闭几何体”三个要点。 课堂背诵（二）：三条性质与关系式 2．写出圆锥的三条性质，并写出轴截面中母线、底面半径与高满足的关系式。 【答案】三条性质：平行于底面的截面都是圆；高垂直于底面圆，且过圆心；轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是母线，底边是底面圆的直径。关系式：。 【解析】轴截面的一半是直角三角形，母线是斜边、底面半径和高是两条直角边，所以由勾股定理得到这个关系式。 课堂背诵（三）：两个面积公式 3．写出圆锥的侧面积公式和表面积公式，并说明各字母的含义。 【答案】，；其中为底面周长，为底面半径，为母线长。 【解析】两个公式都以底面半径和母线为基础，侧面积用母线，表面积在侧面积上再加一个底面积。 课堂背诵（四）：表面积的构成 4．判断：圆锥的表面积等于它的侧面积与两个底面面积之和。 【答案】错误。圆锥只有一个底面，表面积等于侧面积与一个底面面积之和，即。 【解析】圆柱有两个底面，所以表面积加两个底面积；圆锥只有一个底面，只加一个底面积。 师生互动（一）：由轴截面求量 任务1：已知圆锥的轴截面是边长为6 cm的等边三角形，求这个圆锥的底面半径、母线长、高以及它的表面积。 【答案】底面半径3 cm，母线长6 cm，高cm，表面积（）。 【解析】轴截面是等边三角形，它的腰是母线，所以母线（cm）；底边是底面直径，所以底面半径（cm）；由得高（cm）。表面积（）。 师生互动（二）：由展开图求量 任务2：一个圆锥形零件，它的侧面展开图是一个半径为6 cm、圆心角为120°的扇形，求这个圆锥的底面半径和表面积。 【答案】底面半径2 cm，表面积（）。 【解析】展开后扇形的半径就是母线，所以（cm）；扇形的弧长为（cm），它等于底面周长，得（cm）。表面积（）。 教师归纳：由展开图或轴截面求量时，先由扇形弧长等于底面周长求出底面半径，再由轴截面中的直角三角形求高，最后代入侧面积或表面积公式。 课堂练习（1） 1．已知圆锥的底面半径是2 cm，母线长是6 cm，求它的侧面积和表面积。 【答案】侧面积（），表面积（）。 【解析】侧面积（）；底面积（），表面积（）。 课堂练习（2） 2．已知圆锥的底面半径是3 cm，高是4 cm，求它的母线长、侧面积和表面积。 【答案】母线长5 cm，侧面积（），表面积（）。 【解析】由得（cm）；侧面积（）；表面积（）。 课堂练习（3） 3．已知圆锥的底面直径是8 cm，母线长是5 cm，求它的侧面积和表面积。 【答案】侧面积（），表面积（）。 【解析】底面直径是8 cm，所以底面半径（cm）；侧面积（）；底面积（），表面积（）。 课堂练习（4） 4．纠错：小明说“圆锥的侧面积公式是，其中是圆锥的高”。请指出错误并改正。 【答案】错误。侧面积公式是，其中是母线长，不是高；若题目给的是高，要先由求出母线再代入。 【解析】母线在侧面上、高在圆锥内部，两者一般不相等；把高当作母线代入侧面积公式是本课最典型的错误。 课堂练习（4） 5．一个圆锥形帐篷，底面半径是2 ，母线长是3 。要给帐篷的侧面刷一层防水涂料，求刷涂料的面积。 【答案】刷涂料的面积是（）。 【解析】刷涂料的只是帐篷的侧面，用侧面积公式（）。 课堂练习（4） 6．已知圆锥的底面周长是6π cm，母线长是4 cm，求这个圆锥的底面半径、侧面积和表面积。 【答案】底面半径3 cm，侧面积（），表面积（）。 【解析】由底面周长得（cm）；侧面积（）；底面积（），表面积（）。 课堂小结（一） 1．由一平面图形绕着与它在同一平面内的一条定直线旋转一周生成的几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴；圆锥是由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转生成的旋转体。 2．圆锥的轴、底面、侧面、母线、顶点和高是圆锥的六个要素，其中母线是连接顶点与底面圆周上一点的线段，高是顶点到底面圆心的垂线段，两者不同，长度一般不相等。 3．圆锥有三条性质：平行于底面的截面都是圆，高垂直于底面圆且过圆心，轴截面是等腰三角形；在轴截面的一半中，母线、底面半径和高满足。 课堂小结（二） 4．沿一条母线把圆锥的侧面展开得到扇形，扇形的半径等于母线，扇形的弧长等于底面周长，所以圆锥的侧面积。 5．圆锥的表面积等于侧面积与一个底面积之和，；只加一个底面积，不要与圆柱的表面积公式混淆。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $