7.2.1 圆柱的体积（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第七章 简单几何体 7.2.1 圆柱——体积与应用 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在圆柱的定义、性质、侧面展开图、侧面积与表面积之后，直接给出圆柱的体积结论，并用符号说明交代底面半径与高，再以典型例题示范由底面直径求半径、求底面积、求体积的完整过程，最后在节末练习和章末习题中依次安排正向计算、逆向求值和实际应用三类问题。体积公式建立在底面积与高这两个共同要素之上，与前面直棱柱体积公式的结构完全一致。 本课承接圆柱的底面半径与高、底面积的计算以及轴截面和侧面展开图的边长关系，把柱体体积等于底面积乘高的经验迁移到圆柱，逆向求值又依靠轴截面和侧面展开图提供半径与高。本课为圆锥体积、球体积以及本章复习题中组合体与容积问题的学习奠定基础。 学情分析 学生已经学习圆柱的定义、性质与侧面展开图，会计算底面半径、底面积、侧面积和表面积，也经历过直棱柱体积公式的形成过程，但容易把底面直径当作半径代入公式，容易把侧面上的斜线误认为高，在底面半径、底面周长、底面积与高之间换算时也容易漏掉单位统一。课堂通过公式对照、易错辨析和分层练习，帮助学生先统一单位、再辨认底面积与高，最后稳定完成由直径、轴截面或侧面展开图反求半径和高再求体积的过程。 教学目标 1．理解圆柱的体积公式，知道它表示底面积与高的乘积，能说出公式中每个字母的实际含义。 2．能由已知的底面半径、直径、底面周长、底面积或轴截面、侧面展开图先求出底面半径和高，再正确计算圆柱的体积，并能解决容器、钢材、量杯等简单实际问题。 3．经历由直棱柱体积公式迁移得到圆柱体积公式的过程，在统一单位与辨认底面要素的练习中提升数学运算和直观想象素养，形成先统一单位再计算的意识。 教学重难点 教学重点：圆柱的体积公式 ，以及由已知条件求底面积和高再计算体积的方法。 教学难点：在底面直径、底面周长、底面积、轴截面与侧面展开图等多种条件中辨认出底面半径与高，并在统一长度单位后正确计算体积。 教学方法 公式迁移法、对比辨析法、讲练结合法、情境应用法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 回顾：直棱柱的体积等于底面积与高的乘积，即 。 情境（教师原创）：一个圆柱形水桶的底面直径是4 dm，高是5 dm。这个水桶能装多少升水？要回答这个问题，先要知道圆柱的体积怎样计算。 学生观察、思考后回答：圆柱和直棱柱都是柱体，体积可能也等于底面积与高的乘积，只要先由直径求出底面半径和底面积，就能计算。 教师追问：圆柱的体积公式究竟是怎样的？已知底面直径、底面周长或底面积时又该怎样求体积？ 教师归纳：本课从柱体体积的共同结构出发，得到圆柱的体积公式，再用它解决由直径、轴截面、侧面展开图反求体积以及容器、钢材等实际问题。 由直棱柱体积公式和圆柱形水桶的容积问题引出圆柱体积的计算需要，激活柱体体积等于底面积乘高的已有经验。 新知讲授 一、圆柱的体积公式 可以证明，圆柱的体积为 ， 其中，为圆柱的底面半径，为圆柱的高. 公式说明：圆柱的体积等于底面积与高的乘积。因为底面积 ，所以 。它与直棱柱的体积公式 的结构完全一致，可以统一写成柱体的体积等于底面积乘高。式中的 是两个底面之间的距离， 是底面半径，不是底面直径。 二、公式应用要点：正确识别底面积和高，统一单位 已知底面直径或底面周长时，要先求底面半径 ：由 得 ；由底面周长 得 。再由 求底面积，最后与高相乘。 计算前要把底面积与高统一到同一长度单位，体积的单位是长度单位的立方，如 、。底面半径与高都用米作单位时，体积单位才是立方米。 即时训练1：一个圆柱的底面半径是3 cm，高是4 cm，求它的体积。 【答案】（）。 【解析】题目直接给出底面半径和高，先由 求底面积，再乘高。 即时训练2：一个圆柱的底面直径是8 cm，高是5 cm，它的体积是______。 【答案】底面半径 （cm），底面积 （），体积 （）。 【解析】底面直径8 cm 不是半径，要先由 求出 cm，再求底面积和体积。 三、典型例题 例1 已知圆柱底面直径为6 cm，高为10 cm，求圆柱的体积. 【答案】圆柱的体积是 （）。 【解析】因为圆柱的底面半径 cm，高 cm，所以底面积 （），圆柱的体积 （）。 四、由已知条件反求底面半径和高 当题目没有直接给出底面半径和高时，要先从已知条件中求出它们。轴截面是矩形，矩形的边长分别是圆柱的高和底面的直径，所以由轴截面的边长可以直接读出高和底面直径；侧面展开图是矩形，矩形的边长分别是圆柱底面的周长和母线长，而母线长等于高，所以由展开图可以先求出底面周长，再求出底面半径。 归纳：正向计算是由底面半径和高求体积；逆向求值是由底面直径、底面周长、底面积、轴截面或侧面展开图先求出底面半径和高，再求体积。 五、教材练习（随堂巩固） 1（练习7.2.1第2题）已知圆柱的母线长为5 cm，底面圆的半径为2 cm，求圆柱的体积. 【答案】圆柱的体积是 （）。 【解析】圆柱的母线长等于高，所以 cm，底面半径 cm，底面积 （），体积 （）。 2（练习7.2.1第3题）已知圆柱的轴截面是边长为10 cm的正方形.求圆柱的体积. 【答案】圆柱的体积是 （）。 【解析】轴截面是边长为10 cm的正方形，所以圆柱的高 cm，底面直径 cm，底面半径 cm。底面积 （），体积 （）。 3（练习7.2.1第5题）长征五号B运载火箭是我国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭，其一级火箭发动机的外壳是高为33.16 ，直径为5.0 的圆柱.求一级火箭发动机外壳的体积. 【答案】外壳的体积是 （）。 【解析】外壳是高33.16 m、直径5.0 m的圆柱，底面半径 m，底面积 （），体积 （）。 4（习题7.2知识巩固第2题）已知一个底面积为的圆柱，其侧面展开图是正方形，求这个圆柱的体积。 【答案】这个圆柱的体积是 （）。 【解析】由底面积 得底面半径 cm；侧面展开图是正方形，说明底面周长等于高，即 cm。所以体积 （）。 按体积公式、符号含义、公式应用要点、教材例1与教材练习的顺序展开，用即时训练逐点回收单位统一和底面要素的识别。 课堂背诵 1．补全：圆柱的体积等于______与______的乘积，用字母表示为______；其中 r 是圆柱的______，h 是圆柱的______。 【答案】底面积；高；；底面半径；高。 【解析】圆柱是柱体，体积公式中的两个要素是底面积和高，公式中的 r 表示底面半径，h 表示圆柱的高。 2．写出圆柱底面积的表达式，并说明它与底面直径的关系。 【答案】底面积 ；底面直径 与底面半径 满足 。 【解析】底面积是半径为 r 的圆的面积，底面直径是底面半径的2倍，计算时不要混用。 3．判断：求圆柱的体积时，只要知道底面直径，就可以把直径直接当作半径代入公式。 【答案】错误。要先用 把直径化为半径，再求底面积和体积。 【解析】公式中的底面积用的是底面半径的平方，把直径当作半径代入会使结果偏大。 4．判断：圆柱的体积单位与底面积、高的单位相同。 【答案】错误。底面积与高统一到同一长度单位后，体积的单位是长度单位的立方，如 、。 【解析】长度单位相乘两次得到面积单位，再乘一次长度才得到体积单位。 5．说明轴截面和侧面展开图分别能直接提供圆柱的哪些量。 【答案】轴截面是矩形，矩形的边长分别是圆柱的高和底面的直径；侧面展开图是矩形，矩形的边长分别是圆柱底面的周长和母线长，母线长等于高。 【解析】由轴截面可以直接读出高和底面直径，由展开图可以先读出底面周长和高，再由底面周长求出底面半径。 通过公式补全、底面积与直径关系的复述以及单位和代入错误的判断，整体回收本课必须会说、会写、会辨析的内容。 师生互动 任务1（习题7.2 B能力提升第1题）将一段长5 m的圆柱状钢材截成两段，表面积增加了。如果钢材的密度为，那么这段5 m长的圆柱状钢材的质量是多少？ 【答案】这段钢材的质量是39 kg，即39000 g。 【解析】把钢材截成两段，表面积增加的是两个横截面的面积，所以横截面积 （）。，钢材的体积 （）。由质量等于密度乘体积得，质量 （g），即39 kg。 任务2（习题7.2 B能力提升第2题(1)）将一个底面直径为5 cm，深为6 cm的圆柱形量杯A装满溶液。（1）若把量杯A中的溶液全部倒进一个底面直径为4 cm的圆柱形量杯B内，则量杯B的深度至少应达到多少，溶液才不会溢出？ 【答案】量杯B的深度至少应达到9.375 cm。 【解析】溶液倒入前后体积不变。量杯A中溶液的体积 （）；设量杯B中溶液的高度为 cm，则 。由 得 ，所以量杯B的深度至少应达到9.375 cm。 教师归纳：解决实际问题时，先把实际物体看成圆柱，再从情境中提取底面半径和高并统一单位，最后按体积公式计算；溶液倒入前后体积不变，是把两个圆柱联系起来的桥梁。 让学生在钢材截断和溶液倒入两个综合任务中说明依据，诊断单位统一、横截面积提取和体积守恒的处理。 课堂练习 1．已知圆柱的底面半径为4 cm，高为6 cm，求它的体积。 【答案】（）。 【解析】先求底面积 （），再乘高。 2．已知圆柱的底面周长是6π cm，高是5 cm，求它的体积。 【答案】（）。 【解析】由底面周长 得 cm，底面积 （），体积 （）。 3．一个圆柱形茶叶罐的底面直径是8 cm，高是12 cm，求它的容积。 【答案】容积是 （）。 【解析】底面半径 cm，底面积 （），容积 （）。 4．已知圆柱的轴截面是面积为的正方形，求这个圆柱的体积。 【答案】（）。 【解析】轴截面是正方形，它的面积是36 ，所以边长是6 cm，即圆柱的高 cm，底面直径 cm，底面半径 cm。底面积 （），体积 （）。 5．判断并说明理由：已知圆柱的底面直径为10 cm，高为6 cm，则它的体积 （）。 【答案】错误。底面直径10 cm 对应的底面半径是5 cm，体积应为 （）。 【解析】公式中的底面积要用底面半径的平方，把直径当作半径代入，体积会变成正确结果的4倍。 用直接代入、由周长求半径、容积、轴截面反求和纠错五题分层检测，覆盖单位统一与底面要素的识别。 课堂小结 1．圆柱的体积等于底面积与高的乘积，即 ，其中 是底面半径， 是圆柱的高。 2．因为底面积 ，所以 ；它与直棱柱的体积公式 结构一致，都是柱体的体积等于底面积乘高。 3．计算前先统一长度单位，体积的单位是长度单位的立方；底面半径与高都用米作单位时，体积单位才是立方米。 4．已知底面直径或底面周长时，先由 或 求出底面半径，再求底面积和体积，不要把直径当作半径代入。 5．已知轴截面或侧面展开图时，先由轴截面的边长读出高和底面直径，或由展开图的边长读出底面周长和母线长，再求出底面半径和高，最后求体积。 6．把实际物体看成圆柱解决问题时，先从情境中提取底面半径和高并统一单位；溶液倒入前后体积不变，钢材截断后增加的是两个横截面的面积。本课开始时提出的圆柱形水桶容积问题，只要先由直径求出半径，再按体积公式就能算出结果。 按体积公式、单位与底面要素、逆向求值和实际应用为线索分点整理，帮助学生形成可迁移的圆柱体积计算路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课后续优化应重点观察学生是否把底面直径当作半径代入公式，这是本课最典型的错误。课堂可压缩教师的演算，把时间留给单位统一和底面要素识别的辨析，并要求学生用完整句子说明每个数据对应的量。逆向求值的题目应先让学生在图上标出高与底面直径或底面周长，再动手计算；实际应用问题要坚持先统一单位，再用单位检验结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公司 $