7.2.1 圆柱的结构与表面积（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第七章 简单几何体 7.2.1 圆柱——结构、性质与表面积 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先由7.2节导语和笔筒、水杯、立柱等实物情境引出“平面图形绕定直线旋转一周生成几何体”的直观认识，再从矩形绕一条边所在直线旋转形成圆柱的过程给出圆柱的定义和轴、底面、母线、侧面、高等要素，由定义推出三条性质，最后沿一条母线把侧面展开成矩形，建立侧面积公式和表面积公式。概念按“形成方式—构成要素—性质—度量公式”的顺序前后依赖，侧面展开图是连接立体图形与平面图形、建立面积公式的关键环节。 本课承接棱柱、棱锥的结构与性质以及直观图的画法，把研究对象从多面体推进到旋转体，为下一课由轴截面、底面周长或底面积反求半径与高并解决容积、材料等应用问题提供要素与公式基础，也为后续圆锥、球和三视图的学习继续沿用先识别结构、再研究度量的思路。 学情分析 学生已经学过棱柱、棱锥的定义、构成要素、分类和规范表示，也学过直观图的画法，能把空间图形与平面图形对照观察，对圆的周长和面积、矩形的面积计算比较熟悉。但学生对“平面图形旋转生成几何体”的过程缺少想象经验，容易把母线与高看成两条不同的线段，也难以主动把侧面展开图的两条边与底面周长、母线对应起来；在计算中又常把底面直径直接当作半径代入公式。教学中需要借助实物图片和标注图，通过观察旋转过程、指认要素、对照展开图建立公式，并在每一步计算中提醒先分清半径与直径。 教学目标 1．理解圆柱的定义，能准确指出圆柱的轴、底面、母线、侧面和高五个要素，知道圆柱用表示旋转轴的字母规范记作圆柱。 2．能说出圆柱的三条性质，会由侧面展开图说明侧面积公式的来源，并能正确运用侧面积公式和表面积公式计算圆柱的侧面积与表面积，计算时能区分底面直径与半径。 3．通过观察实物与旋转过程、动手展开侧面、对照展开图推导公式，发展直观想象和数学抽象素养，养成先识别要素与关系、再代入公式计算的规范习惯。 教学重难点 教学重点：圆柱的定义与轴、底面、母线、侧面、高五个要素，圆柱的三条性质，以及侧面积公式和表面积公式的建立与运用。 教学难点：由矩形旋转形成圆柱的过程理解“母线等于高”，把侧面展开图的两条边长与底面周长、母线对应起来，并在计算中正确区分底面直径与半径。 教学方法 实物观察法、动态演示法、归纳概括法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 情境　在日常生活中，我们会见到许多外形是管状、球状等形状的物体。图7-27中的腰鼓和灯笼，它们的外形可以看成一条曲线绕着一条直线旋转构成的几何体。 观察图7-28中的笔筒、水杯和立柱，它们的外形有什么共同特点？这样的几何体是怎样形成的？ 学生观察图片，说出这些物体的外形都可以看成一个矩形绕着它的一条边所在的直线旋转一周形成的；教师归纳：像这样由矩形旋转形成的封闭几何体就是圆柱，本课就来研究圆柱的结构、性质和表面积。 由腰鼓、灯笼和笔筒、水杯、立柱等实物图片唤醒旋转生成几何体的直观经验，提出圆柱如何形成的问题，形成认识圆柱要素与表面积的学习需要。 新知讲授 一、圆柱的形成与定义 观察图7-29，这个几何体是由矩形绕边所在的直线旋转一周形成的。 像这样，以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为圆柱；旋转轴称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面，平行于轴的边称为圆柱的母线，母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面，两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高。通常用表示旋转轴的字母来表示圆柱，如图7-30所示的圆柱记为圆柱。 结合图7-30指认各要素：图中的点画线是圆柱的轴，上下两个圆面是两个底面，连接上下底面的竖直线段是母线，母线绕轴旋转形成的曲面是侧面，两个底面圆心之间的距离就是圆柱的高。 理解圆柱的定义要抓住旋转过程：母线是平行于轴的那条边，它旋转出圆柱的侧面；两个底面是垂直于轴的边旋转出的圆面；轴垂直于底面，母线平行于轴，所以母线一定垂直于底面，母线长就等于圆柱的高。 想一想　圆柱的直观图如何画？回忆第29课时学过的斜二测画法，说一说画圆柱的直观图时底面圆要画成什么图形。 教师归纳：画圆柱的直观图时，底面圆要画成椭圆，母线画成平行且相等的线段，两个底面椭圆的中心连线与母线平行；这一画法在直观图一课已经学过，这里只作口头回顾。 即时训练1　填空：以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为______；圆柱中平行于轴的边称为圆柱的______。 【答案】圆柱；母线。 【解析】第一个空是圆柱的定义；第二个空是母线的定义，母线就是平行于轴的那条边。 即时训练2　填空：圆柱中两个底面圆心之间的距离称为圆柱的______；垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的______。 【答案】高；底面。 【解析】两个底面圆心之间的距离是圆柱的高；垂直于轴的边旋转形成的圆面是两个底面。 二、圆柱的规范表示 通常用表示旋转轴的字母来表示圆柱，例如图7-30中的圆柱记作圆柱。 书写时要注意：轴的两个端点字母按顺序写出，中后面的表示上底面圆心，字母不能遗漏，也不能颠倒顺序。 即时训练3　填空：轴的两个端点分别记作，则这个圆柱记作______。 【答案】圆柱。 【解析】圆柱用表示旋转轴的字母来记，轴的两个端点字母按顺序写出，所以记作圆柱。 三、圆柱的三条性质 由圆柱的定义可得圆柱的性质：1．两个底面是半径相等且平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；2．母线平行且相等，都等于圆柱的高；3．过轴的截面（轴截面）是矩形，矩形的边长分别是圆柱的高和底面的直径。 理解这三条性质要抓住两点：母线平行且相等，都等于圆柱的高；轴截面过轴，它的两条边长分别是圆柱的高和底面的直径，底面直径等于半径的2倍，计算时不要把直径当作半径。 即时训练4　判断：圆柱的母线长一定等于圆柱的高。 【答案】正确。 【解析】母线平行且相等，都等于圆柱的高，所以圆柱的母线长与高相等。 即时训练5　填空：过圆柱的轴作截面，得到的截面称为轴截面，它是______形，它的两条边长分别是圆柱的高和底面的______。 【答案】矩；直径。 【解析】过轴的截面是轴截面，它是矩形，两条边长分别是圆柱的高和底面的直径。 四、圆柱的侧面展开图与侧面积、表面积公式 沿圆柱的一条母线将圆柱侧面展开在一个平面上所得的图形称为圆柱的侧面展开图，它是一个矩形，记为矩形，如图7-31所示，矩形的边长分别是圆柱底面的周长和母线的长。 矩形的面积就是圆柱的侧面积，所以圆柱的侧面积为 ，其中为圆柱的底面半径，为圆柱的高。 由展开图建立公式时要注意：底面周长对应矩形的长，母线长（也就是圆柱的高）对应矩形的宽；因为母线等于高，所以侧面积公式中只出现高，不再另外出现母线。 圆柱的表面积为 ，即两个底面圆的面积与侧面积的和；其中为圆柱的底面半径，为圆柱的高。 计算表面积时要注意：表面积等于侧面积加上两个底面的面积，两个底面必须算两次；底面周长与底面积都用底面半径计算，题目给出直径时先把它除以2化成半径。 即时训练6　填空：沿圆柱的一条母线把侧面展开，得到的矩形的长等于圆柱底面的______，宽等于圆柱的______。 【答案】周长；母线长（即高）。 【解析】把侧面沿一条母线展开后，矩形的长对应底面圆展开后的长度，即底面周长；矩形的宽对应母线，母线长等于圆柱的高。 即时训练7　已知圆柱的底面半径为 cm，高为 cm，求它的侧面积。 【答案】。 【解析】底面半径 = cm，高 = cm，代入侧面积公式得 。 按形成方式、定义与要素、规范表示、性质、展开图与公式的依赖顺序展开，用旋转演示和要素标注图突破母线等于高、展开图与底面周长对应的难点。 课堂背诵 1．复述圆柱的定义，并说出圆柱的五个要素和它的规范记法（用轴的两个端点字母表示）。 【答案】以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为圆柱；五个要素是轴、底面、母线、侧面和高；圆柱用表示旋转轴的字母来记，例如圆柱。 【解析】定义的两个条件分别是旋转轴和其余各边绕轴旋转；按“轴—底面—母线—侧面—高”的顺序记忆五个要素。 2．说出圆柱的三条性质，并补全：圆柱的母线长与圆柱的高______；过圆柱的轴的截面是______形，它的两条边长分别是圆柱的高和底面的______。 【答案】性质是：两个底面是半径相等且平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；母线平行且相等，都等于圆柱的高；过轴的截面是矩形，矩形的边长分别是圆柱的高和底面的直径。补全：相等；矩；直径。 【解析】三条性质都由圆柱的定义直接得到，其中“母线等于高”和“轴截面是矩形”是本课计算中最常用的两条。 3．写出圆柱的侧面积公式和表面积公式，并说明公式中各字母表示什么。 【答案】侧面积公式 ；表面积公式 。其中为圆柱的底面半径，为圆柱的高，为底面积。 【解析】侧面积公式由侧面展开图是矩形得到，矩形的长是底面周长，宽是母线（即高）；表面积在侧面积的基础上再加上两个底面圆的面积。 通过定义复述、性质列举和公式书写，检查学生对圆柱要素、母线等于高以及两个面积公式的记忆是否准确、完整。 师生互动 任务1　用A4纸卷成圆柱的侧面，有几种卷法？它们的表面积相等吗？体积相等吗？（教材练习7.2.1第4题） 学生两人一组，用同一张A4纸分别沿长边和短边卷成圆柱的侧面，比较两种卷法的底面周长、高和表面积。 【答案】有两种卷法：沿长边卷成圆柱时底面周长等于纸的长，高等于纸的宽；沿短边卷成圆柱时底面周长等于纸的宽，高等于纸的长。两种卷法的表面积相等，都等于这张纸的面积；两种卷法的体积不相等。 【解析】把纸卷成圆柱的侧面，这张纸就是圆柱的侧面展开图，纸的面积就是圆柱的侧面积；两种卷法用的是同一张纸，侧面积相等，两次都没有底面，所以表面积也相等。两种卷法得到的圆柱底面半径和高都不相同，所以体积不相等。 任务2　同桌互检：一个圆柱的轴截面是边长为6 cm的正方形，说出这个圆柱的底面直径、高和底面周长，并说明它的侧面展开图是什么形状。 【答案】轴截面是正方形，说明底面直径等于高，都等于 cm；底面半径 cm，底面周长 cm；侧面展开图是矩形，矩形的长是 cm，宽是 cm。 【解析】轴截面过轴，它的两条边长分别是圆柱的高和底面的直径，所以正方形的一边是高，另一边是底面直径；把侧面沿一条母线展开后得到矩形，矩形的长是底面周长 ，宽是母线（即高）。 教师归纳：轴截面把圆柱的高与底面直径联系起来，侧面展开图把底面周长与母线联系起来，这两组对应关系是本课计算侧面积和表面积的关键。 在同桌互检和动手卷纸中说出轴截面、展开图与圆柱各要素的对应关系，诊断学生对母线等于高和公式来源的理解，促进规范表达。 课堂练习 1．填空：已知圆柱的底面直径为8 cm，高为6 cm，则这个圆柱的底面半径是______ cm，母线长是______ cm。 【答案】4；6。 【解析】底面半径是直径的一半，所以是4 cm；母线平行且相等，都等于圆柱的高，所以母线长是6 cm。 2．选择：下列说法中，正确的是（　　）。A．圆柱的轴截面是圆　B．圆柱的侧面展开图是三角形　C．平行于圆柱底面的截面是与底面半径相等的圆　D．圆柱的两条母线一定不相等 【答案】C。 【解析】圆柱的轴截面是矩形，A错误；侧面展开图是矩形，B错误；平行于底面的截面是与底面相同的圆，半径相等，C正确；母线平行且相等，D错误。 3．计算：已知圆柱的底面半径为 cm，高为 cm，求这个圆柱的侧面积。 【答案】。 【解析】把底面半径 = cm、高 = cm 代入侧面积公式 ，得 。 4．计算：已知圆柱的底面半径为 cm，高为 cm，求这个圆柱的表面积。 【答案】。 【解析】底面积 ，侧面积由第3题得 ，所以表面积 。 5．说明理由：把一个圆柱的侧面沿一条母线展开后，得到的矩形的两条边长分别与圆柱的哪些量相等？为什么由此可以得到圆柱的侧面积公式？ 【答案】矩形的两条边长分别等于圆柱底面的周长 和圆柱的母线长（即高）；矩形的面积等于长乘宽，也就是 ，而矩形的面积就是圆柱的侧面积，所以 。 【解析】把侧面展开的过程中面积不变，展开后得到矩形，所以矩形的面积等于圆柱的侧面积；矩形的一条边长来自底面圆的展开长度，即底面周长 ，另一条边长来自母线，而母线长等于圆柱的高 ，代入矩形面积公式就得到侧面积公式。 安排填空、选择、求侧面积、求表面积和说明理由的递进练习，最后用说明理由题回收展开图与公式的对应关系，检查课堂达标情况。 课堂小结 1．圆柱是以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体；圆柱有轴、底面、母线、侧面和高五个要素，其中母线平行且相等，都等于圆柱的高。 2．圆柱通常用表示旋转轴的字母来记，轴的两个端点字母按顺序写出，例如圆柱。 3．圆柱的两个底面是半径相等且平行的圆，平行于底面的截面是与底面相同的圆；过轴的截面是轴截面，它是矩形，两条边长分别是圆柱的高和底面的直径，底面直径等于半径的2倍。 4．沿一条母线把圆柱的侧面展开得到一个矩形，矩形的长是底面周长 ，宽是母线长（即高），所以圆柱的侧面积 。 5．圆柱的表面积等于侧面积与两个底面面积的和，。易错提醒：题目给出底面直径时要先除以2化成半径，两个底面必须算两次。 以定义与要素、规范表示、三条性质、展开图与两个面积公式为线索组织教师主导的分点总结，突出半径与直径的辨析这一易错点。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课从腰鼓、灯笼和笔筒、水杯、立柱等实物图片引入，学生对圆柱的形成过程比较感兴趣，指认轴、底面、母线、侧面和高也比较顺利；但仍有部分学生把母线与高看成两条不同的线段，把侧面展开图与底面周长对应起来还需反复提示，个别学生又把底面直径直接当作半径代入公式。后续可增加让学生动手把侧面卷起、展开的环节，并适当延长公式推导后的即时练习与讲评时间。 学科网（北京）股份有限公司 $