7.1.1 棱柱的结构与性质（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第7章 简单几何体 7.1.1 棱柱的结构与性质 学习目标 1．理解多面体和棱柱的定义，准确识别棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、对角线和高六个构成要素，掌握按底面边数命名和顺次写出两个底面各顶点字母的表示方法。 2．能依据侧棱是否垂直于底面、底面是否为正多边形，判断一个棱柱是直棱柱、斜棱柱还是正棱柱，能说出正棱柱的三条性质，并正确写出棱柱的记法。 3．通过观察实物与图形、归纳共同特征和辨析分类条件，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，养成先识别结构要素再作判断的习惯。 章导语 几何学是数学学科最古老的分支之一，古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊等都是几何学的重要发源地。我国古代数学家刘徽、祖冲之、祖暅、徐光启等在几何学上的研究成就均领先于同时代的西方数学家。 本章将在义务教育阶段所学基本几何体的基础上，进一步学习多面体中的棱柱、棱锥和旋转体中的柱、锥、球的结构特征、性质、表面积和体积的求法。 情境与问题：水立方 情境：国家游泳中心（水立方）是北京夏季奥运会和冬季奥运会的场馆之一，外观如同一个冰晶状的长方体，长、宽、高分别为177 m、177 m、30 m。 问题：水立方的外观可以看成什么几何体？它由哪些面围成，有哪些棱和顶点？ 像这样由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体，长方体是多面体的一种，本章先研究其中的棱柱。 多面体的定义 由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。 棱柱的定义 观察教材图中(1)(2)(3)中的多面体，它们有哪些共同特性？ 【答案】这些多面体的上、下两个面都是全等多边形，且对应的边相互平行，其余的面都是平行四边形。 这种有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体称为棱柱。 理解这个定义要抓住两个条件：一是“有两个面互相平行”，这两个面就是棱柱的底面；二是“其余每相邻两个面的公共边都互相平行”，这些公共边就是棱柱的侧棱。两个条件缺一不可。 即时训练1：辨析棱柱定义 即时训练1　判断：由六个平面多边形围成的封闭的几何体一定是棱柱。 【答案】错误。 【解析】定义要求有两个面互相平行，且其余每相邻两个面的公共边都互相平行；仅由平面多边形围成的封闭几何体只能称为多面体，不一定是棱柱。 即时训练2：定义中的底面 即时训练2　填空：棱柱的定义中，“有两个面互相平行”中的这两个面称为棱柱的______。 【答案】底面。 【解析】两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面。 棱柱的构成要素 两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面。相邻两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱。侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点。棱柱上不在同一个面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线。两个底面间的距离称为棱柱的高。 棱柱的命名与规范表示 表示棱柱时分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，如教材图中的棱柱分别记作三棱柱、四棱柱、五棱柱。 书写记法时，两个底面的顶点字母要顺次一一对应，不能遗漏字母，也不能随意调换顺序。 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。 即时训练3 即时训练3　填空：底面是六边形的棱柱称为______，它有______个侧面。 【答案】六棱柱；6。 【解析】棱柱按底面边数命名，底面是六边形的棱柱称为六棱柱，它的侧面个数与底面边数相同。 即时训练4：写出棱柱的记法 即时训练4　已知一个正六棱柱的两个底面顶点分别顺次为A、B、C、D、E、F和、、、、、，写出这个棱柱的记法，并指出它有多少条侧棱。 【答案】记作六棱柱ABCDEF−A'B'C'D'E'F'；它有6条侧棱。 【解析】表示棱柱时顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开；侧棱是相邻两个侧面的公共边，条数与底面边数相同。 棱柱的分类与正棱柱的性质 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱。底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 分类分两步：先看侧棱是否垂直于底面，把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；再看直棱柱的底面是否为正多边形，把底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。正棱柱一定是直棱柱，直棱柱不一定是正棱柱。 正棱柱有以下主要性质：1.两个底面是平行且全等的正多边形；2.侧面都是全等的矩形；3.侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等。 即时训练5与即时训练6 即时训练5　填空：底面是正三角形的直棱柱是______。 【答案】正棱柱。 【解析】底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱，正三角形是正多边形。 即时训练6　判断并说明理由：侧棱都相等的棱柱一定是直棱柱。 【答案】错误。 【解析】任何棱柱的侧棱都互相平行且长度相等，侧棱相等不能说明侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱也相等。 课堂背诵（1） 1．复述棱柱的定义，并指出定义中的两个条件分别对应棱柱的哪两个部分。 【答案】有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体称为棱柱；“有两个面互相平行”对应两个底面，“其余每相邻两个面的公共边都互相平行”对应侧棱。 【解析】定义的两个条件分别刻画底面和侧棱，缺一不可。 2．说出棱柱的六个构成要素。 【答案】底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高。 【解析】对照教材图，按“底面与侧面—侧棱与顶点—对角线与高”的顺序记忆。 课堂背诵（2） 3．补全：侧棱垂直于底面的棱柱称为______；侧棱不垂直于底面的棱柱称为______；底面为正多边形的直棱柱称为______。 【答案】直棱柱；斜棱柱；正棱柱。 【解析】先按侧棱是否垂直于底面区分直棱柱和斜棱柱，再在直棱柱中按底面是否为正多边形确定正棱柱。 师生互动：记法互检与分类辨析（1） 任务1　同桌互检：教材图7-2中(2)的四棱柱记作四棱柱，如果把两个底面的字母顺序写成四棱柱，记法是否仍然表示同一个棱柱？说明理由。 【答案】不能这样写。 【解析】表示棱柱时两个底面的顶点字母要顺次一一对应，第二个底面的字母顺序应与第一个底面一致；写成相反顺序会破坏对应关系，不符合棱柱的表示规范。 师生互动：记法互检与分类辨析（2） 任务2　判断下列三个棱柱分别属于哪一类，并说明理由：①底面是正五边形且侧棱垂直于底面的棱柱；②底面是正六边形且侧棱不垂直于底面的棱柱；③底面是矩形且侧棱垂直于底面的棱柱。 【答案】①是正棱柱；②是斜棱柱；③是直棱柱，但不是正棱柱。 【解析】①侧棱垂直于底面，是直棱柱，且底面是正多边形，所以是正棱柱；②侧棱不垂直于底面，是斜棱柱；③侧棱垂直于底面，是直棱柱，但矩形的四条边不一定相等，底面不一定是正多边形，所以不是正棱柱。 师生互动：记法互检与分类辨析（3） 教师归纳：判断一个棱柱是哪一类，先看侧棱是否垂直于底面，再看底面是否为正多边形；判断正棱柱必须同时满足“是直棱柱”和“底面是正多边形”两个条件。 课堂练习（1） 1．判断：棱柱的两个底面一定是互相平行且全等的多边形。 【答案】正确。 【解析】棱柱定义中“有两个面互相平行”的两个面就是底面，由侧棱互相平行且相等可以推出两个底面全等。 2．填空：一个棱柱的底面是五边形，它有______个侧面，有______条侧棱。 【答案】5；5。 【解析】棱柱的侧面个数和侧棱条数都与底面边数相同。 课堂练习（2） 3．选择：下列棱柱中一定是正棱柱的是（　　）。 A. 底面是正方形的斜棱柱　B. 底面是正三角形的直棱柱　 C. 侧面都是矩形的斜棱柱　D. 侧棱都相等的斜棱柱 【答案】B。 【解析】正棱柱要求底面为正多边形且侧棱垂直于底面，只有B同时满足；A、C、D都是斜棱柱，不可能是正棱柱。 课堂练习（3） 4．判断并说明理由：侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱。 【答案】正确。 【解析】侧面都是矩形，说明侧棱垂直于底面的两条相邻边，从而垂直于底面，这个棱柱是直棱柱。 课堂练习（4） 5．填空：底面是正六边形、侧棱垂直于底面的棱柱称为______，它的侧面都是全等的______。 【答案】正六棱柱；矩形。 【解析】底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；正棱柱的侧面都是全等的矩形。 6．知识检测：说明判断一个棱柱是正棱柱需要同时满足哪两个条件。 【答案】侧棱垂直于底面（是直棱柱），且底面是正多边形。 【解析】正棱柱的定义是“底面为正多边形的直棱柱”，两个条件缺一不可。 课堂小结（1） 1．棱柱的定义：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体称为棱柱。 2．棱柱有底面、侧面、侧棱、顶点、对角线和高六个构成要素，其中两个底面互相平行，侧棱互相平行且相等。 3．棱柱按底面边数命名，表示时顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，两个底面的字母顺序要一一对应。 课堂小结（2） 4．按侧棱是否垂直于底面把棱柱分为直棱柱和斜棱柱，底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱；正棱柱的两个底面是平行且全等的正多边形，侧面都是全等的矩形，侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等且与高相等。 5．易错提醒：定义中的两个条件缺一不可；正棱柱一定是直棱柱，直棱柱不一定是正棱柱；侧棱相等不能说明棱柱是直棱柱。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $