7.1.1 棱柱的结构与性质（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》 第七章 简单几何体 7.1.1 棱柱——结构特征与性质 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材以国家游泳中心（水立方）等实物引入，先抽象出多面体，再从三个棱柱实例的共同特征归纳出棱柱的定义，依次给出底面、侧面、侧棱、顶点、对角线和高六个构成要素，说明按底面边数命名和顺次写出两个底面各顶点字母的表示方法，最后按侧棱是否垂直于底面、底面是否为正多边形把棱柱分为直棱柱、斜棱柱和正棱柱，并归纳正棱柱的三条性质。 本课是第7章简单几何体的起始课，承接义务教育阶段对长方体、正方体等基本几何体的直观认识，为下一课研究棱柱的侧面展开图、侧面积、表面积与体积提供要素、分类和性质基础，也为后续棱锥、旋转体和三视图的学习建立先识别结构、再计算度量的研究路径。 学情分析 学生已在义务教育阶段接触长方体、正方体等基本几何体，能辨认多面体的面、棱和顶点，但对棱柱定义中“有两个面互相平行”和“其余每相邻两个面的公共边都互相平行”这两个条件容易只记住其中一条，也容易把直棱柱与正棱柱混为一谈。教学中需要借助实物图片和图形，通过观察共同特征、逐项指认要素和对照图形书写记法，帮助学生准确识别构成要素和分类条件，形成规范的表示习惯。 教学目标 1．理解多面体和棱柱的定义，准确识别棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、对角线和高六个构成要素，掌握按底面边数命名和顺次写出两个底面各顶点字母的表示方法。 2．能依据侧棱是否垂直于底面、底面是否为正多边形，判断一个棱柱是直棱柱、斜棱柱还是正棱柱，能说出正棱柱的三条性质，并正确写出棱柱的记法。 3．通过观察实物与图形、归纳共同特征和辨析分类条件，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，养成先识别结构要素再作判断的习惯。 教学重难点 教学重点：棱柱的定义与六个构成要素，棱柱的命名和规范表示，直棱柱、斜棱柱与正棱柱的分类以及正棱柱的三条性质。 教学难点：准确理解棱柱定义中的两个条件，区分直棱柱与正棱柱，并规范写出棱柱的记法。 教学方法 实物与图片观察法、归纳概括法、分类辨析法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察章首页图片。几何学是数学学科最古老的分支之一，本章将在义务教育阶段所学基本几何体的基础上，进一步学习多面体中的棱柱、棱锥和旋转体中的柱、锥、球的结构特征、性质、表面积和体积的求法。 情境：国家游泳中心（水立方）是北京夏季奥运会和冬季奥运会的场馆之一，外观如同一个冰晶状的长方体，长、宽、高分别为177 m、177 m、30 m。 问题：水立方的外观可以看成什么几何体？它由哪些面围成，有哪些棱和顶点？ 学生观察图片，说出水立方的外形像一个长方体，并指出它的面、棱和顶点；教师归纳：像这样由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体，长方体是多面体的一种，本章先研究其中的棱柱。 借助章首页与水立方实物图片唤醒基本几何体的直观经验，由外形观察提出结构问题，形成认识棱柱构成要素的学习需要。 新知讲授 一、多面体与棱柱的定义 由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体。围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点。 观察教材图中(1)(2)(3)中的多面体，它们有哪些共同特性？ 这些多面体的上、下两个面都是全等多边形，且对应的边相互平行，其余的面都是平行四边形。 有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体称为棱柱。 理解这个定义要抓住两个条件：一是“有两个面互相平行”，这两个面就是棱柱的底面；二是“其余每相邻两个面的公共边都互相平行”，这些公共边就是棱柱的侧棱。两个条件缺一不可。 即时训练1　判断：由六个平面多边形围成的封闭的几何体一定是棱柱。 【答案】错误。 【解析】定义要求有两个面互相平行，且其余每相邻两个面的公共边都互相平行；仅由平面多边形围成的封闭几何体只能称为多面体，不一定是棱柱。 即时训练2　填空：棱柱的定义中，“有两个面互相平行”中的这两个面称为棱柱的______。 【答案】底面。 【解析】两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面。 二、棱柱的构成要素与规范表示 两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面。相邻两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱。侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点。棱柱上不在同一个面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线。两个底面间的距离称为棱柱的高。 对照教材图逐个指认：图中标注的底面、侧面、侧棱、顶点、对角线和高分别是哪一部分；再按“底面与侧面—侧棱与顶点—对角线与高”的顺序复述这六个要素。 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……。 表示棱柱时分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，如教材图中的棱柱分别记作三棱柱、四棱柱、五棱柱。 书写记法时，两个底面的顶点字母要顺次一一对应，不能遗漏字母，也不能随意调换顺序。 即时训练3　填空：底面是六边形的棱柱称为______，它有______个侧面。 【答案】六棱柱；6。 【解析】棱柱按底面边数命名，底面是六边形的棱柱称为六棱柱，它的侧面个数与底面边数相同。 即时训练4　已知一个正六棱柱的两个底面顶点分别顺次为A、B、C、D、E、F和、、、、、，写出这个棱柱的记法，并指出它有多少条侧棱。 【答案】记作六棱柱；它有6条侧棱。 【解析】表示棱柱时顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开；侧棱是相邻两个侧面的公共边，条数与底面边数相同。 三、棱柱的分类与正棱柱的性质 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱。底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。 分类分两步：先看侧棱是否垂直于底面，把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；再看直棱柱的底面是否为正多边形，把底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱。正棱柱一定是直棱柱，直棱柱不一定是正棱柱。 正棱柱有以下主要性质：1.两个底面是平行且全等的正多边形；2.侧面都是全等的矩形；3.侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等。 即时训练5　填空：底面是正三角形的直棱柱是______。 【答案】正棱柱。 【解析】底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱，正三角形是正多边形。 即时训练6　判断并说明理由：侧棱都相等的棱柱一定是直棱柱。 【答案】错误。 【解析】任何棱柱的侧棱都互相平行且长度相等，侧棱相等不能说明侧棱垂直于底面，斜棱柱的侧棱也相等。 按定义、构成要素与表示、分类与性质的依赖顺序展开，用两幅教材图和教材判断题逐点回收关键条件，突破直棱柱与正棱柱的辨析难点。 课堂背诵 1．复述棱柱的定义，并指出定义中的两个条件分别对应棱柱的哪两个部分。 【答案】有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体称为棱柱；“有两个面互相平行”对应两个底面，“其余每相邻两个面的公共边都互相平行”对应侧棱。 【解析】定义的两个条件分别刻画底面和侧棱，缺一不可。 2．说出棱柱的六个构成要素。 【答案】底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高。 【解析】对照教材图，按“底面与侧面—侧棱与顶点—对角线与高”的顺序记忆。 3．补全：侧棱垂直于底面的棱柱称为______；侧棱不垂直于底面的棱柱称为______；底面为正多边形的直棱柱称为______。 【答案】直棱柱；斜棱柱；正棱柱。 【解析】先按侧棱是否垂直于底面区分直棱柱和斜棱柱，再在直棱柱中按底面是否为正多边形确定正棱柱。 通过定义复述、要素列举和分类条件补全，检查学生对本课必会表述与易混分类的准确记忆。 师生互动 任务1　同桌互检：教材图7-2中(2)的四棱柱记作四棱柱，如果把两个底面的字母顺序写成四棱柱，记法是否仍然表示同一个棱柱？说明理由。 【答案】不能这样写。 【解析】表示棱柱时两个底面的顶点字母要顺次一一对应，第二个底面的字母顺序应与第一个底面一致；写成相反顺序会破坏对应关系，不符合棱柱的表示规范。 任务2　判断下列三个棱柱分别属于哪一类，并说明理由：①底面是正五边形且侧棱垂直于底面的棱柱；②底面是正六边形且侧棱不垂直于底面的棱柱；③底面是矩形且侧棱垂直于底面的棱柱。 【答案】①是正棱柱；②是斜棱柱；③是直棱柱，但不是正棱柱。 【解析】①侧棱垂直于底面，是直棱柱，且底面是正多边形，所以是正棱柱；②侧棱不垂直于底面，是斜棱柱；③侧棱垂直于底面，是直棱柱，但矩形的四条边不一定相等，底面不一定是正多边形，所以不是正棱柱。 教师归纳：判断一个棱柱是哪一类，先看侧棱是否垂直于底面，再看底面是否为正多边形；判断正棱柱必须同时满足“是直棱柱”和“底面是正多边形”两个条件。 在记法互检和分类辨析中让学生说出理由，诊断对顶点对应关系和正棱柱两个条件的理解，促进规范表达。 课堂练习 1．判断：棱柱的两个底面一定是互相平行且全等的多边形。 【答案】正确。 【解析】棱柱定义中“有两个面互相平行”的两个面就是底面，由侧棱互相平行且相等可以推出两个底面全等。 2．填空：一个棱柱的底面是五边形，它有______个侧面，有______条侧棱。 【答案】5；5。 【解析】棱柱的侧面个数和侧棱条数都与底面边数相同。 3．选择：下列棱柱中一定是正棱柱的是（　　）。A. 底面是正方形的斜棱柱　B. 底面是正三角形的直棱柱　C. 侧面都是矩形的斜棱柱　D. 侧棱都相等的斜棱柱 【答案】B。 【解析】正棱柱要求底面为正多边形且侧棱垂直于底面，只有B同时满足；A、C、D都是斜棱柱，不可能是正棱柱。 4．判断并说明理由：侧面都是矩形的棱柱一定是直棱柱。 【答案】正确。 【解析】侧面都是矩形，说明侧棱垂直于底面的两条相邻边，从而垂直于底面，这个棱柱是直棱柱。 5．填空：底面是正六边形、侧棱垂直于底面的棱柱称为______，它的侧面都是全等的______。 【答案】正六棱柱；矩形。 【解析】底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；正棱柱的侧面都是全等的矩形。 6．知识检测：说明判断一个棱柱是正棱柱需要同时满足哪两个条件。 【答案】侧棱垂直于底面（是直棱柱），且底面是正多边形。 【解析】正棱柱的定义是“底面为正多边形的直棱柱”，两个条件缺一不可。 安排判断、填空、选择和说明理由的递进练习，最后用知识检测回收正棱柱的两个条件，检查课堂达标情况。 课堂小结 1．本课从水立方等实物抽象出多面体，再归纳出棱柱的定义：有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体称为棱柱。 2．棱柱有底面、侧面、侧棱、顶点、对角线和高六个构成要素，其中两个底面互相平行，侧棱互相平行且相等。 3．棱柱按底面边数命名，表示时顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，两个底面的字母顺序要一一对应。 4．按侧棱是否垂直于底面把棱柱分为直棱柱和斜棱柱，底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱；正棱柱的两个底面是平行且全等的正多边形，侧面都是全等的矩形，侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等且与高相等。 5．易错提醒：定义中的两个条件缺一不可；正棱柱一定是直棱柱，直棱柱不一定是正棱柱；侧棱相等不能说明棱柱是直棱柱。 以定义、要素、表示、分类和易错点为线索组织教师主导的分点总结，帮助学生形成先识别结构要素再作判断的认知路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课以水立方图片和棱柱图形为载体，学生对构成要素的指认比较顺利，但对定义中两个条件的作用以及正棱柱与直棱柱的区别仍需反复提醒。后续可增加字母记法互查的环节，让学生在同桌互检中暴露顶点对应关系上的错误，再补充“侧棱相等不能判定为直棱柱”的反例，帮助学生固定先看侧棱是否垂直于底面、再看底面是否为正多边形的判断顺序。 学科网（北京）股份有限公司 $