7.1.1 棱柱的表面积和体积（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第七章 简单几何体 7.1.1 棱柱——表面积与体积 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材先由棱柱的侧面沿一条侧棱展开得到侧面展开图，把侧面积转化为矩形面积并得出侧面积公式；再把侧面积与两个底面面积相加得出表面积公式；最后给出直棱柱的体积公式。三个公式都以底面周长、底面积和高为共同要素，按“展开图—侧面积—表面积—体积”的顺序前后依赖。 本课承接棱柱的底面、侧面、侧棱、高以及直棱柱与正棱柱的概念，为棱锥、圆柱等几何体的表面积与体积提供方法基础，也为水渠、纪念碑等实际问题提供计算工具。 学情分析 学生已经掌握长方形、梯形面积公式和长方体体积公式，也认识了直棱柱和正棱柱，但容易把侧面积与表面积混淆，容易用一条底边代替底面周长，在情境问题中还容易把水渠的深度误当作高。课堂通过展开图观察、三个公式的对比、情境计算和纠错练习，帮助学生稳定识别底面周长、底面积和高，并形成规范书写和检验结果的习惯。 教学目标 1．理解棱柱的侧面展开图，掌握直棱柱的侧面积、表面积和体积公式及各自的适用条件。 2．能由底面周长、底面积和高正确计算直棱柱的侧面积、表面积和体积，并能解决水渠、纪念碑、包装箱等简单实际问题。 3．经历由展开图得到侧面积公式以及由三个公式解决实际问题的过程，提升直观想象、数学运算和数学建模素养，形成先辨清底面要素再计算的意识。 教学重难点 教学重点：直棱柱的侧面积、表面积和体积公式，以及侧面展开图与侧面积公式之间的联系。 教学难点：区分侧面积与表面积，在情境问题中正确确定底面周长、底面积和高。 教学方法 展开图直观法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 观察灌溉水渠的横截面（如图）：某县修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，水渠长400 ，深1.5 ，渠底宽1 ，渠面宽2 。 问题1：修筑这条水渠需要挖出多少立方米的土？ 问题2：若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，需要水泥板的面积是多少平方米？ 教师归纳：把水渠看作直四棱柱以后，挖土量对应的是它的体积，水泥板面积对应的是侧面积与底面积的和。要解决这类问题，就要先弄清棱柱的侧面积、表面积和体积怎样计算，这就是本课要研究的内容。 用水渠情境提出挖土量与铺板面积的实际问题，激活面积与体积经验，形成研究棱柱侧面积、表面积和体积公式的认知需要。 新知讲授 一、棱柱的侧面展开图与侧面积公式 将棱柱的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上所得到的图形称为棱柱的侧面展开图。侧面展开图的面积称为棱柱的侧面积。直棱柱的侧面展开图是矩形，它的上、下两条对边长等于直棱柱的底面周长，另外两条对边长等于直棱柱的高，如图7-4所示。 由图7-4可以看出，展开前后侧面的面积没有改变，所以直棱柱的侧面积等于展开所得矩形的面积。矩形的两条邻边分别是底面周长和高，于是得到直棱柱的侧面积公式： 直棱柱的侧面积等于它的底面周长与高的乘积，即 。 这里的是底面周长，是直棱柱的高。公式只对直棱柱成立，因为只有直棱柱的侧面展开图才是矩形；斜棱柱的侧面展开图不是矩形，不能直接使用这个公式。 强化记忆1：合上书，说出直棱柱侧面展开图的形状，以及它的两条邻边分别等于什么。 【答案】侧面展开图是矩形，它的上、下两条对边长等于直棱柱的底面周长，另外两条对边长等于直棱柱的高。 【解析】侧面沿一条侧棱展开后，原来互相平行的侧棱都变成展开图的竖直边，长度都等于高；原来围成一圈的底面各边连成一条长边，长度就是底面周长。 学以致用1：口答。底面周长为12 cm、高为5 cm的直棱柱，它的侧面积是多少？ 【答案】（）。 【解析】直接代入侧面积公式，先确认底面周长与高的数值，再相乘。 学以致用2：填空。一个直棱柱的底面周长为，高为，当高不变、底面周长扩大到原来的2倍时，它的侧面积变为原来的多少倍？ 【答案】2倍。 【解析】侧面积中不变，变为原来的2倍，所以侧面积也变为原来的2倍。 二、棱柱的表面积和体积 棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积或全面积。所以直棱柱的表面积等于它的侧面积与两个底面面积的和，即 。 公式中的是直棱柱的底面积。与侧面积相比，表面积多算了两个底面，这是两个概念最容易混淆的地方：题目问“侧面积”时只算侧面，问“表面积”或“全面积”时要把两个底面加进去。 可以证明，直棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积，即 ， 其中，，分别为直棱柱的底面积、底面周长和高。这个结论与长方体体积公式是一致的，长方体是底面为矩形的直四棱柱，可以看作它的推广。 对比辨析：侧面积、表面积、体积三者比较。侧面积只计算侧面，单位是面积单位；表面积是侧面与两个底面面积的和，单位也是面积单位；体积计算的是所占空间的大小，单位是体积单位。同一个直棱柱的表面积一定比侧面积大，多出的部分是两个底面的面积。 强化记忆2：填空。棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的______；直棱柱的体积等于它的______与______的乘积。 【答案】表面积（或全面积）；底面积；高。 【解析】两个结论都来自教材原文，填空时要注意表面积是“侧面积与两个底面面积之和”，体积是“底面积与高的乘积”。 例1（教材原例）已知一个正四棱柱的底面边长为2 cm，高为3 cm，求这个正四棱柱的全面积和体积。 【答案】这个正四棱柱的全面积为32 ，体积为12 。 【解析】正四棱柱的底面是边长为2 cm的正方形，所以底面周长（cm），底面积（）。 正四棱柱的全面积为 （）。 因为正四棱柱的底面积（），所以正四棱柱的体积为 （）。 学以致用3：填空。一个直三棱柱的底面是边长为3 cm的正三角形，高为4 cm，它的底面周长是______cm。 【答案】9 cm。 【解析】底面是正三角形，三条边相等，底面周长（cm）。 学以致用4：判断。直棱柱的表面积一定等于它的侧面积与一个底面面积的和。 【答案】错误。 【解析】棱柱的表面积是侧面积与两个底面面积之和，即，不是只加一个底面。 三、直棱柱侧面积、表面积和体积的综合应用 例2（教材原例）某县积极推进水利设施建设，现修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400 ，深1.5 ，渠底宽1 ，渠面宽2 。 （1）修筑该水渠需要挖出多少立方米的土？ （2）若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要水泥板的面积是多少平方米（保留到整数）？ 【答案】（1）需要挖出900 的土；（2）需要水泥板约1 665 。 【解析】由题意可知，水渠可以看作底面为等腰梯形的直四棱柱，于是水渠的长为直四棱柱的高。 （1）先求等腰梯形截面的面积，设为，则 （）。 又高，所以 （）。 故修筑水渠需要挖土900 。 （2）设水泥板的面积为，因为 （m）， 所以 （m）， （）。 故在水渠的底部和侧面需要铺设的水泥板约为1 665 。 方法归纳：由例2可以看出，解决这类问题要先认清底面是什么图形，再分别求底面周长和底面积，最后明确高是哪一条线段。水渠一题中，高是水渠的长400 ，不是水渠的深1.5 ；底面积是等腰梯形截面的面积，不是渠面的面积。 教材练习（练习7.1.1第5题）北京天安门广场中心的人民英雄纪念碑是中华人民共和国成立后为纪念革命烈士而修建的。纪念碑的碑心是一块长14.7 、宽2.9 、厚1 的大理石。求纪念碑碑心的侧面积和体积。 【答案】碑心的侧面积为35.2 ，体积为42.63 。 【解析】把碑心看作底面是长14.7 m、宽2.9 m的矩形、高为1 m的直四棱柱，底面周长（m），所以（）。 底面积（），体积（）。 知识检测：一个直四棱柱的底面是边长为5 cm的正方形，高为8 cm。它的侧面积、表面积和体积分别是多少？ 【答案】侧面积为160 ，表面积为210 ，体积为200 。 【解析】底面周长（cm），（）；底面积（），（）；体积（）。 按侧面展开图与侧面积、表面积与体积、综合应用三条线索推进，用教材例1、例2和配套练习逐层落实三个公式的适用条件。 课堂背诵 1．补全：直棱柱的侧面展开图是______，它的上、下两条对边长等于______，另外两条对边长等于______。 【答案】矩形；直棱柱的底面周长；直棱柱的高。 【解析】把侧面沿一条侧棱展开，各条侧棱成为展开图的竖直边，底面各边连成长边，所以展开图是矩形。 2．写出直棱柱的侧面积、表面积和体积公式，并说明式中字母的含义。 【答案】，，；其中，，分别为直棱柱的底面积、底面周长和高。 【解析】三个公式都以底面周长、底面积和高为基本要素，表面积比侧面积多两个底面的面积。 3．判断：棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积，棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积。 【答案】前半句正确；后半句只对直棱柱成立，教材的结论是“可以证明，直棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积”。 【解析】教材给出的是直棱柱的体积公式，使用时要先确认棱柱是直棱柱。 通过展开图结构补全、三个公式的完整复述和适用条件判断，整体回收本课必须会说、会写、会辨析的内容。 师生互动 任务1：同桌互检。判断下面两种说法是否正确，并说明理由。①正四棱柱的侧面积等于底面边长与高的乘积；②直棱柱的底面积不变，高扩大到原来的2倍，体积也扩大到原来的2倍。 【答案】①错误。正四棱柱的侧面积等于底面周长与高的乘积，设底面边长为，则，不是。②正确。由可知，不变而变为时，体积变为，即原来的2倍。 【解析】①考查侧面积公式中用的是底面周长而不是一条底边；②考查体积公式中底面积与高的乘积关系。 任务2：小组合作。用铁皮制作一个无盖的长方体水箱，底面是长0.8 、宽0.5 的矩形，高0.6 。求所需铁皮的面积和这个水箱的容积。 【答案】所需铁皮面积为1.96 ，容积为0.24 。 【解析】水箱无盖，所需铁皮面积等于侧面积加一个底面的面积。底面周长（m），侧面积（）；底面积（），所以所需铁皮面积（）。容积（）。 教师归纳：遇到实际问题时，先判断物体是不是直棱柱，再判断所求的是侧面积、表面积还是体积。无盖水箱求的是侧面积加一个底面，有水渠、纪念碑这类问题还要注意高是哪一条线段。 让学生在纠错辨析和实际制作问题中说明依据，诊断侧面积与表面积的区分以及情境中高与底面要素的识别。 课堂练习 1．判断：直棱柱的侧面积等于底面周长与高的乘积，斜棱柱也可以用这个公式计算。 【答案】错误。 【解析】公式只在侧面展开图为矩形时成立，斜棱柱的侧面展开图不是矩形，不能直接使用。 2．已知正六棱柱的底面边长为2 cm，高为3 cm，求它的侧面积。 【答案】36 。 【解析】正六边形的六条边相等，底面周长（cm），侧面积（）。 3．一个直三棱柱的底面是两条直角边长分别为3 cm和4 cm的直角三角形，侧棱长为5 cm。求它的表面积和体积。 【答案】表面积为72 ，体积为30 。 【解析】由勾股定理，底面斜边长为（cm），底面周长（cm），底面积（）。 侧面积（），表面积（），体积（）。 4．一个长方体形状的包装箱长0.6 、宽0.4 、高0.5 。求这个包装箱的表面积和体积。 【答案】表面积为1.48 ，体积为0.12 。 【解析】长方体是底面为矩形的直四棱柱。底面周长（m），侧面积（），底面积（），所以表面积（），体积（）。 5．纠错：小明计算一个高为4 cm、底面是边长为3 cm的正方形的直四棱柱的侧面积时，写成（）。请指出错误并改正。 【答案】错误。侧面积应等于底面周长与高的乘积，不能只用一条底边乘高。改正：底面周长（cm），（）。 【解析】底面是正方形时，底面周长是边长的4倍；先用错解中的3 cm代替底面周长，是把底边与底面周长混淆了。 用判断、正棱柱与直角三角形底面计算、实际包装箱和纠错五题分层检测，覆盖三个公式的适用条件与底面要素识别。 课堂小结 1．直棱柱的侧面展开图是矩形，它的上、下两条对边长等于底面周长，另外两条对边长等于高，所以直棱柱的侧面积。 2．棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积，直棱柱的表面积，它比侧面积多两个底面的面积。 3．直棱柱的体积等于底面积与高的乘积，即，它与长方体体积公式一致。 4．计算前先认清底面形状与尺寸，分别求出底面周长和底面积，并明确高是两个底面之间的距离；水渠一题中高是水渠的长，不是水渠的深。 5．解决实际问题时先判断物体是不是直棱柱，再判断所求是侧面积、表面积还是体积，最后按“写公式—代数据—得结果—带单位”的格式作答，这样就能算出水渠的挖土量和铺板面积。 以展开图与三个公式、要素识别和实际问题作答顺序为线索分点整理，帮助学生形成可迁移的棱柱计算路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生求侧面积时是否先算出底面周长，用一条底边代替底面周长是本课最典型的错误。课堂可压缩教师演算，把时间用于对比侧面积与表面积的区别，并要求学生用完整句子说明每个公式中各字母的实际含义。例2的教学可让学生先独立判断高是哪一条线段，再动手计算；对底面积不是矩形的题目，应先画出底面并标出已知条件，最后坚持用单位检验结果是否符合实际。 学科网（北京）股份有限公司 $