第80卷 平面向量及复数（3）2027年四川省（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第80卷 平面向量及复数 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】. 2．设复数，则=（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义求出，再计算的结果，最后根据复数模的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 3．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 4．已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得． 【详解】，，则，所以. 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 6．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标公式得，利用同角三角函数的平方关系，及二倍角公式计算即可. 【详解】易知，所以， 则，即. 故选：D 7．已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有， ， 若三点共线，则存在实数使得， 因为不共线，所以有，得. 8．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，坐标表示向量，再利用向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设， ，，， 则为 的中点，所以. 因此，， 所以. 9．已知两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量模长计算式，将等式两边平方化简即可 【详解】由题，即 10．与向量方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与方向相同的单位向量为. 11．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图可得：. 12．已知向量不共线，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 13.若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4，则的最大值为． 14．在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图，   . 15．已知向量，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且同向，即， 所以“且”是“”的必要不充分条件. 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．若为虚数单位，则________． 【答案】 【详解】因为，所以的周期为4，且， 所以. 17．若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 【答案】 【分析】先利用向量数量积定义求出，再展开向量点积表达式，代入已知模长与数量积的值计算结果. 【详解】由向量数量积定义，得. . 18．已知向量，，若，则实数______. 【答案】 【分析】先根据向量线性运算的坐标公式求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得，由，可得，解得.故答案为：. 19．若向量满足，则______． 【答案】/0.5 【分析】将平方，把代入即可. 【详解】因为，所以， 即，即，所以， 故答案为：. 20．边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求解 【详解】如图，分别以,为建立平面直角坐标系，则，设，则，， 当在边或边上时，，所以， 当在边上时，，，当在边上时，，， 所以的取值范围为， 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.已知在中，，，试证明三角形的面积. 【答案】证明见解析. 【分析】根据数量积定义和同角三角函数的平方关系化简可得. 【详解】证明：因为， 所以 . 22．已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算的值，再代入向量模的计算公式，即可求解； （2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）∵，且与夹角为， ∴， ∴； （2）， ∴ 23．已知平面向量，且． (1)求实数的值； (2)求向量与向量的夹角． 【答案】(1)12， (2) 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示求解即可. （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角． 【详解】（1），解得． ，， . （2）由（1）知，，. ，，. 设的夹角为，则． ，， 即向量与向量的夹角为． 24．已知复数满足，且是关于的方程，，的一个根. (1)求复数； (2)求实数，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，进而利用复数的除法法则计算即可求得复数； （2）将复数代入方程，利用复数相等的条件即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以， 所以. （2）因为是关于的方程，，的一个根， 所以，所以， 即，所以，解得. 25．已知向量，． (1)当时，求向量的坐标； (2)若，求实数的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由特殊角三角函数的计算和平面向量加法的坐标运算可得结果； （2）由向量平行的坐标关系列式求解即可； （3）先根据向量数量积的坐标公式化简函数，再根据二倍角公式化简，最后根据正弦函数性质可得最大值. 【详解】（1）当时，向量，， 所以； （2）若，又向量，，所以， 所以，所以； （3）， 当时，等号成立，所以的最大值为． 26．设是两个不共线的向量，． (1)若向量与向量共线，求的值； (2)若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，根据系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【详解】（1）因为向量与向量共线，则存在实数，使得，所以解得． （2）因为，且与的夹角为， 所以 所以当时，取得最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年四川省对口招生《数学考纲百套卷》 第80卷 平面向量及复数 专题训练卷 考试时间：90分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．化简：等于（   ） A． B． C． D． 2．设复数，则=（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 4．已知向量，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是长度相等的向量 6．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知不共线，，若三点共线，则（    ） A． B． C． D． 8．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 9．已知两个非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 10．与向量方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 11．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（   ） A． B． C． D． 12．已知向量不共线，且，则实数（   ） A． B． C． D． 13.若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．已知向量，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分.） 16．若为虚数单位，则________． 17．若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 18．已知向量，，若，则实数______. 19．若向量满足，则______． 20．边长为1的正方形ABCD上有一动点，则向量的范围是___________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.已知在中，，，试证明三角形的面积. 22．已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 23．已知平面向量，且． (1)求实数的值； (2)求向量与向量的夹角． 24．已知复数满足，且是关于的方程，，的一个根. (1)求复数； (2)求实数，. 25．已知向量，． (1)当时，求向量的坐标； (2)若，求实数的值； (3)求的最大值． 26．设是两个不共线的向量，． (1)若向量与向量共线，求的值； (2)若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $