第47卷 二面角-考点训练卷 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第47卷 二面角与平面角 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．以等腰直角的斜边上的高为折痕，折叠使二面角为，此时为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，找出二面角的平面角，结合勾股定理求出，即可求解. 【详解】如图，等腰直角的斜边上的高为折痕， 折叠使二面角为， 令， 因为为等腰直角三角形， 所以，， 且， 所以, 设，则，解得， 所以， 又由， 可得为二面角的平面角， 所以，， 所以，即为等边三角形， 所以， 故选：C. 2．以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，折叠时使二面角为90°，此时为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，找出二面角的平面角，结合勾股定理求出，即可求解. 【详解】 如图，令, 则， 因为,则为二面角的平面角， 则， 则， 所以， 所以为等边三角形， 则， 故选：C. 3．如图正方体中，二面角的平面角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的概念即可求解. 【详解】如图： 连接，在正方体中，底面， 所以， 又， 所以二面角的平面角， 由正方体的性质可知，. 故选：B. 4．在正方体中，截面与底面所成的二面角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用定义作出为所求的角，再通过直角三角形即可求解. 【详解】如图所示，连接交于，连接， 则，为二面角的平面角，    设，则， 所以. 故选：C. 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 连接，设，连接，则， 因为在正方体中，, 所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在中，，， 所以． 故选：A. 6．正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】找到二面角的平面角，利用直角三角形求三角函数即可. 【详解】如图，作的中点，连接，，，， 因为为正方体， 则，为等边三角形，则， 同理，为等腰直角三角形，， 则平面，平面，平面平面， 则为二面角的平面角， 设正方体边长为，则对角线长为， 则，， 由题易知底面，底面，则， 则， 则二面角的正切值为. 故选：B. 7．如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正方体的结构特征，利用线面垂直的性质找到二面角的平面角，即，直接求解即可． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是． 故选：B． 8．在正方体中，平面与平面所成角的正切值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义作出为所求的角，再通过直角三角形利用正切值的定义直接得出答案. 【详解】如图所示：连接交于，连接， 在正方体中，平面，平面，所以， 又，则，且，平面， 所以平面，平面，则， 则为平面与平面所成角， 设正方体的边长为1，则， 所以平面与平面所成角的正切值是. 故选：A. 9．在正方体中，二面角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】确定二面角的平面角为，根据正方体的特征，即可求解. 【详解】 ∵是正方体， ∴平面,而平面， 得到， 即二面角的平面角是. 而是正方形的对角线，故. 故选：B. 10．在二面角的一个面内有一点到棱的距离为6，则该点到另一个面的距离为（    ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，利用线线垂直得到线面垂直，进而确定二面角的平面角，再结合直角三角形求解即可. 【详解】 如图所示，为二面角的一个面内的一点.是它到另一个面的距离. 是它到棱的距离.. 因为.所以. 又因为，平面，所以面. 因为面.所以. 所以为二面角的平面角.即. 在中，. 所以该点到另一个平面的距离为3. 故选：A. 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．正三棱锥高为，底面边长为，那么侧面与底面所成的二面角大小是_________rad. 【答案】 【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角的一个顶点到底面中心的距离.通过解直角三角形得到答案. 【详解】 如图三棱锥为正三棱锥.为三棱锥的高.点为三角形的中心. 所以. 取的中点，连接. 所以. 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 因为底面.面. 所以. 因为. 所以. 所以.即侧面与底面所成的二面角为. 故答案为：. 12．将正方形沿对角线折成直二面角后， ___________. 【答案】 【分析】在原正方形内，对角线互相垂直，折成直二面角后，根据线线垂直关系求得，进而由的关系可以得到. 【详解】    折之前，设正方形对角线的交点为O，边长为2， 在正方形中，，则， 因为，所以， 折之后，有，且二面角为直二面角， 所以，所以 所以，所以为等边三角形，所以， 故答案为：. 13．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据二面角的平面角范围求解即可； 【详解】二面角由两个半平面和它们的交线组成，其平面角是在两个半平面内分别作垂直于交线的射线所形成的角, 平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是； 故答案为： 14．在正中，于，沿折成二面角后，使，则该二面角的平面角为__________. 【答案】 【分析】根据二面角的基本性质和求解公式，即可求解. 【详解】在正中，，，， 所以为该二面角的平面角. 在中，， 因为， 则 ，故. 故答案为：. 15．在正方体中，二面角的平面角等于______． 【答案】 【分析】根据正方体中的位置关系，找出二面角的平面角即可求解. 【详解】根据正方体中的位置关系可知，，， 根据二面角的平面角定义可知，即为二面角的平面角． 又，且，所以． 故答案为：. 16．制作一个正三棱锥的灯罩，其相邻两个侧面所成的二面角大小______. 【答案】相等 【分析】根据正三棱锥的性质即可得解. 【详解】根据正棱锥的性质，正棱锥相邻两个侧面所成的二面角大小相等， 故答案为：相等. 17．棱长为的正方体中，二面角的正切值为________． 【答案】 【分析】取中点O，连接，证明即为所求二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】 如图，取中点O，连接， ∵正方形，∴， 又易知，为的中点，所以， ∴即为所求二面角的平面角， 因为平面，平面， ∴，∵， 在中，． 故答案为：. 18．在正方体中，二面角平面角的正切值为_________. 【答案】 【分析】根据二面角的定义，结合题意，二面角的平面角为，解直角三角形即可求解. 【详解】如图    取的中点，连接， 在正方体中，可知， 所以，所以二面角的平面角为， 设正方体的棱长为2，所以， 所以， 故答案为：. 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．如图所示，在二面角内有一点A，过A作于B，作于C，如果，那么二面角是多少度？ 【答案】 【分析】结合线面垂直找出二面角的平面角后计算即可． 【详解】如图，设确定平面，直线l与平面相交于点O．连接． 因为，所以； 因为，所以， 故直线平面，所以， 所以为二面角的平面角． 因为， 所以二面角的度数是． 20．屋顶两坡面交于屋脊线，垂直屋脊的截面中两坡线夹角为．求两坡面所成二面角的大小. 【答案】 【分析】根据二面角的定义求解. 【详解】垂直棱的截面中两条交线所成角就是二面角的平面角， 因为垂直屋脊的截面中两坡线夹角为， 所以两坡面所成二面角的大小为. 21．二面角中，点，射线，，且，.若，求该二面角的大小. 【答案】 【分析】根据题意找到二面角的平面角即可得解. 【详解】二面角中，点，射线，，且，， 为二面角的平面角，， 所以该二面角大小为. 22．如图1，将等腰直角三角形以斜边上的高为棱折成直二面角（如图2），求的大小. 【答案】 【分析】根据题意，证明为二面角的平面角即可求解. 【详解】因为是等腰直角三角形斜边上的高， 所以，即，， 折叠后，，不变， 则是二面角的平面角， 由于二面角是直二面角，所以. 23．如图所示，在正方体中．求平面与平面所成的二面角的大小． 【答案】 【分析】根据二面角平面角的定义先判断是平面和平面所成的二面角的平面角，即可得到结论． 【详解】∵是正方体， ∴平面，且平面， ∴，， ∴是平面和平面所成的二面角的平面角， ∵在正方体中， ∴平面和平面所成的二面角的平面角为． 24．如图所示，在边长为2的正方体中． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等体积法求解即可； （2）根据二面角的解法求解即可； 【详解】（1）因为在正方体中，平面， ， 所以； （2）取的中点，连接， 由题，有，则， 由题，有，则， 则就是二面角的平面角， 在中，， 则． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山西省（对口升学）《数学考纲百套卷》 第47卷 二面角与平面角 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．以等腰直角的斜边上的高为折痕，折叠使二面角为，此时为（   ） A． B． C． D． 2．以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，折叠时使二面角为90°，此时为（    ） A． B． C． D． 3．如图正方体中，二面角的平面角是（    ） A． B． C． D． 4．在正方体中，截面与底面所成的二面角的正切值等于（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．正方体中，二面角的正切值为（   ） A． B． C．1 D． 7．如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A． B． C． D． 8．在正方体中，平面与平面所成角的正切值是（   ） A． B． C． D． 9．在正方体中，二面角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 10．在二面角的一个面内有一点到棱的距离为6，则该点到另一个面的距离为（    ） A．3 B．12 C． D． 二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 11．正三棱锥高为，底面边长为，那么侧面与底面所成的二面角大小是_________rad. 12．将正方形沿对角线折成直二面角后， ___________. 13．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是_____. 14．在正中，于，沿折成二面角后，使，则该二面角的平面角为__________. 15．在正方体中，二面角的平面角等于______． 16．制作一个正三棱锥的灯罩，其相邻两个侧面所成的二面角大小______. 17．棱长为的正方体中，二面角的正切值为________． 18．在正方体中，二面角平面角的正切值为_________. 三、解答题:本大题共6小题，19-23每题6分，24题8分，共38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．如图所示，在二面角内有一点A，过A作于B，作于C，如果，那么二面角是多少度？ 20．屋顶两坡面交于屋脊线，垂直屋脊的截面中两坡线夹角为．求两坡面所成二面角的大小. 21．二面角中，点，射线，，且，.若，求该二面角的大小. 22．如图1，将等腰直角三角形以斜边上的高为棱折成直二面角（如图2），求的大小. 23．如图所示，在正方体中．求平面与平面所成的二面角的大小． 24．如图所示，在边长为2的正方体中． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $