第50卷 双曲线（2）-考点训练卷 2027年山东省（春季高考）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第50卷 双曲线（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若双曲线的标准方程为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中、、的关系来求解的值即可. 【详解】双曲线中，，且， 则有，所以. 故选：C. 2．已知双曲线的虚半轴长为，焦距为，则的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线中的关系及离心率公式求解. 【详解】设为实半轴长，为虚半轴长，为半焦距， 已知双曲线的虚半轴长，焦距，可得， 则，所以， 则的离心率为. 故选：D. 3．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程的形式以及充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则， 解得，故必要性不成立. 若“”，则方程表示双曲线，故充分性成立， 即“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 4．若双曲线的渐近线为，且，焦点在轴上，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线为，且，焦点在轴上， 则有，则有，解得. 故选：A. 5．双曲线 的渐近线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线公式易得答案. 【详解】由双曲线方程，可得，焦点在 轴上， 所以渐近线为 . 故选：A. 6．若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，且双曲线过点.则双曲线的渐近线方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程的系数关系，结合渐近线方程公式即可求解. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别是，， 所以， 因为双曲线过点，所以， 解得，所以， 则双曲线的渐近线方程是. 故选：A. 8．已知双曲线的离心率是，则该双曲线的焦距为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率公式及焦距定义求解. 【详解】已知双曲线的离心率是， 则，， 所以，所以焦距为， 故选：D. 9．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件和双曲线的渐近线方程得到，再由双曲线关系求解离心率即可. 【详解】由直线可知，其斜率为. 因为双曲线的渐近线方程为，则， 所以. 故选：C 10．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，再得出的值，再由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】由双曲线，得， 所以，则，， ，， 由，可得， 则的周长为：. 故选：C. 11．已知双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为2，则该双曲线的实轴等于（   ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质和正方形的特点来确定双曲线的实轴长. 【详解】因为双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，且正方形的边与垂直， 所以渐近线的斜率，即， 已知点为双曲线的焦点，正方形的边长为， 由勾股定理可得. 又因为，， 所以，即，，解得. 将代入可得实轴长为. 综上，该双曲线的实轴长为. 故选：D.    12．已知点为双曲线上一点，且分别为双曲线的左、右焦点，若，则（   ） A．2 B．2或18 C．4 D．4或18 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中， 则，即， ∵， ∴由双曲线定义，， 则有，即，解得或. 且，， 经检验，或时都满足，都成立. 故选：B. 13．设点，为双曲线的两焦点，点在双曲线上，且，则的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，在双曲线中，    令， 由双曲线的定义可知，， 由余弦定理可知： 在中， 化简得， 则的面积， 故选：D 14．如图所示，已知双曲线（，）的焦点分别是，，以线段为边作正三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正三角形的边的关系与双曲线的定义，得到关于的齐次式，从而得解. 【详解】已知，是双曲线的焦点，则， 因为以线段为边作正三角形，的中点在双曲线上， 所以，，故， 由双曲线的定义可知，即， 故，所以， 则双曲线的离心率是. 故选：B. 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．焦点在轴上，实半轴长为2，且离心率为的双曲线方程为__________. 【答案】 【分析】由焦点的位置，可设椭圆的标准方程为，根据题意可得，从而可求c和，据此即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 因为实半轴长为2，且离心率为， 所以，所以，则， 所以双曲线方程为. 故答案为：. 17．设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是__________． 【答案】/1.25 【分析】根据双曲线渐近线求得，结合的关系即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以. 因为，则. 故答案为：. 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：.    19．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是__________. 【答案】/0.5 【分析】先求渐近线，再求右焦点易得答案. 【详解】因为,所以,一条渐近线与直线垂直, 所以渐近线斜率, 因为,所以渐近线,所以,解得, 因为,所以,因为渐近线的方程为,右焦点为, 所以. 故答案为:. 20．已知双曲线的中心是坐标原点，焦点在轴上，过右焦点且垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右顶点是的中点，若，则该双曲线的实轴长等于__________. 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，再利用右顶点A是的中点，可得a与c的关系，利用勾股定理即可求解a的值，即可求解双曲线的实轴长. 【详解】因为双曲线的中心是坐标原点，焦点在轴上， 所以设双曲线方程为，右焦点， 因为过右焦点且垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点， 所以点P的横坐标为c，且在第一象限， 所以有，解得，所以点， 又因为，双曲线的右顶点是的中点， 所以，即， 在双曲线中有，所以， 又因为， 所以在直角三角形APF中，， 由，代入上式可得， 所以该双曲线的实轴长等于. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．根据条件，求双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6； (2)焦点为和，双曲线上一点M的坐标为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中信息得到a和c，从而根据双曲线中计算出b即可求解. （2）根据双曲线定义列出方程可以得到a，再根据题中信息得到c，最后根据双曲线中计算出b即可求解. 【详解】（1）因为焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6， 所以，，即，， 所以. 因为双曲线的焦点在轴上， 故双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的定义知，， 因为双曲线上一点M的坐标为， 所以， 化简得，即. 因为焦点为和， 所以且双曲线的焦点在轴上， 所以. 所以双曲线的标准方程为. 22．已知双曲线（，）和椭圆有相同的焦点、，且两曲线在第一象限交于点P，点是双曲线与x轴的一个交点.求： (1)双曲线的标准方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据椭圆方程求出焦点坐标，利用双曲线的性质求出参数即可得解. （）根据双曲线及椭圆的定义求出的值，利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆，焦点在轴上， 设椭圆的参数为，则，， 则，解得，所以椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线的焦点坐标为， 设双曲线的参数，则， 由题意可知，双曲线的一个顶点，则， 则， 所以双曲线方程为. （2）设， 则，解得， 因为， 在中，， 因为，则， 则的面积为. 23．已知双曲线C：的离心率为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合关系即可求解. （2）先设出点坐标，分别代入双曲线方程，结合中点坐标公式，直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）设为双曲线的半焦距， 已知离心率，则，即， 则， 因为双曲线过点，所以， 可得，解得，从而， 所以双曲线的标准方程为. （2）设， 若，根据双曲线的对称性可知， 此时线段的中点在轴上，不符合题意，故. 因为、在双曲线上，所以， 两式相减得，即， 因为线段的中点为， 所以，，即，， 所以 ，则， 所以直线l的斜率，又直线过点， 故直线l的方程为，即. 联立，消去得， 此时，满足直线l与双曲线C交于两点. 综上，直线l的方程为.    24．已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)经过点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线方程，再根据离心率求解即可. （2）首先求出直线方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以， 进而焦点为. 因为双曲线与椭圆共焦点，所以设双曲线的方程为. 因为离心率，所以，. 故双曲线方程为，即. （2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为. 因为直线经过点，所以直线方程为. 与双曲线联立，化简得. 设，则. 由弦长公式， 所以，故弦长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》，严格依据最新的山东省春季高考数学考试标准，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年山东省春季高考《数学考纲百套卷》 第50卷 双曲线（2） 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．若双曲线的标准方程为，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中、、的关系来求解的值即可. 【详解】双曲线中，，且， 则有，所以. 故选：C. 2．已知双曲线的虚半轴长为，焦距为，则的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线中的关系及离心率公式求解. 【详解】设为实半轴长，为虚半轴长，为半焦距， 已知双曲线的虚半轴长，焦距，可得， 则，所以， 则的离心率为. 故选：D. 3．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程的形式以及充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则， 解得，故必要性不成立. 若“”，则方程表示双曲线，故充分性成立， 即“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 4．若双曲线的渐近线为，且，焦点在轴上，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦点在轴上的渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线为，且，焦点在轴上， 则有，则有，解得. 故选：A. 5．双曲线 的渐近线是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程和渐近线公式易得答案. 【详解】由双曲线方程，可得，焦点在 轴上， 所以渐近线为 . 故选：A. 6．若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 7．已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，且双曲线过点.则双曲线的渐近线方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程的系数关系，结合渐近线方程公式即可求解. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别是，， 所以， 因为双曲线过点，所以， 解得，所以， 则双曲线的渐近线方程是. 故选：A. 8．已知双曲线的离心率是，则该双曲线的焦距为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的离心率公式及焦距定义求解. 【详解】已知双曲线的离心率是， 则，， 所以，所以焦距为， 故选：D. 9．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件和双曲线的渐近线方程得到，再由双曲线关系求解离心率即可. 【详解】由直线可知，其斜率为. 因为双曲线的渐近线方程为，则， 所以. 故选：C 10．过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，再得出的值，再由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】由双曲线，得， 所以，则，， ，， 由，可得， 则的周长为：. 故选：C. 11．已知双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为2，则该双曲线的实轴等于（   ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线的性质和正方形的特点来确定双曲线的实轴长. 【详解】因为双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，且正方形的边与垂直， 所以渐近线的斜率，即， 已知点为双曲线的焦点，正方形的边长为， 由勾股定理可得. 又因为，， 所以，即，，解得. 将代入可得实轴长为. 综上，该双曲线的实轴长为. 故选：D.    12．已知点为双曲线上一点，且分别为双曲线的左、右焦点，若，则（   ） A．2 B．2或18 C．4 D．4或18 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中， 则，即， ∵， ∴由双曲线定义，， 则有，即，解得或. 且，， 经检验，或时都满足，都成立. 故选：B. 13．设点，为双曲线的两焦点，点在双曲线上，且，则的面积等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，在双曲线中，    令， 由双曲线的定义可知，， 由余弦定理可知： 在中， 化简得， 则的面积， 故选：D 14．如图所示，已知双曲线（，）的焦点分别是，，以线段为边作正三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用正三角形的边的关系与双曲线的定义，得到关于的齐次式，从而得解. 【详解】已知，是双曲线的焦点，则， 因为以线段为边作正三角形，的中点在双曲线上， 所以，，故， 由双曲线的定义可知，即， 故，所以， 则双曲线的离心率是. 故选：B. 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以原点为圆心且过点的圆与双曲线在x轴上方交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆性质得，结合双曲线定义与勾股定理求出，即可写出渐近线方程. 【详解】因为双曲线左、右焦点分别为，， 即，满足， 以原点为圆心且过点的圆为， 设，则,即， 又，即， 又，且在圆上， 所以,即， 所以，即， 即双曲线渐近线为，整理得.    故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题4 分，共 20 分） 16．焦点在轴上，实半轴长为2，且离心率为的双曲线方程为__________. 【答案】 【分析】由焦点的位置，可设椭圆的标准方程为，根据题意可得，从而可求c和，据此即可求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 因为实半轴长为2，且离心率为， 所以，所以，则， 所以双曲线方程为. 故答案为：. 17．设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是__________． 【答案】/1.25 【分析】根据双曲线渐近线求得，结合的关系即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以. 因为，则. 故答案为：. 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：.    19．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是__________. 【答案】/0.5 【分析】先求渐近线，再求右焦点易得答案. 【详解】因为,所以,一条渐近线与直线垂直, 所以渐近线斜率, 因为,所以渐近线,所以,解得, 因为,所以,因为渐近线的方程为,右焦点为, 所以. 故答案为:. 20．已知双曲线的中心是坐标原点，焦点在轴上，过右焦点且垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点，双曲线的右顶点是的中点，若，则该双曲线的实轴长等于__________. 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，再利用右顶点A是的中点，可得a与c的关系，利用勾股定理即可求解a的值，即可求解双曲线的实轴长. 【详解】因为双曲线的中心是坐标原点，焦点在轴上， 所以设双曲线方程为，右焦点， 因为过右焦点且垂直于轴的直线，与双曲线在第一象限交于点， 所以点P的横坐标为c，且在第一象限， 所以有，解得，所以点， 又因为，双曲线的右顶点是的中点， 所以，即， 在双曲线中有，所以， 又因为， 所以在直角三角形APF中，， 由，代入上式可得， 所以该双曲线的实轴长等于. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题10分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 21．根据条件，求双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6； (2)焦点为和，双曲线上一点M的坐标为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中信息得到a和c，从而根据双曲线中计算出b即可求解. （2）根据双曲线定义列出方程可以得到a，再根据题中信息得到c，最后根据双曲线中计算出b即可求解. 【详解】（1）因为焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6， 所以，，即，， 所以. 因为双曲线的焦点在轴上， 故双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的定义知，， 因为双曲线上一点M的坐标为， 所以， 化简得，即. 因为焦点为和， 所以且双曲线的焦点在轴上， 所以. 所以双曲线的标准方程为. 22．已知双曲线（，）和椭圆有相同的焦点、，且两曲线在第一象限交于点P，点是双曲线与x轴的一个交点.求： (1)双曲线的标准方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据椭圆方程求出焦点坐标，利用双曲线的性质求出参数即可得解. （）根据双曲线及椭圆的定义求出的值，利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆，焦点在轴上， 设椭圆的参数为，则，， 则，解得，所以椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线的焦点坐标为， 设双曲线的参数，则， 由题意可知，双曲线的一个顶点，则， 则， 所以双曲线方程为. （2）设， 则，解得， 因为， 在中，， 因为，则， 则的面积为. 23．已知双曲线C：的离心率为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合关系即可求解. （2）先设出点坐标，分别代入双曲线方程，结合中点坐标公式，直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）设为双曲线的半焦距， 已知离心率，则，即， 则， 因为双曲线过点，所以， 可得，解得，从而， 所以双曲线的标准方程为. （2）设， 若，根据双曲线的对称性可知， 此时线段的中点在轴上，不符合题意，故. 因为、在双曲线上，所以， 两式相减得，即， 因为线段的中点为， 所以，，即，， 所以 ，则， 所以直线l的斜率，又直线过点， 故直线l的方程为，即. 联立，消去得， 此时，满足直线l与双曲线C交于两点. 综上，直线l的方程为.    24．已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为2． (1)求双曲线的方程； (2)经过点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的焦点，设出双曲线方程，再根据离心率求解即可. （2）首先求出直线方程，根据韦达定理以及弦长公式求解即可. 【详解】（1）因为椭圆方程为，所以， 进而焦点为. 因为双曲线与椭圆共焦点，所以设双曲线的方程为. 因为离心率，所以，. 故双曲线方程为，即. （2）因为直线的倾斜角为，所以斜率为. 因为直线经过点，所以直线方程为. 与双曲线联立，化简得. 设，则. 由弦长公式， 所以，故弦长为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $