4.3.1任意角的三角函数定义（课件）高教版（第三版）《数学 基础模块上册》【上好课】

4.3.1任意角的三角函数定义 高教版（第三版）·基础模块 第四单元 三角函数 学习目标 知识层面 理解任意角三角函数的概念，掌握任意角的正弦、余弦、正切的公式，识记三个三角函数的定义域 能力层面 能借助平面直角坐标系，根据角终边上点的坐标求解三角函数值，解决简单三角函数求值问题 核心素养层面 经历三角函数从锐角向任意角的推广过程，培养数形结合的思维能力，提升数学抽象的数学核心素养 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 圭表 古人在平地上直立一根杆——“表”，在地面上平放刻度尺——“圭”，通过测量正午日影的长短来判断时节. 正午日影最长之日为冬至，日影最短之日为夏至. 古人由此定出了二十四节气，并测得回归年长度. 古人通过测量正午表影长度来测定节气和回归年长度.表高与影长构成的直角三角形，本质上就是锐角三角函数的雏形. 教学导入 锐角三角函数 在中, 教学导入 思考 当角推广到任意角(如)时， 无法对应直角三角形计算三角函数. 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？ 新定义既要涵盖锐角，又要推广到任意角. 这就需要借助 直角坐标系！ 2 知识讲授 知识讲授 推广：三角函数 为了将三角函数推广到任意角，我们先将锐角放入直角坐标系中： 角的顶点与坐标原点重合. 角的始边与轴非负半轴重合. 已知点P是锐角终边上的任意一点,点与原点的距离 , P 你能利用锐角三角函数的定义计算出锐角所对应的三角函数值吗? 知识讲授 推广：三角函数 过点作轴的垂线, 交轴于点： 设点到原点的距离为, 则 P M 由相似三角形的性质可知，比值 只依赖于 角的大小，与点在角终边上的位置无关. 知识讲授 任意角的三角函数 对任意角，有如下定义： 可以看出, 对于每一个确定的角, 都有唯一确定的正弦值、余弦值和正切值与之对应. 知识讲授 推导任意角的三角函数的定义域 是以角为自变量的函数，分别称为正弦函数与余弦函数， 对于每一个确定的角，都有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应 它们的定义域都是. 也是以角为自变量的函数, 称为正切函数. 除此之外，对于每一个确定的角，都有唯一确定的正切值与之对应 知识讲授 任意角三角函数的定义 正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数. 正弦函数 ; 余弦函数 ; 正切函数 知识讲授 案例分析 例1 解： 已知角的终边经过点, 求角的正弦、余弦和正切. 因为, 所以 知识讲授 案例分析 例2 解： 求终边在射线上的角的正弦、余弦和正切. 在射线上取点 因为, 所以 提示：点的坐标的选取应尽量使计算简便 知识讲授 案例分析 例3 解： 已知角的终边过点，求. 因为, 所以 知识讲授 新知速记 已知点P是终边上的任意一点 正弦值 余弦值 正切值 任意角的三角函数 知识讲授 新知速记 正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数. 正弦函数 ; 余弦函数 ; 正切函数 3 学以致用 学以致用 练习 解： 解得. 学以致用 练习 解： 2.已知角终边过点，且，求. 得，即. 学以致用 练习 解： 3.已知角的终边过点，求：. 4 课堂练习 课堂练习 练习 解： 1.已知角终边上的点的坐标如下,分别求出角的正弦、余弦和正切. 课堂练习 练习 解： 1.已知角终边上的点的坐标如下,分别求出角的正弦、余弦和正切. 课堂练习 练习 解： 1.已知角终边上的点的坐标如下,分别求出角的正弦、余弦和正切. 课堂练习 练习 解： 解得. 课堂练习 练习 解： 3.已知角为第二象限角，其终边上一点的横坐标为，.求角的正弦、余弦和正切值. 课堂练习 练习 解： 4.已知角的终边在射线上，求角的正弦、余弦和正切. 在射线上任取一点， 则 . 课堂练习 练习 解： 5.已知角的终边经过点，求的值. 课堂练习 练习 解： 有,即 化简得 解得， 5 课堂小结 课堂小结 已知点P是终边上的任意一点 正弦值 余弦值 正切值 任意角的三角函数 课堂小结 正弦函数、余弦函数和正切函数都是三角函数. 正弦函数 ; 余弦函数 ; 正切函数 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $