2026-2027学年人教版数学九年级上册第一轮月考模拟卷（2）

2026-2027学年人教版初中数学 九年级 (上) 第一轮月考模拟卷（2） （考试范围第25-26章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】本题考查一元二次方程的概念，需抓住「只含一个未知数、未知数的最高次数是 2、整式方程」三个要点逐一核对。 【解答】A 是一元一次方程；B 只含一个未知数 ，最高次数是 2，且是整式方程，是一元二次方程；C 中未知数的最高次数是 3；D 含有两个未知数． 故选 B。 2．抛物线 的顶点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】本题考查二次函数的顶点式，形如 的抛物线顶点为 。 【解答】在 中，，，所以顶点坐标为 ． 故选 A。 3．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】本题考查配方法：移项后两边加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式。 【解答】移项得 ；两边同时加上 ，得 ，即 ． 故选 A。 4．关于 的一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根　　B．没有实数根　　C．有两个不相等的实数根　　D．无法确定 【答案】C 【解析】本题考查根的判别式：由 的符号判断根的情况。 【解答】这里 ，，，，所以方程有两个不相等的实数根． 故选 C。 5．将抛物线 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【解析】本题考查抛物线的平移规律「左加右减、上加下减」。 【解答】向右平移 2 个单位长度，解析式中 换成 ；再向上平移 1 个单位长度，解析式整体加 1，得 ． 故选 A。 6．某商品原价为每件 2000 元，连续两次降价后的价格为每件 1280 元．设平均每次降价的百分率为 ，可列方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】本题考查平均变化率模型：原价×(1−降价率) 的平方＝两次降价后的价格。 【解答】第一次降价后的价格为 元，第二次降价后的价格为 元，由题意得 ． 故选 B。 7．二次函数 与一次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） 图7 A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【解析】本题考查由两种函数的图象判断各项系数的符号：抛物线的开口方向定 ，对称轴位置结合 定 ，与 轴交点定 ，直线的升降定 。 【解答】抛物线开口向下，得 ，D 错误；对称轴在 轴右侧，即 ，由 得 ，B 正确；抛物线与 轴的交点在正半轴，得 ，C 错误；直线从左向右下降，得 ，A 错误． 故选 B。 8．已知 、 是方程 的两个不相等的实数根，则代数式 的值为（　　） A．2026　　B．−2026　　C．2025　　D．−2025 【答案】B 【解析】本题考查根与系数的关系与整体代换思想：先把 分解为 ，再代入两根之和与两根之积。 【解答】由根与系数的关系得 ，，所以 ． 故选 B。 9．关于 的二次函数 ，下列结论：①当 时，抛物线的顶点坐标为 ；②若该函数的最小值为 ，则 ；③若当 时， 随 的增大而减小，则 ；④若 ，则抛物线与 轴有两个公共点．其中正确结论的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】C 【解析】本题综合考查二次函数的顶点、最值、增减性与图象和 轴的交点情况，需逐条按二次函数的性质验证。 【解答】①当 时，，顶点为 ，正确；②最小值为 ，令 ，解得 ，正确；③抛物线开口向上，在对称轴 左侧 随 增大而减小，故需 ，正确；④当 时，，最小值为 ，抛物线与 轴没有公共点，错误．正确的共 3 个， 故选 C。 10．（压轴题）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点 ．下列结论：①；②；③；④；⑤当 时， 随 的增大而减小．其中正确结论的个数是（　　） 图10 A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】C 【解析】本题是二次函数图象信息综合题：由开口、对称轴、与 轴交点定各系数符号，由对称性读出特殊点的函数值，再逐条验证五个结论。 【解答】由图象：开口向下，得 ；对称轴为直线 ，得 ， 即 ； 抛物线与 轴的交点在正半轴，得 ， 故 ，①正确； 由对称轴 及点 知抛物线还经过点 ， 故 ，②正确； 由对称性， 与 对应的函数值相等， 即 ，③正确； 时 是抛物线的最大值，显然大于 ， 故 不成立，④错误； 抛物线开口向下，在对称轴右侧 随 的增大而减小，⑤正确． 正确的共 4 个， 故选 C。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．写出一个以 1 和 2 为根的一元二次方程： （答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】本题考查一元二次方程与根的关系，可由两根之和与两根之积还原方程（本题属开放题）。 【解答】由两根为 1 和 2，得两根之和为 ，两根之积为 ， 可取方程 ； 检验：，两根恰为 和 ，符合要求．（只要满足条件的一元二次方程均可） 12．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】本题考查根的判别式：两根不等等价于 ，注意代入 、、 准确计算。 【解答】． 由方程有两个不相等的实数根，得 ， 解得 。 13．已知 、 是一元二次方程 的两根，则 6 ． 【答案】6 【解析】本题考查根与系数的关系与完全平方公式的变形： 。 【解答】由根与系数的关系得 ，， 所以 。 14．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），顶点为 ．则 的面积为 8 ． 图14 【答案】8 【解析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、顶点坐标及三角形面积：求出 的长与顶点到 轴的距离即可。 【解答】令 ，得 ， 即 ， 解得 ，， 故 、，； 由顶点坐标公式（或配方 ）得 ， 点 到 轴（即直线 ）的距离为 ． 所以 。 15．已知关于 的一元二次方程 没有实数根，那么二次函数 的图象与 轴的交点个数为 0 个 ． 【答案】0 个 【解析】本题考查一元二次方程的根与二次函数图象和 轴交点的关系：方程没有实数根，等价于抛物线与 轴没有交点（即 ）。 【解答】方程 没有实数根， 即 ； 而二次函数 的图象与 轴的交点个数， 等价于方程 的实数根的个数，由该方程没有实数根知，抛物线与 轴没有交点，即交点个数为 0 个。 16.（压轴题）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、，则 的最小值 为 ． 图16 【答案】 【解析】本题考查轴对称与最短路径问题（将军饮马模型）： 在对称轴上运动，利用对称性把 转化为到 的对称点的距离，再由「两点之间线段最短」求最小值。 【解答】令 ，得 ， 即 ， 故 、； 令 ，得 ； 抛物线的对称轴为直线 ． 因为点 关于对称轴 的对称点恰好是 ， 所以 ， 于是 ， 当且仅当 为线段 与对称轴的交点时取等号． 由勾股定理，， 所以 的最小值为 （此时 为直线 ： 与直线 的交点 ）。 三、解答题（本题共计 9 小题，共计 72 分） 17．（6 分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】本题考查解一元二次方程的方法选择：（1）左边能因式分解，优先用因式分解法；（2）不易分解且二次项系数为 1，可用配方法或公式法。 【解答】 （1）方程左边分解因式，得 ， 所以 或 ， 解得 ，． （2）移项，得 ； 配方，得 ，即 ， 所以 ， 解得 ，． 18．（6 分）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，求 的值及方程的另一个根． 【答案】 的值为 ，方程的另一个根为 【解析】本题考查方程根的意义（代入求参数）与求另一个根：把已知根代入方程先求 ，再解新方程求另一根。 【解答】 把 代入方程， 得 ， 即 ， 解得 ． 把 代入原方程， 得 ， 分解因式得 ， 解得 ，． 所以 的值为 ，方程的另一个根为 ． 19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过网格中的 、、 三点（每个小正方形的边长均为 1）． 图19 （1）求该抛物线的解析式； （2）在给定网格中画出该二次函数的图象； （3）当 时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）；（3） 【解析】本题考查待定系数法求解析式、用描点法画二次函数图象、以及由图象（或性质）求函数值的范围：（1）由三点坐标用待定系数法求解；（3）结合顶点坐标与 、 时的函数值判断。 【解答】 （1）因为抛物线经过 、， 设 ． 把 代入，得 ，解得 ． 所以 ． （2）图象为开口向下的抛物线（如图），对称轴为直线 ，顶点为 ；依次经过 、、 等点，用平滑曲线连接并使图象向两端自然延伸。 图19解答图象 （3）当 时， 取得最大值 ；当 和 时，均有 ．又抛物线开口向下，所以当 时， 的取值范围是 。 20．（8 分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元．当售价为每件 70 元时，每天可售出 200 件；市场调查发现：售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件．设降价后售价为每件 元，每天的销售利润为 元（）． （1）求 与 之间的函数解析式； （2）当售价为每件多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想通过降低售价使每天的销售利润达到 6300 元，请通过计算说明能否实现． 【答案】（1）（）；（2）售价为每件 65 元时利润最大，最大利润为 6250 元；（3）不能实现 【解析】本题考查二次函数的实际应用（销售利润问题）：利润＝每件利润×销售量，先建立函数关系式，再配方求最值，最后由最值（或根的判别式）判断目标能否达到。 【解答】 （1）售价为每件 元时，每件的利润为 元，每天售出 件，即 件， 所以 （）． （2）配方，得 ． 因为 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，且 在 范围内， 所以当 ，即售价为每件 65 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 6250 元． （3）令 ，得 ， 整理，得 ． 此时 ，方程没有实数根， 所以每天的销售利润不能达到 6300 元． 21．（8 分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ． 图21 （1）求点 、、、 的坐标； （2）求 的面积． 【答案】（1）、、、；（2） 【解析】本题考查抛物线与坐标轴交点、顶点坐标以及斜三角形面积的求法：（2）中 是斜线段，过 作竖直线与直线 相交，把面积拆为以 为底、竖直线段为高的形式计算。 【解答】 （1）令 ，得 ，即 ，解得 ， 所以 、； 令 ，得 ； 由配方法 ，得顶点 ． （2）设直线 的解析式为 ．把 、 代入，得 ，，解得 ，， 所以直线 为 ． 过 作 轴，交直线 于点 ． 当 时，直线 上 ，所以 ，． 又 ， 所以 。 22．（8 分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根的差为 ，求 的值． 【答案】（2） 或 【解析】本题考查含参数的一元二次方程：（1）计算判别式并配方为完全平方式，说明其非负；（2）利用十字相乘把左边分解为 ，直接读出两根，再由差的绝对值列方程。 【解答】 （1）证明：． 因为无论 取何值， 总成立，即 总成立， 所以无论 取何值，该方程总有两个实数根． （2）方程左边分解因式，得 ， 所以该方程的两个实数根为 ，． 由两个实数根的差为 ，得 ， 解得 或 ． 检验：当 时，，方程确有两个不相等的实数根，符合题意． （另解，需用根与系数的关系，属选学内容：，，故 ，同样解得 ．） 23．（8 分）已知抛物线 ：（）经过点 和 ． （1）用含 的代数式表示 和 ； （2）若 ，点 在抛物线 上，将抛物线 平移，使平移后的抛物线 的顶点恰好为点 ．若抛物线 与 轴交点的纵坐标总大于 ，求 的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】本题考查待定系数法、抛物线的平移及含字母的二次函数最值推理：（2）平移后先写出 的顶点式，表示出它与 轴交点的纵坐标，配方求其最小值，再由「总大于 」建立关于 的不等式。 【解答】 （1）把 、 代入 ，得 ；． 两式相减，得 ，即 ； 把 代入 ，得 ． （2）由（1）得 ：，其顶点为 ． 点 在 上（当 时，）． 平移 使其顶点移到点 ，则抛物线 为：，其顶点为 ． 当 时，． 因为 ，所以当 时， 取得最小值 ． 由抛物线 与 轴交点的纵坐标总大于 ，得 ， 即 ，解得 ． 24．（10 分·次压轴）阅读材料：我们约定，若函数图象上存在一点 ，满足点的横坐标与纵坐标相等（即 ），则称点 为该函数图象的「不动点」．例如：直线 与直线 的交点为 ，所以 是函数 的一个不动点． （1）直接写出函数 图象的所有不动点； （2）若函数 的图象上恰有一个不动点，求 的值及该不动点的坐标； （3）若函数 的图象上有两个不同的不动点，且这两个不动点的横坐标之差为 3，求 的值． 【答案】（1） 和 ；（2），不动点为 ；（3） 或 【解析】本题是新定义题（「不动点」），本质是把新定义翻译为一元二次方程的根的问题：图象上的不动点，等价于令 所得一元二次方程的实数根；再按「根的个数、根的差」分别用判别式和根与系数的关系（或直接求解）处理。 【解答】 （1）令 ，即 ，分解因式得 ，解得 或 ． 所以函数 图象的不动点为 和 ． （2）令 ，即 ． 因为图象上恰有一个不动点，所以该方程有两个相等的实数根，即 ，解得 ． 此时方程为 ，得 ， 所以不动点为 ． （3）令 ，即 ． 由题意，该方程有两个不相等的实数根 、，即图象的两个不动点的横坐标，且 ， 所以 ． 由根与系数的关系得 ，，所以 ， 于是 ，即 ，解得 或 ． 检验：当 时，方程为 ，，两根为 和 ，差为 3；当 时，方程为 ，，两根为 和 ，差为 3，均符合题意． 所以 的值为 或 ． （另解，只用公式法：方程 中 ，由求根公式，两根之差为 ，令其等于 3，同样得 ，解得 或 ．） 25．（12 分·压轴）如图 1，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，直线 经过 、 两点．点 在抛物线上（不与 重合），且 轴． 图25-1 图25-2 （1）求点 、、 的坐标及直线 的解析式； （2）如图 1，求 的长，并求点 到直线 的距离； （3）如图 2，点 是 轴正半轴上的一个动点（不与点 、 重合），过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，连接 ，设 的面积为 ． ①直接写出 与 之间的函数解析式（注意分情况讨论）； ②当 时，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）、、，：；（2），点 到直线 的距离为 ；（3）①当 时 ，当 时 ；② 时， 或 【解析】本题是二次函数与一次函数的综合题：（2）利用 轴定出 点坐标，再由等腰直角三角形的性质求点到直线的距离；（3）按点 在 轴上方、下方分类表示 ，并分别配方求最值或解不等式。 【解答】 （1）令 ，得 ，即 ，分解因式得 ， 解得 或 ，所以 、； 令 ，得 ． 设直线 的解析式为 ，把 、 代入，得 ，，解得 ， 所以直线 为 ． （2）因为 轴，且 ，所以点 的纵坐标为 3． 把 代入抛物线，得 ，即 ， 解得 （即点 ，舍去）或 ，所以 ，． 因为 ，所以 是等腰直角三角形，． 又 轴，所以 ． 过 作 直线 ，垂足为 ，则 是等腰直角三角形， 所以 ，即点 到直线 的距离为 ． （检验：直线 即 ，过 作它的垂线 ，交点 ，，一致．） （3）①点 在直线 上且横坐标为 ，所以 ； 在 中，、，（）． 当 时，，点 在 轴上方，； 当 时，，点 在 轴下方， 到 轴的距离为 ，． ②当 时，， 由 ，得 ，即 ，只能取 ，得 （在 内，成立）； 当 时，， 由 ，得 ，即 ，解得 或 （与 矛盾，舍去）， 即 ． 综上，当 时， 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版初中数学 九年级 (上) 第一轮月考模拟卷（2） （考试范围第25-26章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．抛物线 的顶点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．关于 的一元二次方程 的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根　　B．没有实数根　　C．有两个不相等的实数根　　D．无法确定 5．将抛物线 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．某商品原价为每件 2000 元，连续两次降价后的价格为每件 1280 元．设平均每次降价的百分率为 ，可列方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．二次函数 与一次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） 图7 A．　　B．　　C．　　D． 8．已知 、 是方程 的两个不相等的实数根，则代数式 的值为（　　） A．2026　　B．−2026　　C．2025　　D．−2025 9．关于 的二次函数 ，下列结论：①当 时，抛物线的顶点坐标为 ；②若该函数的最小值为 ，则 ；③若当 时， 随 的增大而减小，则 ；④若 ，则抛物线与 轴有两个公共点．其中正确结论的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 10．（压轴题）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点 ．下列结论：①；②；③；④；⑤当 时， 随 的增大而减小．其中正确结论的个数是（　　） 图10 A．2　　B．3　　C．4　　D．5 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．写出一个以 1 和 2 为根的一元二次方程： . 12．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ． 13．已知 、 是一元二次方程 的两根，则 ． 14．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），顶点为 ．则 的面积为 ． 图14 15．已知关于 的一元二次方程 没有实数根，那么二次函数 的图象与 轴的交点个数为 ． 16.（压轴题）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．点 是抛物线对称轴上的一个动点，连接 、，则 的最小值 为 ． 图16 三、解答题（本题共计 9 小题，共计 72 分） 17．（6 分）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．（6 分）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，求 的值及方程的另一个根． 19．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过网格中的 、、 三点（每个小正方形的边长均为 1）． 图19 （1）求该抛物线的解析式； （2）在给定网格中画出该二次函数的图象； （3）当 时，直接写出 的取值范围． 20．（8 分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元．当售价为每件 70 元时，每天可售出 200 件；市场调查发现：售价每降低 1 元，每天可多售出 10 件．设降价后售价为每件 元，每天的销售利润为 元（）． （1）求 与 之间的函数解析式； （2）当售价为每件多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想通过降低售价使每天的销售利润达到 6300 元，请通过计算说明能否实现． 21．（8 分）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ． 图21 （1）求点 、、、 的坐标； （2）求 的面积． 22．（8 分）已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：无论 取何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根的差为 ，求 的值． 23．（8 分）已知抛物线 ：（）经过点 和 ． （1）用含 的代数式表示 和 ； （2）若 ，点 在抛物线 上，将抛物线 平移，使平移后的抛物线 的顶点恰好为点 ．若抛物线 与 轴交点的纵坐标总大于 ，求 的取值范围． 24．（10 分·次压轴）阅读材料：我们约定，若函数图象上存在一点 ，满足点的横坐标与纵坐标相等（即 ），则称点 为该函数图象的「不动点」．例如：直线 与直线 的交点为 ，所以 是函数 的一个不动点． （1）直接写出函数 图象的所有不动点； （2）若函数 的图象上恰有一个不动点，求 的值及该不动点的坐标； （3）若函数 的图象上有两个不同的不动点，且这两个不动点的横坐标之差为 3，求 的值． 25．（12 分·压轴）如图 1，抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与 轴交于点 ，直线 经过 、 两点．点 在抛物线上（不与 重合），且 轴． 图25-1 图25-2 （1）求点 、、 的坐标及直线 的解析式； （2）如图 1，求 的长，并求点 到直线 的距离； （3）如图 2，点 是 轴正半轴上的一个动点（不与点 、 重合），过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，连接 ，设 的面积为 ． ①直接写出 与 之间的函数解析式（注意分情况讨论）； ②当 时，直接写出 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $