空间向量在立体几何中的应用之动点问题2动点在坐标平面的斜线上讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学精选专题-立体几何 空间向量在立体几何中的应用之动点问题 之动点在坐标平面的斜线上 湖北天门 薛德斌 方法归类：(2个参数) (1)点M在平面ABC内，则设AM=元AB+HAC (2)点M在△ABC内（含边上）， 则设 AM=AB+uAC(2≥0，≥0,0≤元+u≤1) (3)点M在ABCD内（含边上），则设AM=元AB+uAD(0≤元≤1,0≤u≤1) 1.如图，直三楼柱MBC-4BG中，4C=BC=CC,AC1BC (1)求直线 C与CB所成的角： 2 AM (2)点M在线段AB上，平面B,CM与平面ACC4的夹角的余弦值为3，求AB的 值. C 心 .M C B M 2.在直三棱柱 BC-ABG中，BC1AC,4C=BC=1,AM=2,点M在线段 AC上，AM=AC (1)若∠B,MC为锐角，求实数的取值范国： √6 (2)若平面BCB,与平面MCB,所成角的余弦值为6，求线段AM的长度. C A B M B AA 3.如图，在所有棱长都为2的三棱 ABC-AB,C1中，点B是棱 的中点， AB,⊥CE (1)求证：平面 ABB平面ABC, (2)若A4B= 3,点P在棱AC上，且直线CP与平面AABB所成角的正弦值是 V30 AP 10,求A,C的值. A B P B 4.如图，在三棱锥D-ABC中，侧面ACD⊥底面ABC,△ACD是边长为2的等边三 角形，E是1C中点，F是楼BD上的一点，已知AB=V0,BD=2V5 (1)证明：AC⊥BD； (2)求直线AF与平面BCD所成角的正弦的最大值. D B 5.正方体BCD-4B,CD中，点M为楼CB上一点，则平面BDM和平面1DD,4所 成角的正弦值的取值范围是 D B M Di ⊙ 6.已知三棱台 BC-4BG中，平面1CGA1平面ABC,AB=BC,∠ABC=90 4C=2AC=4,A4=CC=V0,点M在楼4B上运动，求点B到平面MMC的 距离的最大值. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，己知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=T 2’PA=AD=2’AB=BC=1 (1)求直线AD与平面PCD所成角的正切值： (2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BO的长 D 8。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,PA=PD=V5 E BC 为 的中点. 1)证明：AD⊥PE: 2π (2)若二面角P-AD-B的大小为3，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平 面PAB所成角的最大值. G E B高中数学锅选专题立体几何 空间向量在立体几何中的应用之动点问题 之动点在坐标平面的斜线上 方法归类：(2个参数) (1)点M在平面ABC内，则设AM=AB+HAC (2)点M在△ABC内（含边上）， 则设 AM=AB+HAC(2≥0，u20,0≤元+4≤1) (3)点M在ABCD内（含边上），则设AM=元AB+uAD(0≤≤L,0≤u≤1) 1.如图，直三楼柱ABC-4BC中，AC=BC=CC.AC⊥BC (1)求直线 C与CB所成的角： 2 AM (2)点M在线段AB上，平面B,CM与平面ACC4的夹角的余弦值为3，求AB的 值。 B A M π 1 【答案】(1)3：(2)3. 【详解】(1)由己知1C1BC,三楼柱为直三棱柱，故 底面ABC C,上 以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线为'轴，'轴，2轴建立空间直角坐标系， i设4C=BC=CC=1,则C00.0,A,00),B0.L0.AL0,D.B01,D C(0,0,1).AC=(-l,0,1).CB=(01,) :cos<AC,CB>-AC·CB 11 4CCB2x2 2 ∴直线AC与CB,所成的角为3· Z B M (2):BC1平面4CC4,“平面4CC4的一个法向量为CB=(0,10), 设AM=AB=(-11,0)0≤元≤1)， 则CW=CA+AM=10,0)+-11,0)=1-元，2,0). 又CB=(01,1) CB·n=y+z=0 设平面aCM的法向蛋为=化3则C7i=0-2+=0 取n=(,元-1,1-) 则cos<元，CB水1nCB 12-1川 2 n川CB11×V2+(2-2+1-)2 1 = 312+2元-1=0，.2=-1（舍去）或3， AM 1 .AB3. 2.在直三棱柱 ABC-4BC中，BC1AC,AC=BC=L,4=2,点M在线段 AC上，AM=2AC (山)若∠B,MC为能角，求实数的取值范国。 √6 (2)若平面BCB与平面MCB,所成角的余弦值为6，求线段AM的长度. C A M B 【答案】(1)0s1 √5 5:(2)3. 【详解】（山）以C,C成，CG为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则C0,00.4,0.0.G@0,2)B0,12) C B M B 设M水），由M=元4C,得x-l)=-0,2, x=1-元y=0,z=2.M(0-,02).MB=(0-ll,2-2)MC=(-1,0,-2) cos MB,MC>= MB,·MC >0 :∠B,MC为锐角， MB MC 即(--22-20>0,52-62+1>0，又0≤≤1，：0≤<5. (2)平面C8B的一个法向量为m=(1.0,0), CB=(0,12)CM=1-元，0,2) (n.CB=y+2z=0 设平面CBM的-个法向量为n=(,以2则-C7=0-x+22z=0 取n=（-2元，21-2,1-） 小s<m+2-2- -2 6 26, 622+22-10.久=3或元=-（舍去）) w3.-0+-5 AA 3.如图，在所有棱长都为2的三棱 ABC-AB,C中，点B是棱的中点， AB,⊥CE )求证：平面4AB8,上平面ABC, (②者<AAB 3,点P在棱AC上，且直线CP与平面AABB所成角的正弦值是 V30 AP 10,求AC1的值. A B B 1 【答案】(1)证明见解析：(2)3. 解：(1)取4B的中点0，连接E0,AB,OC A B 因为8为M4中点，0为4B中点，所以 O//AB 有二校柱4BC-48C中，AB=材=2，侧四边形 BB4是菱形，得18上4B 则ABLB0.又M8⊥CE,EONCE=E,E0,CEc平面EOC, 所以B1平面E0C.又因为0Cc平面E0C,所以OC1B 因为△ABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC⊥AB. 又因为4BnA8=A,AB,8C平面44BB, 所以OC上平面41BB.又因为OCC面4BC, 所以平面41B8L平面ABC. (②连接40 因为 A4B-号胥。B=4,所以△4B是等边三角形，所以401B 又平面MABB上平面ABC,平面AABB∩平面ABC=AB,AOC平面4ABB, 所以401平面ABC.由OC,OBC平面ABC,得4010C,401OB,又0C1AB 如图，以O为原点，OC,0B,OA分别为x辅，y辅，2轴建立空间直角坐标系 0-xyz B 则0(0,0,0)，C(50,0,B01,0).4(0,0).B(0,25) 设4P=元4C=元AC,则C币=CA+4P=CA+AC=(W5(2-),元，⑤)」 平面41BB的一个法向是元=(L0,0） 设直线CP与平面41BB所成角为日， 则sin0cos<CPi+1C严-n-15-1150 1CP1V3(-102+22+310, 371+2=0.- AP 1 3或1=2（舍去)，·AC3. 4.如图，在三棱锥D-ABC中，侧面ACDL底面ABC,△ACD是边长为2的等边三 角形，E是AC中点，F是棱BD上的一点，已知AB=V0,BD=2V5 (1)证明：AC⊥BD: (2)求直线AF与平面BCD所成角的正弦的最大值. B 12 【答案】(2)13. 【详解】(I)△ACD是等边三角形，E是AC中点，则DE⊥AC, 又因为平面DAC⊥平面ABC,平面DAC∩平面ABC=AC,DEc平面DAC, 所以DE⊥平面ABC,而BEc平面ABC,所以DE⊥BE, 因为DE=5.DB=25,所以BE=D-DE=3, 而E=B=i0 所以4E+BE=A8,所以4B⊥BE,即4CLBE 因为DEO BE=E,DE,BEC平面DBE,所以AC⊥平面DBE, 又因为BDC平面DBE,所以AC⊥BD: (2)解法一：如图，分别以EA,EB,ED为，八，2轴建立空间直角坐标系， 则4,00，B0,3,0,C(-L0,0,D0,05 DB=(0,3,-V5),DC=(-1,0,-V3),DA=1,0,-V3) B 设平面BDC的一个法向量是”=(，水2)， DB.ii=3y-3z=0 则DC.i=-x-V5z=0,取n=(3,-l,-V5): 设DF=kD6=0,3,3),则4F=DF-DA=(3k,-5k+), 记直线AF与平面BCD所成角为B, AF.n -3-3k+3k-3 sin=cos F,n= AFV1+9k2+30-k)2V9+1+3 则 6 6 12 2-+4V2-- 当且仅当k=4时取等号， 12 ∴.直线AF与平面BCD所成角的正弦值的最大值为13， 解法二：（最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角. (锐二面角是最大的线面角.))由最大角定理，直线AF与平面BCD所成角的最大值 为平面ABD与平面BCD所成角，且当AF⊥BD时取得，此时，CF⊥BD, cos∠ADB=4+12-10_V5 2×2×2W34, sin∠ADB=V3 3 4, AF=CF= 2, 1313-45 cos∠AFC=44 13 2× 13 4 sin∠AFC=12 3 12 ∴直线AF与平面BCD所成角的正弦值的最大值为13 5.正方体 BCD-ABCD中，点M为按CB上一点，则平面BDM和平 ADDA所 成角的正弦值的取值范围是 D C B Di B 解法一：（最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角， (锐二面角是最大的线面角.)) 由最大角定理可得，平面BDM和平面ADD,A所成角的最小值为直线BD和平面 ADDA所成的角，即 BDA= 4,此时点M与点B重合：当M与点C重合时，平面 ,兀T1 BDM⊥和平面ADD,A,∴平面BDM和平面ADD,4所成角的取值范围是4'2，所 , 成角的正弦值的取值范围是2 C D A B C A Dxyz 解法二：（坐标法）如图，建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1，则C(01,0),B(1,1,0),BL,1,).CB,=(01,) 平面ADD,4的一个法向量为DC=(0,10) 设CW=CB=(0,1)(0≤元≤1)， 则DW=DC+CM=(0,10)+20,0,)=(,1). 又DB=01,0). DB..n=x+y=0 设平面 B.CM 的法向量为 则 =(x,y,2) DMn=x+y+z=0'取 n=(2,-,1-), 设平面BDM和平面1DD,4所成角为 则cos0-cos<元，DC为1n-DC 1-1 nDCI V2+2+(1-)2V322-2元+1' 当2=0时，c0s0=0； -e(0, 1 cos0= 322-2元+1 2-2+2 当0<元≤1时，元 .cos0∈[0， 2 2 六平面BDM和平面4DD,A所成角的正弦值的取值范国是之，). 6.已知三技台1BC-ABC中，平面4CC,41平面ABC,AB=BC,∠ABC=90 AC=2AC=4,M4=CC=Vi0,点M在棱4B上运动，求点B到平面MMC的 距离的最大值. 25 VG 4v11 2V22 A.3 B.2 C.11 D.11 6 【答案】2 【要点】1，几何性质求距离的最值；2.三棱台十等腰梯形的建系 【详解】 Z C 取AC的中点O,连接OB,因为AB=BC,所以OB⊥AC, 又因为∠ABC=0,4G=21C=4所以4C=2.从雨0A=0C= 且△ABC是等腰直角三角形，故OB=1, 设O为4C的中点.因为1BC-4BG为三枝台，所 AC∥A,C AA=CC 0⊥AC 又因为 ,所以四边形 4CCA为等腰棉形，故 因为平面 CC4+平面4BC,且交线为4C,所以9 平面ABC 001 在等要标形CCA中，40=4空=240-1， 2 由4=i0,得00=44-(40-40)=10-1=9.所以00=3 以0为原点，0B,0C,00所在直线分别为×，y，”轴，建立空间直角坐标系， 则B0.0,40-o,C0,Lo).40-2,3).G023) 由于三棱台的上、下底面相似，且A 4-2,所以0B=20B=2.故B(20,3). 解法一：AB=,1,0).AC=(0,33) 点B到平面 MC的距窝的最大值为点B到直线 C的距离 AB·A ⊙E)'V6 解法二：设4=4码，其中0≤≤1，则M(2a,21-2,3), AM=(22,22-1,3),AC=(03,3) 设平面MG的法向量为7=(：少列 n.AM=2x+(2元-1)y+3z=0 则i.AC=3y+3z=0 ,取n=(2-,元，-元)， 又B=(L,0）,点B到平面 MC的距离的最大值为 AB.元，1,0)-(2-，，-2 2 2 V(2-2)}+2+(-}V322-4+4 2 即 2 = 当且仅当3时，等号成立， √6 ∴.点B到平面AMC的距离的最大值为2· 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，,且四边形ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD= 2’PA=AD=2’AB=BC=1· (I)求直线AD与平面PCD所成角的正切值： (2)点Q是线段BP上的动点，当直线CO与DP所成的角最小时，求线段B的长. D V22W5 【答案】(1)2；(2)5. cos<CO,DP>= CO.DP 1+22 V2+102 【要点】(2) CO DP 换元法，设1+22=t 【详解】(1)以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、八、z轴建系A-z, 如图， 由题可知 (1,0,0)C(11,0)D(0,2,0)P(0,0,2) 所以4D-(Q20),设直线4D与平面PCD所成角为P, 因为C=1.-2）,P而=0,2，-2），设平面PCD的法向量为m=() [m.PC=0x+y-2z=0 由m.PD=0得12y-2z=0，取m=(1,11) sino-cos(.m) AD.m3 3,cos0-V-sin0-16,tano-sine 3 (2)因为驴=(1,02)，设0=2F=(0,20≤1s 又CB=(0,-l0),则C@=CB+B0,=(-山22)】 Os<CO,DP>= C0·Dp_1+22 又DP=(0,-2,2),从而 @DnV2+10元 22 2 cos2<CO,DP>= 5t2-10t+9 9152010 设1+2=t,te[,3],则 9 0 30 当且仅当5，即25时， cos<CO,DP> 的最大值为10， 0, 因为y=COsr在 十是成函效，日直我CQ50P所成角的波围为引 :当号到，百线C2与Dp所成角取得员小值，此时0-号即. 5 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AB=2,PA=PD=V5 E、BC 为的中点. (1)证明：AD⊥PE: 2π (2)若二面角P-AD-B的大小为3，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平 面PAB所成角的最大值. G 一一 E B π 【答案】(2)3. 【要点】(2)点在斜线上+求线面角的最大值， 解法一：（最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的 角.) 解法二：（坐标法） 【详解】(1)如图，取AD的中点F,连接PF,EF G B ,底面ABCD是正方形，PA=PD,∴.AD⊥EF,AD⊥PF. :EF∩PF=F,EF,PFc平面PEF,AD⊥平面PEF 又，PEC平面PEF,∴AD⊥PE. (2)解法一：（最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的 角.) p G D M B ∠PFO= 3’PF=2'OF=1,P0=V5, 延长BA到点M,延长CD到点N,使得AM=DN=FO=1, 则PM=PN=MN=2. MB L MIN,MB LPO,MB上平面 PMN,PAB⊥PMN 平面，平面 一平面 同理可得平面PCD⊥平面PMN, ∠MPW=π ∴，平面PCD与平面PAB所成角为 3, 由最大角定理得，直线DG与平面PAB所成角的最大值为平面PCD与平面PAB所成角， 元 即3. 2π 解法二：（坐标法）由(1)可知，二面角P-4D-B的平面角为∠PFE:且为3， 过点P作PO垂直于直线EF,垂足为O, AD⊥平面PEF,POC平面PEF,.PO⊥AD, :AD∩EF=F,AD,EFC平面ABCD,.PO⊥平面ABCD, 以O为原点，OE,OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B ∠PFO= 3,PF=2’OF=1:P0=5, 则P0,0),A1,0),B1,30),C(-13,0).D(-11,0) PA=(1,-5),B=(0,20,Dc=(0,2,0),CF=(1-3,5) 设平面PAB的法向量为N=(化，八，2)， -pi=0,g+y5=0取1=5,0.) 则B=0,得2y=0 设CG=CP=(,-3,52,e[o,1,则DG=Dc+CG=(2,2-3元，5) 设直线DG与平面PAB所成的角为日， sin 0=cos DG,n DG.n 251 √3 2√2+(2-32)2+322V(2-322+422 则 当元=0时，sin0=0,0=0; √5 √3 sin0= V√(2-3)2+422 当元≠0时， 4 2 2 2=3。九 5 当元即3时，sin0取得最大值2，此时0？， π .直线DG与平面PAB所成角的最大值为3.