数学(二) 一元二次函数、方程和不等式-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习40分钟周测卷（A苏闽湘冀渝川鄂黑吉辽蒙陕甘宁青云新藏贵赣豫晋皖鲁粤专版）

数学（二）一元二次函数、方程和不等式 (建议用时40分钟，满分100分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={xx2+4x+4>0},B={x|14-4x2≤x},则A∩B A<-2或x≥ ≤2或≥到 C.z D. 2.若命题“3x∈R,(a-1)x2十(a-1)x-1≥0”是假命题，则实数a的取值范围为 A.{a-3<a<1} B.{a-3<a≤1} C.{aa<-3或a>1》 D.{aa<-3或a≥1} 3.已知a>0,且a2-2ab+6=0,则b+是的最小值为 A号 B号 C.2 D.3 4.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有牛、羊、猪各数头（各有 至少1头)，已知猪的数量多于羊，羊的数量多于牛，牛的数量的3倍多于猪、羊数量之和，则牛、 羊、猪的总头数至少为 A.12 B.15 C.18 D.21 5.对于问题：若正数@，6满足。十么=1，求日十号的技小值有一种常规解法：+号= a+6)(日+号)=1+2+2+2≥8+22，当且仅当白-兴且a+6=1时，即a=反-1,6=2 2时，等号成立，请运用上述方法，解决下列问题：若实数a,6,y满足号一云=1（口>分），设 y2 M=d-F,N=(x+),则M,N的大小关系为 A.M=N B.M≤N C.M≥N D.不确定 6.1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈 现最长？我们把地球表面视为平面α，悬杆视为直线1上两点A,B间的连线，则上述问题可以转 化为以下的数学问题：如图1所示，直线1垂直于平面α，直线l上有两点A,B位于平面α的同 侧，求平面上一点C,使得∠ACB最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.若A,B两点的坐标 分别为(0,8)，(0,4)，点C的坐标为(c,0),则当∠ACB最大时，c的值为 A.64 y B.32 C.82 D.4√2 0 图1 图2 数学（二）第1页（共4页） 二、选择题（本大题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列命题正确的是 A.若a>b,则a十b>a-b B.若后>方6<0，则a>b>0 C.若a>0,b>0,且ab=a+b+7,则a+2b的最小值为11 D.若a>0,b>0,且a+4b=1,则√a+2√b的最大值为√2 8.已知关于x的不等式c_a十1x+1<0的解集为A,则 a A.当A=0时，a=1 B.当2∈A时，a>4 C.当a>1时，1∈A D.当Anz中有4个元素时a的取值范围是[号，U(4,9] 班级 姓名」 分数 题号 1 3 6 P 答案 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若关于x的一元二次不等式a.x2一3x十a<0的解集为{xx≠m},则m十a= 10.如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是 H 由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.四个小矩形 D AMQD,MNFE,BCPN,PQHG与小正方形MNPQ的面积之和为 A 400m,且AM=ME=3NB.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造 价为1000元/；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 400元/m2;在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元/m. 则当总造价最低时，AD的长为 m. 四、解答题（本大题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知a>0,b>0,且2a+3b=3. (1)求ab的最大值； (2)求a品的最大值： (3)求名+的技小值， 数学（二）第2页（共4页） 40分钟·A 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2-2(a十2)x十a2-1. (1)当a=1时，解不等式f(x)十9≤0： (2)设关于x的不等式f(x)<0的解集为(m,n). (1)若+1=一4，求实数a的值； m n (iⅱ)若m>1,求实数a的取值范围. 数学（二）第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 某市足球联赛（简称“某超”）火爆出圈，激发了全民运动热情.为进一步改善员工身体健康状 况，某单位顺势举办一场接力跑活动，规定两人组成一队，接力跑完1公里的路程.现有两种接 力方案.A方案：每队的两人跑相等的路程；B方案：每队的两人跑相等的时间.设甲、乙两人组 成一队，两人都是匀速跑，但速度不相等 (1)猜想甲、乙两人应选择哪一种方案，才能使两人所用的总时间较短（不用说明理由）； (2)设甲、乙两人的速度分别是1，u2,试用一个含有v1和w2的不等式表示你的猜想，并用数学 方法给出证明； (3)我们都有从函数观点出发解决不等式问题的体验.例如： 二次函数y=a.x2+bx+c(a>0)的图象 2 a.x2十bx+c>0(a>0)的解集 (-c∞，x1)U(x2,+∞) 试引用某函数的图象说明(2)中的含有v和2的不等式的正确性. 数学（二）第4页（共4页） 40分钟·A40分钟·A ·数学· 数学（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 解不含参数的一元 1 选择题 易 0.85 二次不等式 一元二次不等式在 2 选择题 5 实数集上恒成立 0.80 问题 基本不等式求和的 3 选择题 5 易 0.75 最小值 实际问题、利用不等 4 选择题 5 中 0.65 式求值或取值范围 由基本不等式比较 5 选择题 5 / 中 0.60 大小 6 实际问题，基本不等 选择题 5 中 0.45 式的实际应用 不等式的性质、基本 7 选择题 6 易 0.70 不等式 由一元二次不等式 的解确定参数、解含 8 选择题 6 中 0.65 有参数的一元二次 不等式 由一元二次不等式 9 填空题 5 易 0.80 的解确定参数 实际问题、基本不等 10 填空题 5 √ 中 0.55 式的应用 基本不等式求积的 11 解答题 13 最大值、基本不等式 易 0.70 “1”的妙用求最值 一元二次函数、方 12 解答题 15 中 0.58 程、不等式的综合 ·%5· ·数学· 参考答案及解析 实际问题、作差法比 较代数式的大小、由 13 解答题 20 中 已知条件判断所给 0.50 不等式是否正确 考答案及解析 一、选择题 84 1.A【解析】：A={xx2十4x十4>0}={x1x≠ 4 -2},B={x|14-4x2≤x〉={x4x2十x-14≥0}= 1大32 而+华≥？V@=8,所以 C (<-2或≥子}AnB={✉<-2或： am∠ACB=4≤4=2，当且仅当c=2,即c ≥子故选A c+328/2 -4 C 2.B【解析】由题意知命题“Vx∈R,(a-1)x2十 =4√2时，等号成立，所以当c=4√2时，tan∠ACB= (a-1)x-1<0”是真命题，当a=1时，(a-1)x2+ ② ,此时∠ACB最大.故选D. (a-1)x-1=-1<0恒成立，满足题意，当a≠1 二、选择题 时，则 1a-10 △=(a-1)2+4(a-1)<0' 可得 7.CD【解析】A选项，当b<0时，a十b<a一b,A错 /a<1 {(a+3(a-1)<0所以-3<a<1,综上，-3<a≤ 误：因为后合=。2>0，且<0，所以62< ab 0,即ab(a-b)>0,则a>b>0或0>a>b或a<0 1.故选B. b,B错误；ab=a十b+7可整理为(a-1)(b-1)=8, 3.D【解析】已知a>0,且a2-2ab+6=0,则b= 得(a-1)(2b-2)=16,再由基本不等式可得 =号+所以6+=号+是+号= 2a （a-1)(26-2)=16≤(-12b-2),得(a+26 2 名≥2受·吾=3当且仅当华-吕.甲a=2时等 -3)≥64，所以a+2b≥11，当且仅当a-1=2b-2, 即a=5,b=3时，等号成立，C正确；因为a十4b=1≥ 号成立，则b十朵的最小值为3.故选D, 2√4ab=4√ab,所以(Wa+2√b)2=a+4b+4√ab 4.B【解析】设牛、羊、猪分别为x,y,之头，则根据题意 ≤2(a+4b)=2,当且仅当a=4b=号时等号成立，即 3x>yz 12>y+x y≥x+1 a+2b的最大值为√2，D正确.故选CD 有 ≥x十2 ,则x>3,则xm=4,则{y≥5 x≥6 x,y,z∈N 8ACD【解析】对十A,当A=时，4=（岩）-4 则(x十y十x)mim=4十5十6=15.故选B. ≤0，化简得a1)≤0，解得a=1或a<0,因为a a 5.B【解析】因为M=a2-=(a-公)（任-六）】 >0,所以a=1,A正确；对于B,因为2∈A,所以2满 足不等式成立，则2a-5√a十2>0，因为a>0,所以 =r+学-（任蒂）<+牛-2√器 解得a>4或0<a<子，B错误：对于C,当a>1时， =x+苦-lw≤+兰+xy=(x+之)广=N, 不等式父- 岩+1<0：可化为 即M≤N,当且仅当千-茶且y≤0时，上述不 等式中的两个等号同时成立，故M≤N故选B. (-a)(-后)<0，则解集A 6.D【解析】由题意得知∠ACB是锐角，且∠ACB (一a,后)U(后a)此时由于1∈（后wa） ∠0CA-∠0CB,而am∠0cA=g,am∠0cB 一定有1∈A,C正确；对于D,A∩Z中有4个元素， 4,所以1an∠ACB=1an(∠OCA-∠OCB) 则a≠1，当a>1时，得二<x|<√a,所以这4个元 40分钟·A ·数学· 素是士1，±2，所以2<√a≤3，得4<a≤9；当0<a< 故ab的最大值是， (3分) 1时，得后<<后所以这4个元素是士1，士2， 2由2a30=8,得a=号一号0， (4分) 所以号≤瓜<2得号<a<子综上，当AnZ中有 则a- 4个元素时，a的取值范围是[号，子)八(4,9]，D正 品号-（受+品） (6分) 确.故选ACD, 三、填空题 当且仅当受4品即a=1,6=合时，等号成立。 9.一号【解析】因为关于x的一元二次不等式ar 故a一品的最大值是子 (8分) 3.x十a<0的解集为{x|x≠m},所以对应的一元二 次方程ax2-3x十a=0有且仅有一个解，且a<0,所 (3)由2a+3b=3,得2a十3(b+1)=6, (9分) 以(8二《一3)-如=0，解得a=一是，代入一元三 则是+高-日（是+是）加2a+36+1 a<0 次方程得-号-3x一号-0，解得=-1，所以m = [13D+] a b+1 =-1,所以m+a=-1-号-是 /6(b+1).6a 25 (11分) 2 61 10.4v5【解析】设AD的长为xm,总造价为y元，因 当且仅当6(b+1)=6a a b+11 为四个小矩形AMQD,MNFE,BCPN,PQHG与小 即a=号，6=号时，等号成立。 1 正方形MNPQ的面积之和为400m',且AM=ME =3NB,则小正方形MNPQ的面积为x2,其中矩形 AMQD的面积为景(400-t),则AM=号 故二十的最小值为票 (13分) 12.解：(1)当a=1时，f(x)=x2-6.x, 400-工，因为AM>0,所以0<x<20,阴影部分的 x 则f(x)十9≤0台2-6x十9≤0， 解得x=3, (3分) 面积为400-，因为SaE=分AM=合× 所以不等式的解集为{3}. (4分) (侵×40，)广，Saog=Saae=}saE,Ss (2)由题意可知m,n是方程x2-2(a十2)x十a2-1 x =0的两个不等实数根， =号SawE,所以草坪面积是△AME面积的1十 1 所以4=4(a+2)-4(a2-1)>0,解得a>-号 +=吕（倍），所以草坪面积为吕×× (6分) (1)因为m+n=2(a十2)，n=a2-1, (7分) (层×400)，所以y=100r十40× 所以1+1=m+n=2(a+22=-4, m n mn a2-1 (40-)+200×9×合×（×02） 整理得2a2十a=0,且a2-1≠0， 100(25.x+40000 解得a=一 +140000,因为0<x<20,所 或a=0.经检验满足△>0， 4 所以a=-之或a=0. (10分) 以y2100X2√2证×4000 4 +140000=240000, (i)若m>1,则方程x2-2(a十2)x十a2-1=0有 当且仅当-00 ,即x=4√5时，等号成立，所 两个大于1的不等实数根， △>0， 以当x=4√5时，总造价y最小，最小值为 所以{f(1)=1-2(a十2)十a-1>0, (12分) 240000元」 (a+2>1, 四、解答题 11.解：(1)由题意得2a十3动=3>26a6,得a长名， 解得 1a>√5+1或a<-5+1' 当且仅当2a=36=多 2 (a>-1 所以a>5+1, 即a=子6=时，等号成立 即a的取值范围是{aa>√5+1. (15分) 。7· ·数学· 参考答案及解析 13.解：(1)假设甲的速度为0.5km/min,乙的速度为 因为1≠h,且>0，>0， 0.25 km/min, (1一2)9 所以2（十u吃 、>0, 1 A方案用时：工 =3 min, (12分) 设B方案用时为t,则 1 1 t+ 1× t=1→t= 8)设函数x)=士>0，如图. 2 2 2 min. (c1fx1》 y=f(x) 猜测B方案所用的时间较短 (4分) 1 f(xj)+f(x) 2 (②)对A方案，甲、乙各跑号公里，用的时间为 ") 1 (xfx2)) (5分) 文 对B方案，设用的时间为，则甲、乙均跑了受的 函数f(x)在(0，十∞)上为凹函数，对0<x1<x2, 时间， 有()<) 2 (16分) 所以号十专=1， 所以对1>0，>0，U≠， 所以用的时间为十吃 2 (7分) 恒有/（色）<fo)1@) 2 则哈（日+）>。 (9分) 1+1 即1< 下面用作差法证明。 1十2 2 因为号（日+品）厂22 2=”十 2 2 十 (20分) -g士=2a(w)' 、（一2) (+)。 2uv2(u1十h) ·8