第9期：12.1 命题 、定义、定理与证明～12.2.2 边角边-【数理报】2026-2027学年八年级上册数学学案（华东师大版·新教材）

初中数学·华东师大八年级第6一9期 数理极 答案详解 2026~2027学年 初中数学·华东师大八年级 第6~9期(2026年8月) 第6期2版 三、13.(10+4y+4；(2)-3x+2y-石： 11.3乘法公式 (3)a2-462+4bc-c2. 11.3.1两数和乘以这两数的差 基础训练1.B;2.A;3.-2;4.0. 14(1)3592装：(2)10609 516-4；(2)-+80 15.(1)原式=(d2+3a)(a2-3a)-(16a-8a)÷(2a)3 =a-9a2-(16a3-8a4)÷8a3=a4-9a2-2a2+a=a- 6.(11,(2)39号 11a2+a. 11.3.2两数和（差）的平方 (2)当a=-2时，原式=(-2)4-11×(-2)2+(-2) 基础训练1.A;2.C;3.19. =-30. 4.(1)16a2-24ab+962; 16.(1)因为a-b=1,a2+b=17,(a-b)2=a2+b2- (2)5x2-42x+16;(3)9980.01; 2ab,所以12=17-2ab,解得ab=8. (4)a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2. (2)根据题意，得5能=d-2×6(a-)=0+6 5.因为(x+y)2=25,(x-y)2=9,所以 ab. （0=e+-(x-月=}×（☒-9》=4 因为a+b=7,所以(a+b)2=72,即a2+2ab+b2=49. (2)2+y=(x+y2+(x-y月]=7×(25+9) 因为ab=9,所以a2+62+2×9=49,即2+b2=31. 所以图中阴影部分的面积=31-9=22. =17: (3)令2027-x=m,x-2026=n,则m+n=2027- (3)x4+y=(x2+y2)2-2x2y2=(x2+y2)2-2(y)2= x+x-2026=1, 172-2×42=289-32=257. 因为(2027-x)(x-2026)=-6,所以mn=-6. 11.4整式的除法 所以(2027-x)2+(x-2026)2=m2+n2=(m+n)2 11.4.1单项式除以单项式 -2mn=12-2×(-6)=13. 基础训练1.D;2.A;3.3b2. 附加题1.原武=2×[1-)1+2)1+)1+ 4.(1)-4x3;(2)12xy2. 11.4.2多项式除以单项式 2是1+2]+2品 基础训练1.B;2.-2xy2+3wy;3.92-6x+1. 4.(1)-x2+2x;(2)2x-4. =2×[1-)1+2)1+)(1+)]+是 5.原式=-8y =2×[1-)1+)(1+0]+2品 当x=3,y=7时，原式=12 =2×(1-是1+)]+2品 第6期3版 题号12345678 =2×1-)+品=2-0+是=2 答案CAA D C B D B 2.(1)①4；②4. 二、9.16-9x2;10.18x3y2；11.4;12.6. (2)设AC=x,BC=y 初中数学·华东师大八年级第6~9期 因为AB=8,所以x+y=8,所以(x+y)2=64 b). 因为S1+S2=4,所以x2+y2=44,所以x2+y2+2y=44 (2)图略.2a2+5ab+262=(2a+b)(a+2b).所以这个 +2y=64,解得y=10.所以Sac=2y=5 长方形的长和宽分别为2a+b和a+2b.所以此长方形的周长 为：2(2a+b+a+2b)=6a+6b. 第7期2版 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x+1)-y2= 11.5因式分解 (5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5x+1-y). 11.5.1因式分解的概念与提公因式法 ②.x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+4y)=(x+ 基础训练1.C;2.C;3.2(a-2); 2y)(x-2y)+2(x+2y)=(x+2y)(x-2y+2). 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2);5.-5. (2)因为a2+562+c2-4ab-6b-10c+34=(a2-4ab 6.(1)a(a+b+2);(2)4xy2(xy+2xz-3z); +462)+(62-6b+9)+(c2-10c+25)=(a-2b)2+(b- (3)3(x-y)2(9x-4y). 3)2+(c-5)2=0,所以a-2b=0,b-3=0,c-5=0.解得 能力提高7.答案不惟一，略 a=6,b=3,c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3+5=14. 11.5.2公式法(1) 附加题1.(1)提公因式法； 基础训练1.C;2.A; (2)(1+x)27: 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2y)2; (3)原式=子×4×(5+52+5++5) (3)(x+2;(44r+9)2+32-3). =子×4×5+4x52+4×5++4×5) 6.因为(a+2b)2-2a-46+1=(a+2b)2-2(a+2b) =×(1+4+4×5+4×5+4x5+…+ +1=(a+2b-1)2=0, 4×5226-5) 所以a+2b=1.所以(a+2b)226=1. =(1+4)207-5 11.5.2公式法(2) 4 基础训练1.C;2.2m(m+3)2;3.64. -520m-5 4.(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y); 4 (3)a(x+2)2(x-2)2. 2.(1)是. 5.(1)由题意得M=3x2-4x-20-3x(x-3)=3x2-4x (2)由题意，得P=(x2+y)2-(x2)2=(x2+y+x2)(x2 -20-3x2+9x=5x-20: +y-x2)=y(2x2+y）=2x2y+y2. P=3x2-4x-20+(x+2)2=3x2-4x-20+x2+4x+ (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+8x+4)-(9y 4=4x2-16. +18y+9)+k+5=(2x+2)2-(3y+3)2+k+5. (2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2). 因为V是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以k=-5. 能力提高6.x2-9y2+422+4xz=(x2+42+4xz)-9 第8期综合测评卷 =(x+2z)2-(3y)2=(x+2z+3y)(x+2z-3y）.因为x+2z 题号12345678910112 =3y,所以x+2z-3y=0.所以原式=6y·0=0,其值是定值. 答案CD C D B CC CA B BD 第7期3版 二、13.-18x3;14.0;15.25cm2;16.10或-10. 题号 12345 67 6 三、17.(1)-y；(2)-6x3yz+4x2yz-2x2y: 答案ACCD A BD (3)4m2-n2-6n-9. C 18.(1）-xy(3x-y)2; 二、9.(m-6)2；10.5;11.4;12.-3. (2)(a-b)(m+n)(m-n);(3)5000. 三、13.(1)2m(2x-3y+1)；(2)(x-1)(x+4)(x-4); (3)(2a-b)2 19(1)(5+36)(4a+2b)-4×2(2a+6-(3a+2b 14.(1)10000;(2)147. =20a2+22ab+6b2-2(4a2+4ab+b2)-(9a2+12ab+ 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a+b)或2a2+ 462) 3ab+b2;表示因式分解的等式为：2a2+3ab+=(2a+b)(a+ =20a2+22ab+6b2-8a2-8ab-2b2-9a2-12ab- 2 初中数学·华东师大八年级第6~9期 463 义).所以∠1=∠3（等量代换）： =3a2+2ab, 因为∠A0D+∠2+∠3=180°（平角的定义）， 所以绿化地带的面积为(3a2+2ab)平方米. 所以∠AOD+∠2+∠1=180°（等量代换）.所以OE与 (2)当a=5,b=20时，3a2+2ab=3×52+2×5×20 OF在同一条直线上. =75+200=275,即绿化地带的面积为275平方米. 12.2三角形全等的判定 20.(1)25; 12.2.1全等三角形的判定条件 (2)设202404=x.所以A-B=(x-3)(x+3)-(x- 基础训练1.A;2.C;3.A；4.1; 1)(x+1)=x2-9-2+1=-8<0.所以A<B 5.35;6.①3④. 21.(1)原式=x3-x2+x2+9x-10=x2(x-1)+(x-1)(x 7.(1)因为△ABC≌△EDF,所以AC=EF.所以AC-CF +10)=(x-1)(x2+x+10); =EF-CF,即AF=CE (2)原式=3-3x2+x2-5x+6=x2(x-3)+(x-2)(x (2)因为△ABC≌△EDF,所以∠B=∠EDF. -3)=(x-3)(x2+x-2)=(x-3)(x+2)(x-1) 因为∠ADE=2∠B, 22.【问题探究】方法1：(m+n)2-4mn; 所以∠ADF=∠ADE-∠EDF=∠B. 方法2：(m-n)2 因为∠DAF=∠AFD=2∠B, 【得出结论】(m+n)2-4mn=(m-n)2. 所以在△ADF中，根据三角形内角和定理，得∠DAF+ 【应用结论】(1)因为(x+y)2=x2+y2+2xy,x+y=4, ∠AFD+∠ADF=5∠B=180°.解得∠B=36°. 2+y=0,所以y=分[x+2-(2+y]=7×(16 所以∠AFD=72°，∠EDF=36°.所以∠E=∠AFD- -10)=3. ∠EDF=36°. (2)①±2： 12.2.2边角边 ②22. 基础训练1.B;2.C;3.B;4.1或7. (3)由题意，得ED=AD-AE=2x-44,DG=DC-CG 5.因为AC∥DE,所以∠ACB=∠E. =x-30.所以MT=M0=(2x-44)+2(x-30).因为长方 在△ABC和△CDE中，因为BC=DE,∠ACB=∠E,AC= 形EFGD的面积是200，所以(2x-44)(x-30)=200.所以2(x CE, -30)(2x-44)=400. 所以△ABC≌△CDE(SAS). 令a=2x-44,b=2(x-30) 所以∠B=∠D. 所以ab=400,a-b=16. 能力提高6.因为∠1+∠2=180°，∠1+∠ACB= 所以(a-b)2=a2+b2-2ab=256. 180°，所以∠2=∠ACB. 所以a2+b2=256+2ab=1056. 因为AD=CE,所以AD+CD=CE+CD,即AC=DE. 所以四边形M0RT的面积=MT=(a+b)2=a2+62+ 在△ACB和△DEF中，因为CB=EF,∠ACB=∠2，AC= 2ab=1056+800=1856. DE, 第9期2版 所以△ACB≌△DEF(SAS) 12.1命题、定义、定理与证明 所以AB=DF 基础训练1.C;2.B; 第9期3版 3.三个角是三角形的内角，它们的和等于180°； 题号1 2345678 4.答案不惟一，如14； 答案CACBC AD C 5.∠1，∠2（或∠2，∠1）；∠C;两直线平行，内错角相等； 二、9.两个角是同位角，这两个角相等；10.40°： ∠C;同位角相等，两直线平行 11.120°；12.64. 6.因为AB,CD相交于点O(已知)，所以∠AOC= 三、13.(1)假命题，反例：对顶角相等，但不是内错角。 ∠DOB(对顶角相等)： (2)假命题，反例：121=1-21，但是2≠-2. 因为OE,OF分别是LAOC,∠DOB的平分线（已知）， (3)假命题，反例：20°与50°都是锐角，但是20°+50°≠ 所以∠1=分∠A0C,∠3=)LD0B(角年分载的定 90°，两个锐角不互余。 3 初中数学·华东师大八年级第6~9期 14.因为△ABC≌△ADE,所以∠AED=∠ACB=105° 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE=B. 因为∠D=25°，所以∠DAE=180°-∠D-∠AED= 因为a+∠B+∠ACB=180°， 50° 所以a+B=180°. 因为∠CAD=10°， 2.(1)EF =BE DF. 所以∠GAC=∠DAE+∠CAD=60° 如图1所示，延长EB到点G,使BG= 所以∠G=∠ACB-∠GAC=45°. DF,连结AG, 15.(1)因为C是线段AB的中点，所以AC=BC. 因为∠ABC=∠D=90°，所以 GB E 因为CD平分∠ACE,CE平分∠BCD, ∠ABG=180°-∠ABC=90°.所以 图1 所以∠ACD=∠DCE=∠ECB=60° ∠ABG=∠D. 在△ACD和△BCE中，因为AC=BC,∠DCA=∠ECB, 在△ABG和△ADF中，因为AB=AD,∠ABG=∠D,BG= CD =CE, DF, 所以△ACD≌△BCE(SAS). 所以△ABG≌△ADF(SAS). (2)因为△ACD≌△BCE, 所以AG=AF,∠BAG=∠DAF. 所以∠E=∠D=40°. 因为∠EAF=子∠BMD, 所以∠B=180°-∠E-∠ECB=80° 16.(1)因为∠EAB=∠DAC=60° 所以∠BME+∠DAF=之∠BAD.所以∠BAG+∠BAE= 所以∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠EAC= ∠BAD. 宁∠BAD=∠BM,即∠GAE=∠EAP 在△AEC和△ABD中，因为AE=AB,∠EAC=∠BAD,AC 又因为AE=AE, AD. 所以△AEG≌△AEF(SAS), 所以△AEC≌△ABD(SAS). 所以EG=EF (2)设AB与EC交于点G, 因为EG=BE+BG, 因为△AEC≌△ABD,所以∠AEC=∠ABD. 所以EF=BE+DF 因为∠AGC=∠AEC+∠EAB=∠AEO+60°=∠GFB (2)(1)中的结论仍然成立. +∠ABD=∠GFB+∠AEC. 如图2所示，延长EB到点G,使BG 所以∠AEC+60°=∠GFB+∠AEC. =DF,连结AG. 所以∠GFB=60°. 因为∠ABC+∠D=180°，∠ABG+ 图2 所以∠DFC=∠GFB=60°. ∠ABC=180°，所以∠ABG=∠D. 附加题1.(1)①因为∠BAC=∠DAE, 在△ABG和△ADF中，因为AB=AD,∠ABG=∠D,BG= 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD= DF, ∠CAE. 所以△ABG≌△ADF(SAS). 又因为AD=AE,AB=AC, 所以AG=AF,∠1=∠2. 所以△ABD≌△ACE(SAS). 因为∠EAP=子∠BAD, ②BC⊥EC,理由如下： 因为△ABD兰△ACE,所以∠B=∠ACE. 所以∠2+∠3=乃∠BMD, 所以∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE. 所以∠1+∠3=方∠BMD=∠EAP,即∠GAE=∠EA 又因为∠BAC=90°， 所以∠B+∠ACB=90° 又因为AE=AE, 所以∠BCE=90°. 所以△AEG≌△AEF(SAS). 所以BC⊥EC. 所以EG=EF. (2)a+B=180°，理由如下： 因为EG=BE+BG, 由(1)得∠B=∠ACE. 所以EF=BE+DF: 一4素养拓展 数理招 本版责任编辑：尹慧娟 报纸编辑质量反馈电话： 全等三角形中有两个基本图形，一 0351-5271268 个可用名师点 报纸发行质量反馈电话 来证明线段相等，另一个可用来证明角相等.它 们在全等三角形的证明中应用非常广泛，下面 举例说明 例析全等三角形的基本图形 0351-5271248 【上接4版参考答案) (2)当a=5,b= 基本图形① 广东褚端沛 20时，3a2+2ab=3×5 例2如图3，AD,BC相交 ∠BOC; +2×5×20=75+200 性质：如图1，等长线段加上（或减去）同 于点0，且0B=OC,0A=OD 或因为∠AOD=∠BOC(已知) =275,即绿化地带的 线段后仍相等 延长AD到点F,延长DA到点E 所以∠A0D-∠C0D=∠B0C-LCOD, 面积为275平方米， A B D C AE=DF,连结CF,BE.求证：BE 即∠AOC=∠BOD. 20.(1)25: 图1 ∥CF. 图3 例3如图5，已知 (2)设202404 = 般推理步骤为：因为AB=CD(已知)， 证明：因为OA=OD,AE=DF,所以OA+OA=OC,OB=OD, x.所以A-B=(x- 所以AB+BD=CD+BD,即AD=CB; AE=OD+DF,即OE=OF ∠BOD=∠AOC.求证： 3)(x+3)-(x-1)(x 或因为AD=CB(已知)， +1)=x2-9-x2+1 OE =OF ∠B=∠D. 所以AD-BD=CB-BD,即AB=CD 在△OBE和△OCF中 =-8<0.所以A<B. ∠EOB=∠FOC, 证明：因为∠BOD= 例1如图2，点A,B,C, 21.(1)原式=x3 0B OC, ∠A0C, 2+x2+9x-10=x2(x D在一条直线上，AF=DE 所以△OBE兰△OCF(SAS). 所以∠BOD-∠AOD=∠AOC-∠AOD, -1)+(x-1)(x+10)= ∠A=∠D,AC=DB.求证： 所以∠E=∠F 即∠AOB=∠COD. (x-1)(x2+x+10); △ABF≌△DCE. 所以BE∥CF. 0A=0C, (2)原式=x3-3x 证明：因为AC=DB, 图2 墨本图形② 在△AOB和△COD中，{∠AOB=LCOD, +x2-5x+6=x2(x-3) 所以AC-BC=DB-BC,即AB=DC OB OD. +(x-2)(x-3)=(x AF DE, 性质：如图4，等角加上（或 所以△AOB≌△COD(SAS). 3)(x2+x-2)=(x- 在△ABF和△DCE中，{∠A=∠D. 减去)同一角后仍相等. 所以∠B=LD. 3)(x+2)(x-1). AB DC. 一般推理步骤为：因为 编者语：遇到全等三角形的基本图形时，观 22.【问题探究】方 所以△ABF≌△DCE(SAS). ∠AOC=∠BOD(已知)， 0 察题中条件对应的图形是否有重合的部分，运 法1：(m+n)2-4mn; 有些习题可运用“等长线段加上（或减去） 所以∠AOC+∠COD= 图4 用“有重合相减，无重合相加”即可得到判定两 方法2：(m-n)2. 等长线段后仍相等”求解 ∠BOD+∠COD,即∠AOD= 个三角形全等的一个条件，进而得解。 【得出结论】(m+ 十“十十十”十十“十“十十“十“十 十十十十十十十十“十十十十十十“十十十…十” n)2-4mn=(m-n)2. 第7期2版参考答案 二、9.(m-6)2；10.5;11.4;12.-3. 11.5因式分解 +…+4×5206-5)=(1+4)27-5 【应用结论】(1)因 三、13.(1)2m(2x-3y+1); 4 为(x+y)2=x2+y2+ 11.5.1因式分解的概念与提公因式法 2y,x+y=4,x2+y2= 基础训练1.C;2.C;3.2(a-2)； (2)(x-1)(x+4)(x-4);(3)(2a-b)2.527-5 14.(1)10000;(2)147. 4.x2+6x+8=(x+4)(x+2):5.-5. 2.(1)是 10,所以y=2[(x+ 15.(1)图中的面积可以表示为(2a+b)(a 6(1)a(a+b+2);(2)42(gy+2z-3z); (2)由题意，得P=(x2+y)2-(x2)2=(x2 (3)3(x-y)2(9x-4y). +b)或2m2+3ab+b2;表示因式分解的等式为： -(2+y2】=号 能力提高7.答案不惟一，略 2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) +y+x2)(x2+y-x2)=y(2x2+y)=2x2y+ ×(16-10)=3. 11.5.2公式法(1) (2)图略.2a+5a6+28=(2a+6)(a+ (2)①±2； (3)N=4x2-9y2+8x-18y+k=(4x2+ ②22 基础训练1.C;2.A; 2b).所以这个长方形的长和完分别为2a+b和 (3)由题意，得ED 3.(am+5)(am-5);4.9或-7. a+2.所以此长方形的周长为：2(2a+6+a+8x+4)-(9y+18y+9)+k+5=(2x+2)2 =AD-AE=2x-44, 5.(1)(x+2y)(x-2y);(2)-(x-2r)2;2b)=6a+66. -(3y+3)2+k+5. DG=DC-CG =x- (3)(x+3): 16.(1)①25x2+10x-y2+1=(25x2+10x 因为N是“明礼崇德数”，所以k+5=0.所以 30.所以MT=M0= +1)-y=(5x+1)2-y2=(5x+1+y)(5xk=-5. (2x-44)+2(x-30). (4)(4x2+9y2)(2x+3y)(2x-3y). 6.(a+2b)2026的值为1. +1-y). 第8期综合测评卷参考答案 因为长方形EFGD的面 11.5.2公式法(2) ②x2-4y2+2x+4y=(x2-4y2)+(2x+ -、题号12345678910m12 积是200，所以(2x 基础训练1.C;2.2m(m+3)2；3.64.4y)=(x+2y)(x-2y)+2(x+2y)=(x+ 答案C D C D B C C C A BB D 44)(x-30)=200.所 以2(x-30)(2x-4) 4(1)-4a(x-y)2;(2)3(x+y)(x-y);2y)(x-2y+2). 二、13.-18x5；14.0;15.25cm2: =400. (3)a(x+2)2(x-2)2. (2)因为a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34 16.10或-10. 令a=2x-4,b= 5.(1)由题意得M=3x2-4x-20-3x(x=(a2-4ab+462)+(b-66+9)+(c2-10c 三、17.(1)-y；(2)-6xy2a+42y&-2x2y; 2(x-30). -3)=3x2-4x-20-3x2+9x=5x-20;+25)=(a-26)2+(b-3)2+(c-5)2=0, (3)4m2-n2-6n-9. 所以ab=400,a P=32-4x-20+(x+2)2=3x2-4r-所以a-2b=0,6-3=0,c-5=0.解得a= 20+x2+4x+4=4x2-16. 18.(1)-xy(3x-y)2; b=16. 2)P=4-16=4(2-4)=4(x+2)(x6,6=3.c=5.所以三角形ABC的周长为：6+3 所以(a-b)2=a2 (2)(a-b)(m+n)(m-n);(3)5000, +b2-2ab=256. +5=14. -2) 能力提高6.X2-9y2+42+4xz=(x2+ 附加题1.(1)提公因式法； 19.(1)(5a+36)(4a+20)-4x2(2a+ 所以a2+B=256 +2ab=1056. 4:2+4xz)-9y2=(x+2z)2-(3y)2=(x+2z (2)(1+x)20; b)2-(3a+2b)2=20a2+22ab+6b2-2(4a2 所以四边形MORI +3y)(x+2z-3y).因为x+2z=3y,所以x+ 2x-3y=0.所以原式=6y·0=0,其值是定值. (3)原式=}×4×(5+5+5+…+++6）-（90+12b+40)=20+2a6 的面积=MP=(a+ +6b2-8a2-8ab-2b2-9a2-12ab-4b2=3a b)2=a2+b62+2ab= 第7期3版参考答案 52026)= 1056+800=1856. 4 ×(4×5+4×52+4×53+…+4+2ab, 题号12345678 (全文完) ×52)=×(1+4+4x5+4×5+4x5 所以绿化地带的面积为(3a2+2ab)平方米. (下转1,4版中缝) 数理柄 2026年8月26日·星期三 初中数学 第 9期总第1205期 华东师大 八年级 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-206 入门向导 形式，用“如果”开始的部分是条件，用“那么” 开始的部分是结论.有些命题的条件和结论不 命题学习三部曲 是很明显，如“对顶角相等”，经过分析可以写成 “如果…，那么…”的形式，但在改写时，不 ⊙江西王婧舒 能简单地加上“如果”“那么”，应把省略的成分 一、理解命题的定义 论的例子就可以了.在数学中，这种方法称为 补充出来，即可改成“如果两个角是对顶角，那 表示判断的语句加叫做命题 “举反例” 么这两个角相等” 例1下列语句中，哪些是命题？哪些不是 例2判断下列命题是真命题还是假命题， 例3指出下列命题的条件和结论 命题？ 如果是假命题，请举出一个反例 (1)同角的补角相等： (1)如果a>0,b>0,那么ab>0: (1)相等的角是对顶角： (2)在同一平面内，两条直线不平行，它们 (2)如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B (2)同位角相等； 定相交； 互为余角； (3)若x>2,则x-3>0. (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那 (3)吸烟对身体有害： 解：(1)是假命题.如：如图1，若∠A0C= 么这两条直线也互相平行. (4)画一个角； 90°，0B是∠A0C的平分线，则∠A0B= 解：(1)命题可改写成：如果两个角是同一 (5)对顶角； ∠COB,但∠AOB与∠COB不是对顶角. 个角的补角，那么这两个角相等.该命题的条件 (6)内错角相等， 是两个角是同一个角的补角；结论是这两个角 解：(1)(2)(3)(6)是命题，它们都指出了 相等 是什么或不是什么，其中(3)不是数学范畴的命 (2)该命题的条件是在同一个平面内，两条 题.(4)(5)不是命题，(4)只是描述一个过程， 直线不平行；结论是这两条直线一定相交， 并没有作出判断，(5)是一个几何名词 (3)该命题的条件是两条直线都与第三条 二、识别真假命题 (2)是假命题.如：如图2，∠1和∠2是同位 直线平行；结论是这两条直线也互相平行 如果条件成立，那么结论一定成立的命题角，显然，∠1<∠2. 是真命题；当条件成立时，不能保证结论总是正 (3)是假命题.如：当x=2.5时，x-3<0. 本周住讲 确，也就是说结论不成立，这样的命题是假命 三、区分条件与结论 12,1命题、定义、定理与证明 题.判断一个命题是真命题时，可以用演绎推理 命题是由条件和结论两部分组成的.条件 学习目标：了解命题、定义、定理与证明的 加以论证；而要判断一个命题是假命题时，只要是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。这 含义，会区分命题的条件和结论 认知重点：会判断真命题与假命题，初步 举出一个符合该命题的条件而不符合该命题结 样的命题通常可写成“如果…，那么…”的 掌握证明的方法 +十+十十十十十4十+十4十+十4十+十十十一十十十+十十十十十十 12.2.1全等三角形的判定条件 知识梳埋】 12.2.2边角边 学习目标：1了解全等三角形的概念与性质 伴你走进全等的世界 能准确确定对应元素 2.能熟练掌握三角形全等的判定方法：边 角边(SAS). 认知重点：会用边角边(SAS)判定三角形 ©四川杨亚历 全等，会解决一些求边、求角的问题 全等三角形是研究图形的重要工具，是后 是对应顶点，写出它们的对应边 到△DEF;如图3，是将△ABC沿BC翻折得到 续研究全等多边形的基础，而且它也为许多问和对应角 △DBC;如图4，是将△ABC绕点A旋转180°得 题的解决提供了方法与手段.下面就让我们一 分析：根据图形找到对应顶 到△AED. 起走进全等的世界吧！ 点即可得解。 从图2，图3，图4中，我们分别可以得到 一、正确理解全等三角形的含义 解：因为△AEC≌△ADB, △ABC≌△DEF,△ABC≌△DBC,△ABC≌ 能够完全重合的两个三角形是全等三角点E和点D是对应顶点，所以点A和点A对应， △AED 形 点C和点B对应 对于比较复杂的图形，往往也可由这几种 如△ABC和△DEF全等，即△ABC与 所以AE和AD是对应边，AC和AB是对应 类型转换得到，因此只要熟练掌握全等三角形 △DEF是能够完全重合的两个三角形.互相重边，EC和DB是对应边； 的这几种基本图形，并能正确地将复杂图形分 合的顶点、边、角分别叫做对应顶点、对应边、对 ∠A和∠A是对应角，∠AEC和∠ADB是对解为这几种基本图形，那么两个全等三角形的 应角，我们也把它们称为全等三角形的对应元应角，LC和∠B是对应角 对应元素就不难找到了， 素 三、熟练掌握全等三角形的基本图形 例2如图5，△ABC 点A与点D,点B与点E,点C与点F对应 全等三角形的基本图形大致有如下几种： 与△A'BC'关于直线I对 时，△ABC与△DEF全等可记为△ABC≌ (1)平移型： 称，则∠B的度数为 △DEF符号“≌”直观地反映了全等的两层含 (2)对称型（也称翻折型）； ( 义：“”表示图形形状相同，“=”表示图形大 (3)旋转型 A.30° B.50° 小相等 C.90° D.1009 二、准确辨认全等三角形的对应元素 解析：因为△ABC与△A'B'C'关于直线l对 辨认全等三角形的对应元素，最简单也是 称，所以△ABC兰△A'B'C'.所以∠C=∠C'= 最有效的方法是：先找全等三角形的对应顶点， 30°.又因为∠A=50°，所以∠B=180°-∠A- 再确定对应边和对应角. ∠C=100°. 例1如图1，△AEC兰△ADB,点E和点D 如图2，是将△ABC沿直线BC向右平移得 故选D. 2 素养·专练 数理极 12.2三角形全等的判定 12.2.2边角边 跟踪训练 12.2.1全等三角形的判定条件 垦础训练 1.如图1，AC和BD相交于点0，若OA=0D GENZONGXUNLIAN 屋础训练 用“SAS”证明△AOB兰△DOC还需( 12.1命题、定义、定理与证明 1.如图1，小强利用全等三角形的知识测量 A.AB =DC B.OB =OC 池塘两端M,N的距离，但是在水中不方便测量， C.∠A=∠D D.∠AOB=∠DOC 垦础训练 如果△PQ0≌△NM0,则只需测出哪条线段的长 1.下列语句是命题的是 度即可 A.画直线AB A.PO B.MO C.PN D.MO B.直线a∥b C.如果直线a∥b,b∥c,那么a∥c 图1 图2 D.点M与点N在线段AB上 2.油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中 2.下列命题是假命题的是 ( 截面如图2所示，伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF, A.如果a=b,那么a2=b B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂 AE=子AB,4F=子4C,当0沿AD滑动时，油纸 直 2.如图2，点F,B,E,C在同一条直线上，且 伞开闭，若∠BAC=130°，则∠BAD的度数为 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条 △ABC≌△DEF,若∠A=40°，∠F=26°，则 ( 直线平行 ∠DEF的度数为 ( A.50° B.55° D.如果两个角相等，那么这两个角的补角也 A.124°B.66°C.114°D.140 C.65° D.无法确定 相等 3.如图3，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是 3.如图3，在2×2的正方形网格中，∠1+∠2 3.把命题“三角形的内角和等于180°”改写CD上一点，若△BDE≌△CDA,AB=14,AC= 的度数是 ( 成“如果…，那么…”的形式为：如果0，则△BDE的周长为 A.100° B.90° C.80 D.60° ,那么 A.24 B.23 C.22 D.26 4.可以用一个m的值说明命题“如果m能被 2整除，那么它也能被4整除”是假命题，则m的值 可以是」 5.已知：如图1，AB∥ 图3 图4 CD,DF⊥BE于点G,并分 4.如图4，在长方形ABCD中，AB=4,AD= 别与AB,CD交于点F,E, 图3 6,延长BC到点E,使CE=2,连结DE,动点P从 其中∠1+∠D=90° 4.已知一个三角形的三条边长分别为6,5，x, 点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 求证：BE∥FC 图1 另一个三角形的三条边长分别为y,6,4,若这两个 向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当t的值 补充完成下面证明过程，并填上适当的推理 三角形全等，则√y-x的值为 为 时，△ABP和△DCE全等. 依据 5.如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC= 5.如图5，点B,C,E在同一条直线上，AC∥ 证明：因为DF⊥BE(已知)， 9,将Rt△ABC沿AC方向向右平移得到Rt△DEF, DE,AC=CE,BC=DE.求证：∠B=∠D. 所以∠EGD=90°（垂直的定义）. DE交BC于点G,已知AD=5,BG=4,则阴影部 因为∠EGD+∠2+∠D=180°（三角形内角 分的面积为 和定理)， 6.如图5，在直角三角形ABC 所以∠2+∠D=90°（等量代换） 中，∠ACB=90°，∠BAC=30, 因为∠1+∠D=90(已知)， 将△ABC绕点A逆时针旋转得到 所以 (同角的余角相 △ADE,点E落在AB上，延长DE 等) 交BC于点F.给出下面四个结论： 因为AB∥CD(已知)， ①△ABC≌△ADE;②DF<BC+ 图5 所以∠1= ( EF;③∠DFB=∠DAB;④若BC=2,AB=4,连 所以∠2= (等量代换) 所以BE∥FC( 结BD,则△ADB的面积是4.则上述结论中，所有 ). 能刀提高 6.如图2，AB,CD相交于点0,0E是∠AOC 正确结论的序号是 6.如图6，点A,D,C,E在同一直线上，CB= 的平分线，OF是∠D0B的平分线.求证：OE与OF + 7.如图6，△ABC≌△EDF,点B和点D是对 在同一条直线上 应顶点，AB和ED是对应边，点A,F,C,E在一条 EF,∠1+∠2=180°，AD=CE.求证：AB=DF 直线上 (1)求证：AF=CE; (2)连结AD,若∠DAF=∠AFD=∠ADE= 2∠B,求∠E的度数 .! 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 (2)若∠D=40°，求∠B的度数. 同步检测 TONGBUJIANCE 【检测范围：12.1~12.2.2】 图12 一、精心选一选（每小题4分，共32分） B.1或2 题号12345 6 7 8 答案 c.1或号 D.1或号 1.下列语句中不是命题的是 二、细心填一填（每小题4分，共16分） A.负数大于正数 B.鸟是动物 9.命题“同位角相等”的条件是 16.(16分)如图13，AE=AB,AC=AD, C.连结A,B两点 D.两点之间，线段最短 ,结论是 ∠EAB=∠DAC=60°，EC与BD相交于点F. (1)求证：△AEC≌△ABD; 2.如图1用螺丝钉将两根小棒AD,BC的中点 10.如图8，将△ABC沿BC方向平移得到 O固定，测得C,D之间的距离，就可知道锥形瓶内 △DEF,点A,B,C的对应点分别为点D,E,F,若 (2)求∠DFC的度数： 径AB的长度，此方案依据的基本事实是( ∠ACE=100°，∠EDF=60°，则∠DEF= A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS d 11.如图9，若AD=AB,AC=AG,∠DAB= 图1 3.如图2，已知△ABC兰△EBD,若AB=5, LGAC=60°，DG与BC交于点O,则∠D0C= BD=8,则CE的长为 附加题⊙ A.1 B.2 C.3 D.4 12.如图10，在Rt△ABC (以下试题供各地根据实际情况选用) 4.如图3,0A=0B,0C=0D,若∠0=60°， 中，∠ABC=90°，BD是高，E 1.(10分)在△ABC中，AB=AC,点D是线段 ∠C=35°，则∠DA0的度数是 是△ABC外一点，BE=BA, BC上一点（不与B,C重合），以AD为一边在AD的 A.35° B.85° ∠E=∠C,若DE=号D, 右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连结 C.95° D.以上都不对 AD=16,BD=20,求△BDE 图10 CE. 的面积.小颖思考后认为可以这样添加辅助线：如 (1)如图1-①，若∠BAC=90°， 图10，在BD上截取BF=DE,连结AF.根据小颍 ①求证：△ABD≌△ACE; 的思路可得△BDE的面积为 ②判断BC与EC的位置关系，并说明理由； 三、耐心解一解（共52分） (2)设∠BAC=a,∠BCE=B(如图1-②)， 13.(12分)判断下列命题是真命题还是假命则α，B之间有怎样的数量关系？请说明理由. 图3 图4 题，如果是假命题，请举出一个反例 5.如图4，△BFD≌△CED,若△ACE的面积为 (1)相等的角是内错角； 3,△BFD的面积为2，则△ABF的面积为( (2)如果1a=Ib1,那么a=b; A.3 B.5 C.7D.9 (3)两个锐角互余， 6.如图5，在△ABC中，AB>AC,AD平分 ∠BAC,交BC于点D,则下列结论正确的是（ A.AB -AC BD-DC B.AB-AC BD-DC C.AB-AC BD-DC 2.(10分)(1)如图2-①，在四边形ABCD D.AB-AC与BD-DC的大小关系无法确定 中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC, CD上的点，且∠EAF=2∠BMAD,请写出线段EF, 14.(10分)如图11，已知△ABC≌△ADE,点BE,DF之间的数量关系，并说明理由； B和点D是对应顶点，BC的延长线交AD于点F,交(2)如图2-②，在四边形ABCD中，若AB=AD, 图5 AE的延长线于点G,且∠ACB=105°，∠CAD= ∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 7.如图6，在△ABC中，∠A=25°，∠C=120°，10°，∠D=25°，求∠G的度数. 沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在AB边上 ∠F=∠B,则(1)中的结i论是否仍然成立2 的点E处，折痕为BD,则下列结论错误的是( 若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.。 A.△BCD兰△BEDB.BC=BE C.∠ADE=95° D.AD AE 8.如图7，AB=4cm, BC=6cm,∠B=∠C,如 果点P在线段BC上以 2cm/秒的速度由B点向C 图2 点运动，同时，点Q从C点 图7 15.(14分)如图12，C是线段AB的中点，CD 出发沿射线CD运动.若经过t秒后，△ABP与 平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE. 数理报社试题研究中心 △CQP全等，则t的值是 ( (1)求证：△ACD≌△BCE; (参考答案见下期)