第5期：基本初等函数(幂 、指 、对数函数)、函数与方程-【数理报】2027年高考数学一轮复习学案

17.(15分)经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在 18.(17分)已知函数f(x)=1og2(4+1)+mx 19.(17分)如果函数y=∫(x)满足以下两个条件，我们就称 未来一个月(30天)内的日销售量m(百件)与时间（第t天）的关系 (1)若f(x)是偶函数，求实数m的值； y=f(x)为L型函数 如下表所示： (2)当m>0时，关于x的方程/小(g)+21e()+是 ①对任意的x∈(0,1)，总有f(x)>0; 第1天 1310…30 ②当x1>0,x2>0,x+x2<1时，总有f(x1+x2)<f(x)+ 日销售量m(百件)236.5…16.5 -4]=1在区间[1,22]上恰有两个不同的实数根，求m的取值范 f(x2)成立 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润 围。 ()记8(x)=+乃证明：7=8x)为L型函数 f(t)(元)与时间（第t天）的函数关系式为f(t)=-3t+88(1≤t (2)设b∈R,记p(x)=1n(x+b),若y=p(x)是L型函数 ≤15，且t为整数)，而后15天此商品每天每件的利润f2()(元)与 求b的取值范围； 时间（第1天）的函数关系式为6()=600 t +2(16≤t≤30，且t为 (3)是否存在L型函数y=r(x)满足：对于任意的m∈(0,4)， 整数) 都存在∈(0,1)，使得等式r(xo)=m成立？请说明理由. (1)现给出以下两个函数模型：①m=kt+b(k,b为常数)：②m =c·a(a,c为常数，a>0,且a≠1).分析表格中的数据，请说明m 与t的关系更符合哪个函数模型，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终未能超过4万 高考数学 元，则考虑转型，请判断该公司是否需要转型，并说明理由， 一轮 总复习达标检 高考数学一轮总复习达标检 测 测 参考答案见下期 本版责任编辑：崔明 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2026年8月4日·星期二 高考数学 报纸发行质量反馈电话： 数理极 第 5期总第1201期 0351-5271248 第一轮复习 2026~2027学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707(F)邮发代号：21-284 高考数学编辑计划 专题辅导 第1期集合与常用逻 基本初等函数、 命题趋势 辑用语 第2期 不等关系与基 1.对指、对函数的考查：以考查指、对函数的运算法则为目的，如求函数值，指、对运算 本不等式 等；以考查指、对函数的图象及性质为目的，如函数值比较大小、简单的指、对不等式等；考查 第3期 元二次不等 函数与方程 分类讨论思想 式及其解法 2.以幂函数的图象为载体，用数形结合的思想研究幂函数的性质，主要考查幂函数在第 第4期函数及其表 专题解读 象限的图象和性质 示、函数的基本性质 3.结合函数与方程的关系求函数的零点；结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是 第5期基本初等函数 (幂、指、对数函数)、函 否存在零点及零点个数进行判断；利用零点的存在求相关参数的值域或范围。 ⊙山西 刘晓荣 数与方程 第6期导数的概念与 (A)lg,+2<女+西 (C)与4无关，且与b无关 考点精析 运算 2 2 (D)与a无关，但与b有关 第7期导数在研究函 考点一、幂函数 数中的应用 (B)10g,中2>占+名 2 2 解析：)=(x+受）广-年+6， 第8期函数与导数线 例1下列幂函数中，定义域为R的是 (C)1og,+当<x+ 2 ①当0≤-分≤1时x)m=m 第9期三角函数的概 念、公式及三角恒等变 (A)y=x (B)y=x宁 +2>x1+x f(-号）=-年+bx)m=M=max0) 换 (C)y=x号 (D)log2 (D)y =x f1)}=maxb,1+a+b},所以M-m= 第10期三角函数的 解析：因为(x1y1),(x2y2)为函数y=2 解析：选项(A)中函数的定义域为(-∞， 图象与性质 第11期平面向量与 0)U(0,+∞)，选项(B)中函数的定义域为 的图象上两个不同的点，所以y=21,y2=2， mx{，1+a+}与a有关，与6无关： (0,+∞)，选项(C)中函数的定义域为R,选项 且x1≠2，则21≠2”，所以y1+2= 解三角形 ②当-号<0时)在[0,1小上单调递 第12期复数与三角 (D)中函数的定义域为[0，+∞)，故选(C). 21+2>2√21·2=2√21+2， 增，所以M-m=f1)-f0)=1+a与a有关， 函数、解三角形、平面 点评：本题考查幂函数的定义域，考查学生 所以4上>2两>0， 量综合 2 与b无关； 的化归与转化能力. 第13期数列的概念 考点二、指数与对数的运算 所以lo ,+业>l0g,V2a =1+x3 ③当-号>1时(x)在[0,1]上单调递 等差与等比数列 2 2 第14期数列综合问 1 1 减，所以M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有 故选(B) 题（数列求和、递推数列 例2已知a>1,且 "logs a log,4 = 2 关，与b无关 等) 点评：本题考查指数函数的性质，指数、对 则a 综上所述，M-m与a有关，但与b无关 第15期空间几何体 数的运算和基本不等式，考查学生的逻辑思维 故选(B) 及点、线、面位置关系 解析：根据题意有 1 5 2 能力 3log:a 2l0g,2 点评：本题主要考查二次函数在闭区间上 第16期空间向量与 立体几何 例5生物丰富度指数4：是河流水质的最值问，考查分类讨论思想和学生的基本 1 5 第17期直线与方程 的一个评价指标，其中S,V分别表示河流中的 运算能力 第18期圆的方程及 即31og.2-21og,2=-2 点、线、圆的位置关系 设t=log。2(a>1),则t>0, 生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 考点五、函数的零点 第19期椭圆及其性 故3-=-得=石-1合). 1 越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种 例7已知函数f(x)= [e", x≤0，g(x) 类数S没有变化，生物个体总数由N,变为N2,生 (In x,x 0, 第20期双曲线及其 性质 所以1g.2=6,则a=2,所以a=64. 1 物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( =f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取 (A)3N2=2N (B)2N2=3W 值范围是 第21期抛物线及其 点评：本题考查对数的运算性质与换底公 (C N=N (D)N好= (A)[-1,0) (B)[0,+∞) 性质 式的应用，考查学生的运算求解能力： 第22期解析几何 考点三、指、对、幂函数的应用 S-1=3.15, (C)[-1,+0) (D)[1,+0) 第23期计数原理、排 解桥：由题意=2.1， 解析：函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零 列组合、二项式定理 点， 例3若a=4.203,b=4.20.3,c 若S不变，则2.1lnN,=3.15nN2, 第24期概率、离散型 1og4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( 即2lnN,=3lnN2,所以N=N. 即关于x的方程f(x) =-x-a有2个不同 随机变量及其分布列 故选(D) 的实根， 第25期统计与统 (A)a>b>c (B)b>a >c 即函数f(x)的图象与直线)y -a有2 案例 (C)c a>b (D)b c>a 点评：本题考查函数模型的实际应用，同时 个交点， 第26期第一轮综合复 解析：由函数y=4.2单调递增可知， 以实际问题为载体考查分析问题和解决问题的 作出直线y=-x-a与函 0<a<1<b,又c=log420.2<0 能力 第2744期：专项提分 数f(x)的图象，如右图所示 故b>a>c,故选(B) 考点四、二次函数 (合刊) 由图可知，-a≤1， 第4552期：满分冲刺 点评：本题主要考查利用指数函数与对数 例6若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1] 解得a≥-1， 合刊) 函数的性质比较大小，考查学生的逻辑思维能 上的最大值是M,最小值是m,则M-m 故选(C) 力 点评：本题主要考查分段函数的零点，考查 例4已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2的 (A)与a有关，且与b有关 学生的化归与转化能力、数形结合能力以及运 图象上两个不同的点，则 (B)与a有关，但与b无关 算求解能力 素养专练 数理极 (C)(2,3) (D)(3,4) (D)定义域为[0，+∞) 考题预测 (4) 5.已知方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个 3.已知a=2ln3,b=3ln2,c= ,则 ©数理报社试题研究中心 正根，则实数m的取值范围是 () 1.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0， ( (A)(-∞，-2) (B)(-∞，-4] +)上单调递增，则g(x)=a-m+1(a>1)的 (A)a>b>c (B)b>cxa (C)(-5,+∞) (D)(-5,-4] (C)b z aze (D)c a xb 图象恒过定点 ( 6.我们称可同时存在于一个指数函数与一个 对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点 (A)(-1,1) (B)(-1,2) 知幂函数y=孔)的图象过点2,4，M(1,1),N(2,1),P(2,2),Q(2,-3)中“ (C)(3,1) (D)(3,2) 则下列关于代x)的说法正确的是 ( 2.方程x=3-lgx的解所在的区间是 )的个数为 (A)奇函数 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (B)偶函数 (A)(0,1) (B)(1,2) (C)在(0，+∞)上单调递减 参考答案见下期 第4期2版参考答案 (2)由f(x)是奇函数，且f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], ()=(e1=(x-）°-6-4xe[-1,. 1.A;2.D;3.B;4.A;5.C;6.C. 即f(1+x)=f(1-x). 故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称 -e【-是](-)°e[o,] 第4期3版参考答案 又当0≤x≤1时，f(x)=x, 一、单项选择题 当-6-子=0，即6=-分时 且f(x)的图象关于原点中心对称，4为f(x)的周期， 1 ~4 DBDC 5~8 BACD 则当-4≤x≤4时，f(x)的图象如下图所示. 二、多项选择题 9.BCD;10.AC;11.ACD. 则a)=(x-分）广-6-的偏差”为2-6， 2 三、填空题 B 12[93）；B.(-1.0)U1,+: 012八3/4 此时2-6=是 14-g 当-6->0，即6<-时。 四、解答题 设f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为S, 此时(-)广-6-}>0， 15.解：因为g(x)=f(x)+2x 则S=45ae=4×(分×2×1=4 =x2+(b+2)x+c为偶函数， 18.解：(1)因为当a,be[-1,1]且a+b≠0时 则()=(-子)广-6-子的偏差”为2-6， 且定义域为R,关于y轴对称， 所以g(x)=g(-x), f(a@)+fb>0恒成立，-be[-1,, a +b 此时2-6>是，无最小值 即x2+(b+2)x+c=(-x)2+(b+2)×(-x)+c, 整理得2(b+2)x=0 所以a)±>0. a+(-b) 当-6-<0(-1)=2-6>0. 又因为x不恒为0，所以b+2=0,解得b=-2, 又因为f(-x)=-f(x), 所以f(x)=x2-2x+c, 且6+日<2-6，即-}<6<名时 因为f(x)=(x-1)2+c-1,对称轴为x=1, 所a）f6>0, a-b 所以f代x)在[-2,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 当a<b时，f(a)<f(b);当a>b时f(a)>f(b), A()=(x-)）-6-子的偏差”为2-6， 所以f(x)mx=maxf代-2)，f(2)}, 所以f(x)在[-1,1]上单调递增 此时号<2-6<号，无最小值： 且f(-2)=c+8,f2)=c, (2)因为f(x)在[-1,1]上单调递增， 所以c+8=5,解得c=-3, 所以f(x)=x2-2x-3. 且(+)f() 当-b-4<0,(-)=2-6>0, 16.解：(1)由题意得f(1)=2+b+c=4, 以-1≤+行<≤， 且6+子>2-6，即尽<6<2时， f(2)=4+合+c=5, 解得-子≤x<-1, A()=(-之)广-6-的偏茶"为6+子， 解得b=2,c=0. (2)由(1)得f()=2x+2 故所求不等式的解集为[-多，-) 此时6+子>号，无最小值： 任取x,x2∈(0,1)，且x1<, (3)因为f(x)在[-1,1]上单调递增，f(1)=1, 当-b-<0,(-1)=2-6>0, 则r()-f)=(2+2）-(2+2） 所以f(x)mx=1, 若f(x)<m2-2am+1对于所有的xe[-1,1], 且6+行=2-6，即6=冬时， 2(x-x)(x2-1) ae[-1,1]恒成立， 1X2 则1<m2-2am+1,a∈[-1,1]恒成立， A()=(-之)°-6-士的信差为6+日 因为0<1<x2<1, 即m2-2am>0,ae[-1,1]恒成立， 所以x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0, 令g(a）=m2-2am=-2am+m2, 此时6+子=骨 所以f(x)-f(x2)>0,即fx1)>f(x2), 要使g(a)>0在a∈[-1,1]上恒成立， 故函数f(x)在区间(0,1)上单调递减. 当-6-冬<0，(-1)=2-6<0，即6>2时、 同理可得f(x)在(1，+∞)上单调递增. 则必须g-》>0解得m<-2或m>2, 1g(1)>0, (3)由(2)知f)=2x+2在[片 上单调递减， 所以实数m的取值范围是(-0，-2)U(2,+∞) A()=(x-）°-6-子的偏差”为6+子 在(1,3]上单调递增， 19.解：(1)y=1f(x)-g(x)1=lx2+x+1 此时6+子>，无最小值 所以f(x)m=f(1)=4, (+）广+eo. 当-b-千<0，(-1)=2-6=0，即6=2时， 故m<f(x)。=4, 即实数m的取值范围是(-∞，4). 因为se0山，以x+宁e[宁号]， A()=(-3)广-6-子的“偏差为6+子 17.解：(1)由f(x+2)=-f(x), 19 得f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则=(x+）)+子e1,3, 此时b+4=4 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 所以函数f(x)与g(x)的“偏差”为3. 又f(x)为奇函数， (2)(x)=f(x)-g(x)=x-x-b 综上，当6=子时 所以f(π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-T)=T-4. 4te[-1,1], 函数f(x)与g()的“偏差”取得最小值为号 ≈1.24,503B≈1.65) l082(x-1) ,则方程∫(x)=1的解为 高考数学一轮总复习 (A)震中距在2000~2020之间 log x 1 (B)震中距在2040~2060之间 13.若幂函数∫(x)=(m2-5m+7)x在R上为增函数，则 达标检测（五） (C)震中距在2070~2090之间 l0gm√27+2lg5+lg4+mgm宁= (D)震中距在1040~1060之间 考试范围：基本初等函数、函数与方程 14.已知函数∫(x)=-x2-6x-3,函数g(x)= 7.已知函数∫(x)=3+x+1,g(x)=logx+x+1,h(x)= ⊙数理报社试题研究中心 x3+x+1的零点分别为a,b,c,则 ( mx{(分)，og:(x+3)},且axa,6表示a,6二者中较大的 (A)a >b>c (B)b>cxa 个.若Hx1∈[m,n],3x2∈[0，+o),使得f(x1)=g(x2)成 第I卷选择题（共58分）】 (C)cz a zb (D)b>a>c 立，则n-m的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 8.已知定义在R上的偶函数∫(x)满足∫(x+2)=∫(x-2), 1.函数f(x)=log(x-b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定 且当xe[-2,0]时f(x)=(分)广”-1若在xe[-2.6]内关于： 15.(13分)已知函数∫(x)=√10g3(4x-1)的定义域为A, 点(3,2)，则b+c= ( 函数g(x)=4-(0<x≤m)的值域为B,m>0. 的方程∫(x)-log(x+2)=0恰有3个不同的实数根，则a的取值 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (1)当m=1时，求(CRA)∩B; 范围是 2.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0),且满足f(1)= (2)是否存在实数m,使得A=B?若存在，求出m的值；若不存 ∫(3)，则 (A)(1,2) (B)(2,+∞) 在，请说明理由， ® (A)f(1)<∫(4)<f(2) (B)f(4)<f(1)<f(2) (C)(4,2) (D)(1,4) 考 (C)f(4)<f(2)<f(1) (D)f(2)<f(4)<f(1) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 数 3.已知函数f(x)是奇函数，当x≥0时(x)=100-1,则 9.已知x>y>0,且x+y>1,则下列选项正确的是( 学 f(g2） (A)x2>y2 ( (B)x2-x<2-y (C)2>2 (D)Inx +Iny >0 轮 (A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3 10.已知定义域为D的函数f(x),若对任意x∈D,存在正数M, 总 4.函数y=|2-21的图象可能是 ( ) 复 都有1f(x)1≤M成立，则称函数∫(x)是定义域D上的“有界函 习 数”.则下列函数中为“有界函数”的是 达 (A)f(x)=4-x 高考数学一轮总复习达标检 标 检 (Bf(x)=3+x 测 4-x 测 (C)f(x)=log(x2-2x+3) 16.(15分)已知幂函数∫(x)=(2-4k+5)xm24m(m∈Z) (D)f(x)=10-224 的图象关于y轴对称，且在(0，+∞)上单调递增 11.已知函数∫(x)= 2-3x,x≥0方程1f()-11=2 (1)求m和k的值； l-ex+1,x<0 (2)求满足不等式(2a-1)3<(a+2)罗的a的取值范围. m(m∈R),则下列判断正确的是 (C) (D) (医数f()的图象关于直线x=弓对称 5.已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则函数g()=(+ (B)函数∫(x)在(3，+∞)上单调递增 (C)当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根 3x+1)·f(x)在区间[2,1]上的最小值为 ( (D)当m∈(-1,0)时，方程有3个不同的实数根 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 6.地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M 可通过地震面波质点运动最大值(A/T)进行测定，计算公式如 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 下：M=lg(A/T)mx+1.66lg△+3.5（其中4为震中距）.若某地发 a b 生6.0级地震，测得(4/T)mx=0.001,则可以判断（参考数据：23B 12.对于实数a,b,c,d,定义ad-bc=cd .设函数f(x)=高考数学第一轮复习第5~8期 °教理柄 答案详解 2026~2027学年 高考数学第一轮复习 第5~8期(2026年8月) 当x=1时，y=0; 第5期2版 当x>1时，函数y=2-2在(1，+∞)上单调递增， 考题预测 且y>0; 1.D;2.C;3.A;4.C;5.D6.A 当x<1时，函数y=2-2在(-，1)上单调递减， 且y>0. 第5期3,4版 故选(B). 高考数学一轮总复习达标检测(5) 5.设f(x)=x, 一、单项选择题 因为幂函数()的图象过点(2,7)）。 1 ~4 CBDB 5 ~8 CBBC 提示： 所以=2，解得0=-1， 1.由题意，函数f(x)=1og.(x-b)+c(a>0,且a≠1)， 当x-b=1,即x=b+1时，可得y=c, 所以f()=子 即函数f(x)的图象恒经过点(b+1,c. 当e[分，小时， 又因为f(x)的图象恒过定点(3,2)， 可得6+1=3， b=2, g(x)=(x+3x+1).1 解得 lc=2, lc=2, =x+ +3 所以b+c=4. 2.因为f(1)=f(3), 所以二次函数f(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为 =5, 直线x=2, 又a<0,所以f(4)<f(3)<f(2), 当且仅当x=,即x=1时，等号成立， 又f(1)=f(3),所以f(4)<f(1)<f(2). 所以函数()=（父+3+1）()在区向[7]上 3.因为函数f(x)为奇函数， 的最小值为5. 所以f(1g7）=f(-1g2)=-f(1g2). 6.依题意得，6.0=lg0.001+1.66lg4+3.5, 又f(1g2)=100e2-1 则5.5=1.66lg4, =1024g2-1 =10g4-1 则g4=高-3313. =4-1=3, 故4=102318 =103×20.313×50313 所以/(g分）=-f(g2)=-3. ≈1000×1.24×1.65 r2-2,x≥1， =2046. 4.y=12-21= 2-2,x<1, 故选(B). 高考数学第一轮复习 第5~8期 7.由题知f(x)=3+x+1=0, 对于(C),因为x>y>0,所以2>2'，(C)正确： 得3*=-x-1, 对于(D),令x=2y=宁则n+1ay=11=0, 即a为函数y=3与函数y=-x-1交点的横坐标， (D)错误。 同理可知b为函数y=logx与函数y=-x-1交点的横 故选(A)(C). 坐标， c为函数y=x3与函数y=-x-1交点的横坐标， 10.对于(A)f(x)=√4-x的定义域为[-2,2]，其值 域为[0,2]，所以If(x)1≤2，符合题意正确； 分别作出y=3,y=logx,y=x3和y=-x-1的图象， 如图1所示 对于()f(0==子。一1的定义城为1≠ 今3 4},其值域为y1y≠-1}，所以不符合题意； 对于(C)f(x)=log号(2-2x+3)=lg号[(x-1)2+2] y=log;x 的定义域为R,其值域为(-0，-1]，所以不符合题意； 对于(D)f(x)=10-224=10-2(-224的定义域为 R,其值域为[-6,10)，所以|f(x)1<10,符合题意正确 图1 故选(A)(D) 由图象交点可得b>c>a. 11.函数f(x)的大致图象如图3所示， 8.因为f(x+2)=f(x-2), 所以f(x+4)=f(x), 所以函数f(x)的周期为4. 因为f(x)是偶函数，当x∈[0,2]时，-xe[-2,0], 图3 所以f()=f(-)=(3）”-1=2-1 作出函数y=f(x),g(x)=l1og（x+2)的图象如图2所示， 显然函数了()的图象不关于直线：=子对称，故选项 (A)错误； 由图3可知函数f(x)在(3，+∞)上单调递增，故选项 123456 (B)正确； 2￥1Q 函数y=「f(x)-11的大致图象如图4所示， 图2 易知a>1, 要使方程f(x)-log(x+2)=0恰有3个不同的实数根， 则需函数f(x)与g(x)的图象有3个不同的交点， 31 所以 2）<f2即4<3， 图4 g(6)>f(6),log8>3, 当m∈(1,2)时，0<2-m<1,此时函数y=2-m与 解得4<a<2. 函数y=1f(x)-11的图象有2个交点，所以方程1f(x)-1I 二、多项选择题 =2-m有2个不同的实数根，故选项(C)正确； 9.AC;10.AD;11.BC. 当m∈(-1,0)时，2<2-m<3,此时函数y=2-m与函 提示： 数y=1f(x)-11的图象有4个交点，所以方程1f(x)-11= 9.对于(A),因为x>y>0,所以x2>y2,(A)正确； 2-m有4个不同的实数根，故选项(D)错误， 对于(B),若x2-x<y2-y,则x2-y2<x-y, 故选(B)(C). 即(x-y)(x+y)<x-y.又x>y, 三、填空题 所以x+y<1,不符合题意，(B)错误； 12.x=2;13.4;14.4. -2 高考数学第一轮复习第5~8期 提示： (x 1og2(x-1) 12.由题得f(x)= log2 x =log2 (x-1)logzx =10g2(x2-x), 图5 -1>0, Hx1∈[m,n],3x2∈[0，+o),使得f(x1)=g(x2)成立， 解得x>1, x>0, 等价于函数f(x)在[m,n]上的值域是g(x)在[0，+∞) 所以函数f(x)的定义域为(1，+∞)： 上的值域的子集， 若f(x)=1,则l0g2(x2-x)=1, 所以m=-5,nmx=-1, 即x2-x=2,解得x=2或x=-1(舍） n-m的最大值为-1-(-5)=4. 四、解答题 13.因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)x"在R上为增函 r4x-1>0, 数， 15.解：(1)由题得 1oga3(4x-1)≥0， 所以m2-5m+7=1,解得m=2或m=3, 当m=2时，f(x)=x2,在R上不是增函数，不符合题意； 解得片<≤分即A=(仔]， 当m=3时f(x)=x3,在R上为增函数， 所以CA=(-,4]U(},+） 所以m=3. 当m=1时，0<x≤1， 则logm√27+2lg5+lg4+mm 所以片<4≤1，即B=(任，小 loga V27 +1g25+1g4+358 =1og337+lg100+2 1 所以(CnB=(分，1] =+2+ (2)因为B=(子4] 若存在实数m,使得A=B, =4. 4因为y=(兮)在R上单调造欢。 则必有4=宁解得m=宁 y=log2(x+3)在(-3，+∞)上单调递增， 放存在实数网=宁使得A=R 且当=1时，（兮） 1-2 16.解：(1)因为幂函数f(x)=(2-4h+5)x2m, =log2(1+3)=2. 所以2-4k+5=1,解得k=2. -2 ，-3<x≤1， 又因为幂函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(x) 所以-m2+4m>0,解得0<m<4, 1og2(x+3),x>1. 因为m∈Z,所以m=1或m=2或m=3, 易知g(x)在[0,1]上单调递减， 当m=1或m=3时，f(x)=x3,图象关于原点对称， 在(1，+∞)上单调递增， 不合题意； 所以当x≥0时，g(x)≥g(1)=2, 当m=2时，f(x)=x,图象关于y轴对称，符合题意. 即g(x)在区间[0，+o)上的值域为[2，+∞) 综上，m=2,k=2. f(x)=-x2-6x-3=-(x+3)2+6≤6， (2)由(1)可得m=2, 令f(x)=-x2-6x-3=2, 所以(2a-1)3<(a+2)3, 解得x=-1或x=-5. 而函数y=x3在(-∞，0)和(0，+∞)上均单调递减， 画出函数f(x),g(x)(x≥0)的图象如图5所示. 且当x>0时，y=x3>0, 一3 高考数学第一轮复习第5~8期 当x<0时，y=x3<0, 故当t=16时，y取得最大值，为375.25， 所以满足不等式的条件为0<a+2<2a-1或a+2< 即最大利润为3.7525万元. 2a-1<0或2a-1<0<a+2, 所以这30天内日销售利润均未能超过4万元， 解得-2<a<7或a>3, 该公司需要考虑转型。 18.解：(1)由题易知函数f(x)的定义域为R 故满足不等式(2a-1)3<(a+2)号的a的取值范围是 因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1), (-2,2）u3,+) 即1og:子-m=g5+m,解得m=-1 17.解：(1)若选择模型①， 经检验当m=-1时， 「k+b=2, 将(1,2)，(3,3)代入可得 f(x)=log2(4+1)-log22=l1og2(2+2), L3k+b=3, f(-x)=log2(2+2*)=f(x), 解得长=6=子 则函数f(x)是偶函数， 所以m()=子+子，经验证，符合题意： t 3 所以m=-1. (2)当m>0时，函数f(x)=log2(4+1)+mx在R上 若选择模型②， 单调递增，且f(0)=1. c·a=2, 将(1,2)，(3,3)代入可得 c·ad=3, 则f[8(g2+2(）+是-4]=1=f0), 3 所以8（吧P+2(付）+A-4=0, 所ua-25() 即2(1o82x)2-21og2x+4-4=0, m 当t=10时，m≈12.4，不符合题意， 即(log2x)2-log+2-2=0. m 因此m与t的关系更符合函数模型①， 其解析式为m=分+子1≤1≤30，且1为垫轮。 令t=log2x, 因为xe1,2万1，所以1=lgxe[0,号] (2)记日销售利润为y百元， 当1≤t≤15，且t为整数时， 所以F-4+品-2=0在1e[0,2】有两个不同的实 m y mf (t) 数根， =(+2）(-3+8) 即品-f+1+2在e[0 有两个不同的实数根， m ++12 即函数y= 与函数为=-？+t+2的图象有两个交 m 其图象的对称轴为直线1= 6, 点 故当t=13时，y取得最大值，为392， 如图6，因为函数y2=-t2+t+2的对称轴为= 2 即最大利润为3.92万元： 当16≤t≤30，且t为整数时， 9 3 y=m时(t) =(+)2 -2-10 1132 =303+1+900 图6 当16≤1≤30时，y=303+t+90单调递减， 上单调递增， t 所以=-子+t+2在0,2 4 高考数学第一轮复习第5~8期 在片，】上单调递减 当x1>0,2>0,x1+x2<1时， r(+2）=1og5(x1+x2+1), 由图可得2≤名<子， m r(x1)+r(x2)=log5(x1+1)+1og5(x2+1). 解得8<m≤1. 因为(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+2+1>x1+2+1, 所以log(x1+x2+1）<l0g5(x1+1)+log5(x2+1), 所以m的取值范用是（号，小。 即r(x1+x2)<r(x1)+(2), 即y=r(x)是L型函数 19.()证明：当∈(0，)时，g()>7>0 且对任意的m∈(0,4)，都存在x。∈(0,1)，使得等式 当x1>0,x2>0,x1+x2<1时， r(xo)=m成立. 8+)=(禹+)2+7 由此可知存在L型函数y=r(x)满足：对于任意的m∈ (0,4),都存在xo∈(0,1)，使得等式r(xo)=m成立. g(x1)+g(x2)=x7+号+1， 因为2≤x1+x<1,所以4x1x2<1, 第6期2版 则g(x1)+g(x2)-g(,+x) 考题预测 =+号+1-(6+)2-1 1.C;2.C;3.C;4.B;5.A;6.C. 2 1 =2-246= -4x>0, 第6期3版 2 所以g(x1)+g(x2）>g(x1+x2）, 高考数学一轮总复习达标检测(6) 所以g()=2+分为L型函数 一、单项选择题 1~4 ADCD 5~8 AABA (2)解：当x∈(0,1)时， 提示： 由p(x)>ln(0+b)≥0得b≥1. 1.h'(t)=3-2t,h'(3)=3-2×3=-3, 当x1>0,2>0,x+x2<1时， 故所求的瞬时速度为-3m/s. p(+2）=ln(x1+x2+b), 2.因为曲线y=f(x)在(5，f(5)处的 p()+p(x2)=In(+b)+In(x2+b). 切线方程是y=-x+5, 由p(x1+2)<p(x1)+p(x2), 所以切线的斜率为f'(5)=-1, In(+x+)<In(+6)+In(x2+b), f(5)=-5+5=0. 即x1+2+b<(x1+b)(52+b), 3.设切点为(xo,oln %o) 即x1+2+b<x2+b(x+x2)+b2, 因为y=xlnx,所以y'=lnx+1, 即62+b(x1+x2-1)+x2-(x+x2）>0. 所以y'l:0=lnxo+1. 令h(b)=62+b(x1+2-1)+xx2-(1+x2), 易知曲线在点(xo,oln %o)处的切线的斜率为2， 期对移销6=1-与+e(0,） 所以lnxo+1=2,所以xo=e, 2 所以切点的坐标为(e,e). 所以h(b)在[1，+∞)上的最小值为h(1), 把点(e,e)代入切线方程，得e=2e+b,所以b=-e. 只要h(1)>0,则h(b)>0. 因为h(1)=12+1×(x1+x2-1)+x2-(x1+x2) 4.由题意知f'(x)=a+2bx, =x52>0, 则f'(1)=a+2b,而f(1)=b, 所以b的取值范围是[1，+∞). 所以函数f(x)在x=1处的切线是 (3)解：存在，举例：(x)=l0g(x+1). y=(a+2b)(x-1)+b=(a+2b)x-(a+b), 理由如下：当x∈(0,1)时，r(x)∈(0,4)，符合r(x)>0. 因为切线与直线x-y-2e=0平行， 高考数学第一轮复习第5~8期 所以a+2b=1且a>0,b>0, 即2x-y+1=0. 所u+古=（+）a+2)=3+2的+云 8.由y=x3求导得y=3x2, 设曲线y=x上的任意一点(xo,)处的切线方程为 ≥3+2-3+2 y-x=3x6(x-x0), 3 当且仅当a=√2b时等号成立. 将点(1,0)代入方程得x=0或=2， 放。+古的最小值为3+2，E 当x。=0时，切线方程为y=0, 5.因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x), 所以a2+早-9=0仅有-解，得a= 64 求导得[f(x)]'=[f(-x)]' 当=子时，切线方程为：子子 2 4 →f'(x)=f'(-x)·(-x)'→f'(x)=-f'(-x). 又f(x)在(1，f(1)处的切线方程为x-2y+1=0, s 2727 4、 4 则财'(=分所以f(-)=-f'()=-之 由 =a2+-g 6.由f(x)=x4-x,得f'(x)=4x3-1, 得a2-3数- -=0仅有一解，解得a=-1. 则f'(0)=-1,f'(1)=3, 则曲线y=寸()在点0处的切线的领斜角为平。 综上知口=-1或a=一急 设曲线y=f(x)在点A处的切线的倾斜角为a,则tana=3. 二、多项选择题 9.BD:10.AC:11.CD. 提示： 9.(e3)'=3e“,故(A)错误； (2sinx-3)'=2cosx,故(B)正确； (2x4）=2+:+山=2+1-2 (2x+1)2 (2x+1)2 由上图可如，an∠0A=am(得-a=品 (2x+1)2,故(C)错误： 、1 1号-2 (cosx)'=x'cosx+x(cosx)'=cosx-xsinx,故(D)正确. 故选(B)(D). 7.由题意可得点(-号0）不在曲线y=2nx+3上， 10.因为函数f(x)=e,所以f'(x)=e. 设切点为(xo,y0),因为y=2lnx+2, 对于(A),令f'(x)=e=1,得x=0, 所以所求切线的斜率k=2m。+2=6, 2y0 所以曲线y=f(x)的切线斜率可以是1，故(A)正确； 1 x0+2 20+1 对于(B),令f'(x)=e=-1,无解， 所以%=2 oln %o+2x0+ln0+1. 所以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1，故(B)错误： 对于(C),因为点(0,1)在曲线上，所以点(0,1)是切点， 因为点(xo,y)是切点，所以o=2xlnx+3, 则f'(0)=1,所以切线方程为y-1=x,即y=x+1, 所以2xlno+2x0+lnx0+1=2xoln+3, 所以过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1 即2xo+lnxo-2=0.设f(x)=2x+lnx-2(x>0), 条，故(C)正确： 明显f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(1)=0, 对于(D),因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点(x,e0), 所以2x,+lnx。-2=0有唯一解xo=1, 则切线方程为y-e0=eo(x-x), 则所求切线的斜率k=2, 因为点(0,0)在切线上，所以e0=xoe0,解得x0=1, 放所求切线方程为y=2(x+分）=2x+1, 所以过点(0,0)且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有1 -6 高考数学第一轮复习第5~8期 条，故(D)错误。 即x+y-2=0. 故选(A)(C). 14.由y=ln(x-a）+2得x=e-2+a, 1令)=e[o,》, 所以y=n(x-a)+2的反函数为y=e-2+a 由点B(x23)在曲线y=ln(x-a)+2上可知 因为f'(x)cosx+f(x)sinx<0, 点B,(y,x)在其反函数y=e-2+a上， ()=f')cos(sin cosx 所以dB=√(x,-2)2+(x2-y)相当于y=e-2+a 故g(x)在[0，牙）上单调递减， 上的点B,(y2,x2)到曲线y=n(x-a)+2上的点A(x1,y1)的 因为f(0)=0,则g(x)≤g(0)=0, 距离，即dg,=dAB=√(x1-y2)2+(x2-y1). 利用反函数的性质可得y=e-2+a与y=ln(x-a)+2 结合选项可知，（石）>（平），从而有 )f() 关于y=x对称，所以当AB,与y=x垂直时，dB,=dg取得最 2 2 小值2，此时A,B,两点到y=x的距离都为1. 因为曲线y=ln(x-a)+2在点A(1,y)处的切线平行 即f(）>(),故()错误： 于直线子=所以了=。则。=1，解得无=a+1 因为1血号>0，结合g(x)在[0，受)上单调递减可知 y1=ln(a+1-a)+2=2,即A(a+1,2).点A到直线y=x f() 的距离d=1a+1-21=1,解得a=1±万. (n牙）<0，从而有 <0, 2 s(lh号) 当a=1-2时，y=ln(x-1+2)+2与y=x相交，不 由co(血号）>0可得f(n）<0,故(B)错误： 合题意.所以a=1+2. 四、解答题 ()>()从面有 )、() 15.解：(1)因为f(x)=(3x+1)21n(3x), 1 2 2 所以'()=23x+1)×3加(3)+(3x+1)产×会 即f()>(）>2f(子)，故(C)正确： =6(3x+1)n(3x)+3x+1)2 (买)>()，从而有 )、f() (2)由f"(x)=6(3x+1)n(3x)+(3x+12 1 2 得f'(兮)=6×(3×号+1)×13×写) 即f(）>2f(牙)，故(D)正确， (3x号+1 故选(C)(D) -=12 三、填空题 3 12.24;13.x+y-2=0;14.1+√2. 所以f()的图象在（号，0）处的切线方程为 提示： 12.因为f(x)=f'(1)x3-3x2+3, y=12(-号），即y=12x-4 所以f'(x)=3f'(1)x2-6x,所以f'(1)=3f'(1)-6, 16解：1)由题得+6+c=0, 解得a=-1,b+c=1, 解得f'(1)=3,所以f'(x)=9x2-6x, 1+a=0, 所以f'(2)=9×4-6×2=24. f (x)=+bx+cg(x)=, 13.由f(x)=e-2x+1,得f'(x)=e-2, 所以f'(x)=-2x+b,g'(x)=3x2-1. 故f'(0)=e°-2=-1，又f(0)=e°+1=2， 又函数f(x)和g(x)在点(1,0)处有公共切线， 所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-2=-x, 所以f'(1)=g'(1),即-2+b=2,解得b=4,c=-3. 7 高考数学第一轮复习第5~8期 所以f(x)=-x2+4x-3,g(x)=x3-x. 则由条件可得F(x)在[1,2]上单调递减， (2)由(1)得f'(x)=-2x+4,设切点P(xo,yo), 所以F'()=a(x+）-2Y≤0在[1,2]上恒成立， 则切线斜率k=f'(xo)=-2xo+4, Yo -1 所以a≤ 所以 =-2,+4·又点P(6)在第三象限， 名在1,2]上恒度立， 2x2 2 因为 ≥1， 0=-6+4x0-3, +1 1 .1 1 +2)-4 故解得厂2， 即点P的坐标为(-2，-15) 当x=1时等号成立， %=-15, 所以a≤1，又由条件知a>0,所以0<a≤1. 17.解：(1)设曲线y=f(x)上的点A(xo,y)到直线l的 所以实数a的取值范围是(0,1]. 距离最短，则函数f(x)在，点A处的切线与直线1平行， 2x+3,x<0, 因为f”()=1=1,所以0=1，求得0=1， 19.解：(1)由题得h'(x) x>0, 所以函数代x)在点A处的切线方程为y=x, 则h'(x1)=2x1+3=1,解得x1=-1,即A(-1,-2+a), 所以曲线y=f(x)上的点到直线l的最短距离即 '(5)=之=1，解得5=1，即B1,-1). 点A到直线1的距离等于1-+2L=2 所以k=a-2-（二业=1，解得4=-1. (2)由题意得gx)=7-(a+1)x+lnx+1(0<<3), -1-1 (2)设A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2)为函数h(x)图象上的 所以g(x)=-(a+1)）+1=-(a+1)x+1 两点，且x1<2, x 当x1<x2<0或0<x1<x2时，h'(x）≠h'(x2), 因为曲线y=g(x)上存在两个不同的点，使得在这两点 所以x1<0<x2: 处的切线都与x轴平行， 函数h(x)在点A(x1,h(x)处的切线方程为 所以关于x的方程g'(x)=0, y-(x+3x1+a)=(2x1+3)(x-x1), 即x2-(a+1)x+1=0在(0,3)上有两个不同的根， 设h(x)=x2-(a+1)x+1, 即y=(2x1+3)x+a-x, 函数h(x)在点B(x2,h(x2)处的切线方程为 r4=(a+1)2-4>0, 2 h(0)=1>0, 三2(x名)，即y=专x 则 7 0<a1<3, 解得1<a<3, 2+3=1 ① 2 h(3)=9-3(a+1)+1>0, 两切线重合的充要条件是 所以实数a的取值范围是(1，子) a-号=-2 2 ② 18.解：(1)因为f(x)=a(x+lnx), 由①及与<0<6得0<名<5， 所以f"()=a(1+）所以'()=2a,又)=a, 令1=L,则0<t<5 x2 所以f代x)的图象在x=1处的切线方程为 由①得=-3) y-a 2a(x -1),y 2ax -a. 由=2ar-a, 由②得u=听-2=元-21=子(-6+9)-2 消去y整理得x2-2ax+a=0, =女-2-2+0<1<同). 则4=4a2-4a=0,解得a=1. (2)由条件可知f(x2)-g(2)<f(x)-g(x1)(x1<2), 设(0=--24+0<1<万). 设F(x)=f(x)-g(x）=a(x+lnx)-x2, 则p'(t)=t-3t-2<0, -8 高考数学第一轮复习第5~8期 所以函数0)=子-三-2+子在05上为减函数。 当x∈（受）时f()<0()单调递减， 且-25<0<所以-26<a<是， 又f(-号)=受-1>0(0)=0， 即实数a的取值范围是 -25,) f(）=交-1>0f(m)=-2<0, 第7期2版 则f()=simx+cosx-1(e-受，π]）的草图 如图1所示， 考题预测 1.D;2.D;3.B;4.A;5.3,57;6.(-∞，2). 第7期3版 高考数学一轮总复习达标检测(7) 图1 一、单项选择题 由图象可知，函数f(x)的零点个数为2. 1 ~4 CBAC 5~8 CCBB 提示： 5.由题意知f()=-2,即adh1+片=-2， 1.对于(A),(B),x=a不是函数y=f(x)的极值点； 解得6=-2，所以f()=alnx-2 对于(C),x=a是函数y=f(x)的极小值点； 2 对于(D),x=a是函数y=f(x)的极大值点. 其定义域为(0，+0)，故f'(x)=a+ 故选(C), 因为当x=1时，函数f(x)取得最大值， 2.对于()，f'()=22x,因为f"(号）=-1<0， 所以x=1是f(x)的极大值点， 故f'(1)=a+2=0,解得a=-2, 故(A)错误； 经检验，a=-2满足题意 对于(B),由于x>0,所以f'(x)=(x+1)e>0, 6.f(x)是定义在R上的偶函数， 故(B)正确； 当x>0时，'()f2>0, 对于(C)f'()=3x-1,因为f(兮）=-号<0， 所以y=在(0，+0)上单调递增， 故(C)错误； 对于(D)"()=-1+,因为f"(2)=- -<0, 且y=fD是奇函数， x 故(D)错误 由题意知f(-2)=f(2)=0, 3.设商品的利润为f(x)(单位：元)， 所以2=0,2=0， 则f(x)=(x-4)e,x>0, 所以不等式f>0的解集是(-2,0)U(2,+0). 所以f'(x)=e-(x-4)e*=(5-x)e, 当x>5时，f'(x)<0f(x)单调递减； 7.由题意得/()：（1+）血x+1-是， 当0<x<5时f'(x)>0f(x)单调递增， 当x∈(0,1)时，f'(x)<0f(x)单调递减， 所以当x=5时，f(x)取得极大值，也是最大值 4.由题得f'(x)=sinx+xcos x-sinx=xcos. 因为f(）=(-x)h是=(-)）nx=f(), 当xe(-受，0）时f'(x)<0f(x)单调递减， 所以(6=宏)所以e=后) 当xe(0,受)时f"(x)>0f()单调递增， 因为0< <子<<1 高考数学第一轮复习第5一8期 所以()>f号)>f(专)，故e>a>6 故选(C)(D) 10.原不等式等价于x+1)1血x≤a-1(x∈[1,2])， 8.函数y=2ax2(x<0)的图象关于原点对称的图象所对 x 应的函数解析式为y=-2ax2(x>0),f(x)的图象上恰好有两 令p(0)=x+n(xe[1,2]), x 个“匹配点对”等价于函数y= (x≥0)与函数y=-2r2( 则p'(x)=1+x-lnx >0)的图象拾有两个交点，即方程-2a2=名(x>0)有两 令h(0=1+x-ln(xe1,2])=h()=≥0， 个不等的正实数根，即-2a=言(x>0)有两个不等的正实数 所以h(x)在x∈[1,2]上单调递增， 根设g()=言(>0)，则函数g)=专(x>0)的图象 则h(x)≥h(1)=2>0, 所以p'(x)>0,则p(x)在x∈[1,2]上单调递增， 与函数y=-2如的图象有两个交点，g(x)=1二x,当0<x< e 放p()≤p(2)=32≤a-1,即a≥2+32 2 2 1时，g'(x)>0,g(x)单调递增，当x>1时，g'(x)<0,g(x) 由1n2≈0.69知，3>2+3n2>2>3-h2 2 2 单调递减，所以g(x)≤g(1)=上，且x一→0*时，g(x)→0*， 故选(B)(D). x+∞时，g(x)→0.在平面直角坐标系中作出g(x)的大致 11.f(x)ax'+bx2+c(a >0,b,c R), 图象，如图2所示，数形结合可知，当0<-2a<上时，g(x)= 则f'(x)=x(3ax+2b), e 专(：>0)的图象与两数y=-2如的图象有两个交点，解得 当a=b=2时，f'(x)=2x(3x+2), 在区间(-子.0）上"(0<0， 2e <a<0. 所以f()在(-号0）上单调递减，(A)正确，(B)错误， -2a g(x)=(0) 要使函数f(x)恰有两个不同的零点， 则f(✉)有-个极值为0，所以(-治)=0或r0)=0, 图2 因为c=-4a,所以f(0)=0时，a=0,不满足题意， 二、多项选择题 9.CD;10.BD;11.ACD. (-治)=0时，器签板=0，化简得之=3， a 提示： (C)正确； 9.根据函数f(x)的导函数f'(x)的图象与表格，作出函数 当6=c=0时f()>hx恒成立，即a>恒成立， f(x)的大致图象，如图3所示 令h(x)= 则()=1引n,故(6)=0， x4 当x∈(0，)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 02 45x 当xe(e,+o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 图3 所以4(=h0)=文，放a>C,(D)正确 对于(A),f(x)在区间[-1,0]上单调递减，故(A)错误； 故选(A)(C)(D) 对于(B),f(x)有1个极大值点，2个极小值点，故(B)错 三、填空题 误； 对于(C),根据函数f(x)的极值和端点值可知，f(x)的值 12(-,0:13.35；14.(e,)U1,)。 域为[1,3]，故(C)正确； 提示： 对于(D),根据图3函数f(x)的大致图象易知，满足题意 的t的最大值为4，故(D)正确。 12由题意得f")=12士=名x<2), 1 10 高考数学第一轮复习第5~8期 令f'(x)>0,即-x>0,解得x<1, 2-x 所以y=na与函数h(x)=的图象仅有3个交点， 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，1) 结合图象可得-2<lna<0或0<na<2 e 13.由题意得f'(x)=c0sx+cos2x=2cos2x+cosx-1 解得e是<a<1或1<a<e二. =(2c0sx-1)(cosx+1), 四、解答题 因为csx+1≥0，所以当}<c0sx≤1时，f"()>0, 15.解：(1)f'(x)=3ax2-b, 当-1≤esx<7时f'()<0, f'(-2)=0,12a-b=0, 则由题意得 即当2km-号<x<2m+号keZ时f(x)单调递增， /-2)=28 即 3 -8a+26+4=2 3 解得a= 当26m+号<x<2km+,keZ时()单调递减，故() 子6=4，经检验，满足题意。 在x=2m+牙，k∈Z处取得极大值，也是最大值， (2)由(0知/)=号2-4+4，所以'()=-4， 由f'(x)>0,得x<-2或x>2;由f'(x)<0,得-2<x<2, 所以f=m号+m(2x号）-+× 5 2 所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-2)，(2，+∞)， 33 单调递减区间是(-2,2). 16.解：(1)若a=1,则f(x)=x2+x-lnx,x>0. 14.根据题意，f(x)=a(a>0,a≠1)与g(x)=-x2在 所以f()=2x+1-1-2x+x-1 实数集R上有且只有3个“关联数”等价于f(x)=一(-x)仅 有3个解，即a=x2仅有3个解.x=0显然不是该方程的解， =(2x-1)(x+12 则1na=n,即na=血上仅有3个解 当0<x<7时'()<0： 设h()=血(：≠0)，定义城关于原点对称， 当x>?时f'()>0, 且满足h(-)=血亡=-()，则()为奇函数 -x 所以()在(0,3）上单调递减，在（分，+）上单调 考虑当x>0时的情况，h(x)=2血x x 递增，所以f()=f(3）=子-hn=子+h2 '(x)=21-nx2 x (2)由已知得f'()=2x+a-≤0在[1,2]上恒成立， 当0<x<e时，h'(x)>0,即h(x)在(0，e)上单调递增； 所以a≤1-2x在[1,2]上恒成立. 当x>e时，h'(x)<0,即h(x)在(e,+o)上单调递减， 所以函数h(x)的极大值为h(e)= 令g(x)=↓-2x,xe[1,2],则g(x)=- 1 e -2<0, 且当0<x<1时，h(x)<0:当x>1时，h(x)>0. 所以g(x)在[1,2]上单调递减， 作出函数h(x)的大致图象如图4所示， 所以g)=g2)=-子 h(x) y=In a 所以a≤子，即实数口的取值范围是(-x,一子] 17.解：(1)当入=1时fx)=e-x,则f'(x)=e-1, y=In a 令f'(x)<0,得x<0,令f'(x)>0,得x>0, 图4 所以f代x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 增， 因为na= 血父仅有3个解， 故f代x)无极大值，只有极小值，且极小值是f0)=1. 11 高考数学第一轮复习第5~8期 (2)对任意的>0)≥0恒成立台=（色） 2=y-) 令8)=则g()= x2 )中) 由g'(x)>0,得0<x<e,由g'(x)<0,得x>e, 则y1=-y1=-2 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以g(x)=g(e）= e 所以K= =16万 49 即入≥。故入的最小值是 e (3)f'(x)=lhnx-1f”(x)= x 18.证明：f'(x)=e+cosx+sinx, 当x≥0时，要证f'(x)≥2， 0m-品=72=五 只要证2-:sinx-cosx≤1(x≥0). e 令4=风，5=石，则n=ln2, 设h(x)）=2-simx-cos(x≥0)， e 即14=，其中：=冬>1（不纷设4<》 t 则h'(x)）=2(simx-业≤0(x≥0)， p(x)xln x,p'(x)=1+In x. e 所以h(x)在[0，+∞)上单调递减，h(x)≤h(0)=1, 当0<x<。时，p(x)<0,即p(x)在(0，。）上单调递减： 所以当x≥0时f'(x）≥2. 亡时)>0，即()在（仁+）上单调递增： 当x> (2)g(x)=f(x)-2x-1 e*+sinx-cosx-2x-1, 且x→0时，p(x)→0，p(1)=0, g'(x)e*cos x +sinx-2=f'(x)-2, 画出p(x)的大致图象如图5. ①由(1)知，当x≥0时，g'(x)=f'(x)-2≥0， 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增， 又g(0)=-1<0,g(m)=e+0+1-2m-1>0, 所以g(x)在[0，+∞)上有且仅有1个零点. ②当x<0时，可证g(x)<0,g(x)在(-∞，0)上单调递减 图5 证明如下：欲证g'(x)=e+cosx+sinx-2<0(x<0), h(t)In(+In[(t+1)] 只要证2-sinx-cosx>1(x<0). =ln(t+1) tnt e t-1' 设m(x)）=2-sinxco(x<0), e 则m'()）=2(six-D≤0(x<0), 《自行补运加1>24：4>》 所以m(x)在(-，0)上单调递减， 则h(t)在(1，+∞)上单调递增， m()2 2-sino-cos0 =1. im h(t)In2-1,limh(t)=0, eo 所以ln(t1+)∈(n2-1,0), 故当x<0时，g(x)<0,得g(x)在(-∞，0)上单调递减， 又g(0)=-1<0,g(-m)=e"+0+1+2m-1>0, 放沉+派=+6e(2,)片 所以g(x)在(-∞，0)上有且仅有1个零点. 第8期3版 综上所述，g(x)有且仅有2个零点 高考数学一轮总复习达标检测(8) 19.解：(1)K= △0 3=1. 一、单项选择题 1~4 BBCB 5 ~8 CDCB -12 高考数学第一轮复习第5~8期 提示： 在（日+∞）上单调递增，所以(A,(G错误，(D)正确 r2x+1>0 1.由题意得 0解得-方<x≤ 3 l3-4x≥ 7f2+-2 2x,x>0, 故定义蛟为（宁] 当a≥0时，f'(x)>0恒成立，此时f(x)单调递增，不符 2.(A)中函数为偶函数，不符合题意； 合题意； (B)中函数既是奇函数，又是增函数，符合题意； 当a<0时，若x>÷则f()<0,f)单闲速减， (C)中函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意； (D)中函数是奇函数，但不是增函数，不符合题意 若0<<产则/八>0，f)单调递增， 3.由y=+加得=1+ 放当：=亭时函数f()取得极大值，也是最大值。 当x=1时，切线的斜率k=2, 切线方程为y=2(x-1)+1=2x-1. 故导=1，解得a=-2(a=2舍去) 因为该切线与抛物线相切， 8.由“躺平点”的定义，可得g(a)=g'(a), 所以ax2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解， 又g'(x)=e-1,所以e”-a=e“-1,解得a=1. 即ax2+ax+2=0有唯一解， 故0*0， 因为=h()6()=士所以h6=六 解得a=8. la2-8a=0, 令a()=h-(x>0)则m)=+宁>0， 4.由题意得f'(x)=(x2+2x-a)e, 即m(x)在(0，+0)上单调递增， 令f'(x)=0,则x2+2x-a=0,4=4+4a. 若4=4+4a≤0，即a≤-1，则f'(x)≥0恒成立， 又m(1)=-1<0,m(e)=1-g>0, 所以f(x)为增函数，故f(x)无极值； 所以m(x)在(1，e)上有唯一零点，即b∈(1，e) 若4=4+4a>0,即a>-1,则f(x)有两个极值. 因为p(c）=p'(c),p'(x)=2026, 所以“a≥-1”是“f(x)有极值”的必要不充分条件 所以2026c+2026=2026,解得c=0. 5.f'(）=血-cos,令g(x）=sinx-C0, 所以b>a>c. sinx 二、多项选择题 g'(x)cos x-cosx xsinx xsinx, 9.AD;10.AC;11.AC 因为g(x)>0在(0，π）上恒成立， 提示： 所以函数g(x)在(0，π)上单调递增， 9.令f(x）=0,得x=3-a. 所以g(x)>g(0)=0,即f'(x)>0, 令g(x)=(x+3)(x-a-1)=0, 所以函数f(x)在(0，π)上单调递增. 得x=-3或x=a+1. 6.因为函数f(x)的定义域为(-，0)U(0,+∞)， 依题意可得，3-a=-3或3-a=a+1, 且f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数， 解得a=6或a=1. 其图象关于y轴对称，所以(B)错误； 故选(A)(D). 当x>0时f(x)=nl=n, IxI 10对于(A),因为f(x-子) =-f(x), 所以f'(x)=nx+1,令f'(x)=0,可得x= e 所以f(x-3)=-f(x-子）=f(x) 当0<x<1时f'()<0: e 所以3是函数y=f(x)的一个周期，故(A)正确； 当x>名时"()>0. 对于(B),因为f(x+子）为奇函数， 所以函数()在(0，。）上单调递减， 所以f(-x+子)=-f(x+子) -13 高考数学第一轮复习第5~8期 所以点（子，0）是y=f()图象的对称中心，故(B)错误： 解得6-之5,6=15（合，所以此时完美区间r为0， 2 对于(C),因为f(x+)为奇函数， 15],则“复区间长度”为2(6-0)=2×1+5=1+5： 2 所以f(-+）=-f(x+). ②若a≥1，则f代x)=x2-1,x∈[a,b],此时f代x)在 [a,b]上单调递增，若f(x)的值域为[a,b],则 所以f(-+多）=-()， fa）=a2-1=a, 则a,b为方程x2-x-1=0的两个不等 又因为f(x-是）=-f. fb)=62-1=b, a=1-5 所以f(x+多)=f(x-子）： 实拉根部得-15。，所以 2 与 所以f(-x)=f(x),所以y=f(x)是偶函数，故(C)正确； =1+5 2 对于(D),由(C)知，y=f(x)是偶函数， a≥1矛盾，所以此时不存在“完美区间” 所以f(1)=f(-1)=-1, 综上可知，函数f(x)=1x2-11的“复区间长度”的和为 又3是函数y=f(x)的一个周期， 2+1+√5=3+√5，所以(C)正确，(D)错误. 所以f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2, 故选(A)(C). 所以f(1)+f(2)+f(3)=0, 三、填空题 又f(2026)=f(1)=-1,所以f(1)+f(2)+f(3)+… 12(答案不唯-)：13.26： +f(2026)=202×0-1=-1,故(D)错误 3 故选(A)(C) 4(-,-母)u(0,4）月 11.对于(A),当x∈[0,1]时f(x)=x2-11=1-x2, 提示： 则其值域为[0,1]，满足定义域与值域的范围相同，因而满足 12.函数f(x)=x一同时满足下列两个条件： “完美区间”定义，所以(A)正确； 对于(B),因为函数f(x)=1x2-11≥0，所以其值域为 ①012)=0×2=-1<0. [0,+0),而，5<0，所以不存在定义城与值域范围相同 2 ②/()=无零点 的情况，所以(B)错误； 13.f(x)log,[k(x+1)2]=log h +2log,(x+1), 对于(C),由定义域为[a,b],可知0≤a<b,当b≤1时， 由f(2)=2f(8)=3, [a,b][0,1],此时f(x)=1x2-11=1-x2,所以f(x)在[a, 得1og,k+2log.(2+1)=2,log。k+2log(8+1)=3, 1上单调递液，则满足）=1-口=6化简可得心。 两式相减得log.9=1,解得a=9, fb)=1-b2=a, 所以1oggk+2=3,解得k=9, 所以f(x)=1+21ogg(x+1). =6-6,即(a-2=(6-2,所以a-=6-或 该住房装修完成后要达到安全人住的标准， a-子=之-6，解得a=6(合)或a+6=1,由 则0.48-0.1f(x)≤0.08，则f(x)≥4， 即1+2l0gg(x+1)≥4，解得x≥26， 「a+b=1, 解得b=1或b=0(舍)，所以a=b-1=0,经 故至少需要通风26周. 1a+62=1, 14.F(x)=f (x)sin x(0<x<), 检验满足原方程组，所以此时“完美区间”为[0,1]，则“复区间 F(x)=f'(x)sinx +f(x)cosx >0, 长度”为2(b-a)=2; 即F(x)在(0，π)上单调递增， 当b>1时，①若0≤a<1,则1e[a,b],此时f(x)mm= f1)=0.当fx)在[a,b]上的值域为[a,b],则a=0f(b)= 易知F(牙）=f(年)m平=1 b,因为b>1,所以fb)=62-1=b,即满足b2-b-1=0, 当xe(0,r）时，sinx>0, 14 高考数学第一轮复习第5~8期 则f(x)<d可转化为f(x)si血x<1, sin x 又因为)=1)，即0=2a+6,所以6=-1 即F()F(年)，所以0<x<平 所以g(x)=x-1. 因为f(x)是定义在(-T,π)上的奇函数， (2)因为e(x)=mD-f)=卫-lnx在 x+1 x+1 所以F(x)=f(x)sinx是定义在(-T,r)上的偶函数， [1,+o)上是减函数， 则F(x)在(-π，0)上单调递减， 所以p)-2mr-+少≤0对e[1,+0)恒成立， x(x+1)2 且r(-)=()=1, 所以m≤ 「(x+1)21 ,x∈[1，+∞). 当xe（-T,0)时，sinx<0, 2x I min 则f()<m可转化为f()imx>1, 令h(x)=x+1)2-2+2x+1 2x 2x 1 即F()>F(-平)，所以-<x<-年 /x1 =克+2元+1≥2√2·2+1=2， 当x=0时，(x)<无意义 sinx 当且仅当宁=文，即x=1时，等号成立 综上可得，不等式f()<山的解集为 所以m≤2，故实数m的取值范围是(-∞，2]. 17.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+)， (-,-4)u(0,平）片 f'()=lnx+-1-m, 四、解答题 因为x=1是函数f(x)的极值点， 15.解：(1)由题得f'(x)=ae(x-2). 所以f'(1)=ln1+0-m=0,解得m=0. 当a>0时，由f'(x)<0,得x<2; 经验证，x=1是函数f(x)的极值点 由f(x)>0,得x>2. 所以m=0. 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，2)， (2)若f(x)=(x-1)nx-m(x+1)≥0对任意x∈ 单调递增区间为(2，+∞) 当a<0时，由f'(x)<0,得x>2; (合，+）恒成立， 由f'(x)>0,得x<2. 则m≤hx对任意xe(仁，+）恒成立， x+1 所以f(x)的单调递减区间为(2，+)， 单调递增区间为(-∞，2) 令a=+n,则g0到：2山t2 x(x+1)2, (2)当a=-1时，g(x）=-e(x-3)+x2-4x 令h(x)=2xlnx+x2-1,则h'(x)=2lnx+2+2x 则g'(x)=-e(x-2)+2x-4=-(x-2)(e-2). 由g'(x)=0,得x=2或x=n2. 当xe(日，+）时，h()>0, 当x变化时，g'(x)与g(x)的变化情况如下表： 所以h()在（，+） 上单调递增， (-∞，ln2) In2 (1n2,2) 2 (2,+9) 又h(1)=0,所以当x>1时，h(x)>0, g'(x》 0 + 0 g(x) 极小值 极大值 即g'(x)>0,g(x)单调递增； 所以g(x)小值=g(ln2)=(ln2)2-6ln2+6, -<x<1时，h(x)<0, 8(x)极大值=g(2)=e2-4. 即g'(x)<0,g(x)单调递减， 16.解：(1)因为曲线fx)与g(x)在公共点P(1,f1)处 故当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值， 有公共切线，且/"()=子8()=宁 为g(1)=0,则m≤0， 所以实数m的取值范围是(-∞，0]. 所以f'()=g(),即1=之，得a=2 18.解：(1)由题意得，f(x)的定义域为(0，+∞)， -15 高考数学第一轮复习第5~8期 f'(x)=二lnx (2)①证明：由函数f(x)=ar2+br+xnx, 2, 可得f'(x)=2ax+lnx+b+1. 当xe(0,1)时，f'(x)>0, 不妨设0<x<x2,曲线y=f(x)在(f(x)处的切 当xe(1,+o)时f'(x)<0, 线方程为l1y-f(x1)=f'(1)(x-), 故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， y=f'()x+f (x)-xf'(x), 所以f(x)mm=f(1)=1. 同理曲线y=f(x)在(x2f(x2)处的切线方程为 (2)由nx=e-er2+kx-l,得k=1+hx+ex-e, 12:y=f'(x2)x+f(x2)-x2f'(x2), g(x)=L+Inz+ex-20. 假设l1与2重合，则 f'()=f'(x2), 则g'(x)=-hx+e-e, f(x1)-xf'(x1)=f(x2)-f'(x2）, n32-n1+2a(x2-x1)=0, 当x∈(0,1)时，g'(x)>0, 代人化简可得 当xe(1,+∞）时，g'(x)<0, a(x2+x)=-1(a<0), 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 两式消去a,可得n-n-2x=0, X2+x1 所以g(x)mx=g(1)=1, 所以g(x)的值域是(-∞，1]， 理科品兰 2 因为方程k=L+l血x+ex-e有实数根， 由)的结论如名<点兰，与上式矛商， x2-x1 所以实数k的取值范围是(-∞，1]。 即对任意实数a,b及任意不相等的正数x1,2,l1与l2均不 (3)证明：由(1)知f(x)≤1， 重合 当且仅当x=1时取等号，因此当x>1时，nx<x-1, ②解：当b=-1时，不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立， 即当n≥2时，nn2<n2-1, 所以h(x）=ax2-x+xlnx-2sin(x-1)≥0在(0，+o) ”=<)=) 上恒成立，所以h(1)≥0曰→a≥1， 下证：当a≥1时，h(x)≥0在(0，+∞)上恒成立. aa]=-(日+)] 因为a≥1，所以h(x)≥x2-x+xnx-2sin(x-1), 所以g2++…+<-(分号）+1 设H(x）=x2-x+xnx-2sin(x-1), 则川'(x)=2x+lnx-2cos(x-1), (号)**1-（日4门[a-0-(分 (i)当x∈[1，+0)时，由2x≥2，lnx≥0， -2cos(x-1)≥-2知Ⅲ'(x)≥0恒成立， 月= 4(n+1) 即H(x)在[1，+∞)上为增函数， 所以H(x)≥H(1)=0成立，则h(x)≥0； 191)证明：在曲线y=士取一-点（生子6） (iⅱ)当x∈(0,1)时，设G(x)=2x+lnx-2cos(x-1), 过点M(2生兰2)作f)的切线分别交P.60于 可得G(x)=2+1+2sin(x-1), M1,M2, 由2snx-1）≥-2，>0知c()>0恒成立. 因为S自边梯形ABOP>S梯形B2, 即G(x)=H'(x)在(0,1)上为增函数， 可得h6-ha>方·1AM1+1B,I)小AB 所以H'(x)<'(1)=0,即H(x)在(0,1)上为减函数， 72 1 at6·(6-a), 所以H(x)>H(1)=0成立，则h(x)>0. 综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞). 即6< 16